संगत और असंगत समीकरण

गणित में और विशेष रूप से बीजगणित में, समीकरणों की एक प्रणाली (या तो रैखिक समीकरण प्रणाली या अरैखिक समीकरण प्रणाली) को संगत कहा जाता है यदि अज्ञात के लिए मूल्यों का कम से कम एक सेट है जो प्रणाली में प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करता है-अर्थात्, जब प्रतिस्थापन ( बीजगणित) प्रत्येक समीकरण में, वे प्रत्येक समीकरण को एक पहचान (गणित) के रूप में सही बनाते हैं। इसके विपरीत, एक रेखीय या गैर रेखीय समीकरण प्रणाली को असंगत कहा जाता है यदि अज्ञात के लिए मानों का कोई सेट नहीं है जो सभी समीकरणों को संतुष्ट करता हो। यदि समीकरणों की एक प्रणाली असंगत है, तो विरोधाभासी जानकारी प्राप्त करने के लिए समीकरणों को इस तरह से जोड़-तोड़ और संयोजित करना संभव है, जैसे कि 2 = 1, या $x^{3}+y^{5}=5$ और $x^{3}+y^{3}=6$ (जो ये दर्शाता हे 5 = 6).

दोनों प्रकार की समीकरण प्रणाली, सुसंगत और असंगत, कोई भी अतिनिर्धारित प्रणाली (अज्ञात से अधिक समीकरण वाली), कम निर्धारित प्रणाली (अज्ञात से कम समीकरण वाली), या बिल्कुल निर्धारित हो सकती है।

सरल उदाहरण

अनिर्धारित और सुसंगत

प्रणाली

${\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+2z&=4\end{aligned}}$

के अनंत समाधान हैं, उन सभी के पास है z = 1 (जैसा कि पहले समीकरण को दूसरे से घटाकर देखा जा सकता है), और इसलिए उनमें से सभी हैं x + y = 2 के किसी भी मूल्य के लिए x और y.

नॉनलाइनियर सिस्टम

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=10,\\x^{2}+y^{2}&=5\end{aligned}}$

समाधान की अनंतता है, जिसमें सभी शामिल हैं $z=\pm {\sqrt {5}}.$ चूंकि इनमें से प्रत्येक प्रणाली के एक से अधिक समाधान हैं, यह एक अनिश्चित प्रणाली है।

अनिर्धारित और असंगत

प्रणाली

${\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+z&=4\end{aligned}}$

इसका कोई हल नहीं है, जैसा कि असंभव प्राप्त करने के लिए पहले समीकरण को दूसरे से घटाकर देखा जा सकता है 0 = 1.

गैर रेखीय प्रणाली

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=17,\\x^{2}+y^{2}+z^{2}&=14\end{aligned}}$

इसका कोई हल नहीं है, क्योंकि यदि एक समीकरण को दूसरे से घटाया जाए तो हमें असंभव प्राप्त होता है 0 = 3.

सटीक रूप से निर्धारित और सुसंगत

प्रणाली

${\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=5\end{aligned}}$

बिल्कुल एक समाधान है: x = 1, y = 2.

नॉनलाइनियर सिस्टम

${\begin{aligned}x+y&=1,\\x^{2}+y^{2}&=1\end{aligned}}$

दो उपाय हैं (x, y) = (1, 0) और (x, y) = (0, 1), जबकि

${\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=34\end{aligned}}$

अनंत संख्या में समाधान हैं क्योंकि तीसरा समीकरण पहला समीकरण है और दूसरा दो बार है और इसलिए इसमें कोई स्वतंत्र जानकारी नहीं है; इस प्रकार का कोई मूल्य z को चुना जा सकता है और के मान x और y पहले दो (और इसलिए तीसरा) समीकरणों को संतुष्ट करने के लिए पाया जा सकता है।

बिल्कुल निर्धारित और असंगत

प्रणाली

${\begin{aligned}x+y&=3,\\4x+4y&=10\end{aligned}}$

कोई समाधान नहीं है; पहले समीकरण को 4 से गुणा करके और असंभव को प्राप्त करने के लिए दूसरे समीकरण को घटाकर असंगतता देखी जा सकती है 0 = 2.

वैसे ही,

${\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=32\end{aligned}}$

एक असंगत प्रणाली है क्योंकि पहले समीकरण में दो गुणा दूसरे में से घटाकर तीसरे में विरोधाभास होता है 0 = 2.

अतिनिर्धारित और सुसंगत

प्रणाली

${\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=20\end{aligned}}$

एक समाधान है, x = –1, y = 4, क्योंकि पहले दो समीकरण एक-दूसरे का खंडन नहीं करते हैं और तीसरा समीकरण निरर्थक है (चूंकि इसमें वही जानकारी है जो पहले दो समीकरणों को 2 से गुणा करके और उनका योग करके प्राप्त की जा सकती है)।

प्रणाली

${\begin{aligned}x+2y&=7,\\3x+6y&=21,\\7x+14y&=49\end{aligned}}$

समाधान की अनंतता है क्योंकि तीनों समीकरण एक दूसरे के समान जानकारी देते हैं (जैसा कि पहले समीकरण को 3 या 7 से गुणा करके देखा जा सकता है)। का कोई मूल्य y एक समाधान का हिस्सा है, जिसका संगत मान है x प्राणी 7 – 2y.

नॉनलाइनियर सिस्टम

${\begin{aligned}x^{2}-1&=0,\\y^{2}-1&=0,\\(x-1)(y-1)&=0\end{aligned}}$

तीन उपाय हैं (x, y) = (1, –1), (–1, 1), (1, 1).

अतिनिर्धारित और असंगत

प्रणाली

${\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=21\end{aligned}}$

असंगत है क्योंकि अंतिम समीकरण पहले दो में निहित जानकारी का खंडन करता है, जैसा कि पहले दो में से प्रत्येक को 2 से गुणा करके और उनका योग करके देखा जाता है।

प्रणाली

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\\x^{2}+2y^{2}&=2,\\2x^{2}+3y^{2}&=4\end{aligned}}$

असंगत है क्योंकि पहले दो समीकरणों का योग तीसरे के विपरीत है।

संगति के लिए मानदंड

जैसा कि उपरोक्त उदाहरणों से देखा जा सकता है, संगति बनाम असंगति समीकरणों और अज्ञात की संख्या की तुलना करने से अलग मुद्दा है।

रैखिक प्रणाली

Main article: Linear equation system § Consistency

एक रेखीय प्रणाली संगत है अगर और केवल अगर इसके गुणांक मैट्रिक्स में समान रैंक (रैखिक बीजगणित) है जैसा कि इसके संवर्धित मैट्रिक्स (एक अतिरिक्त कॉलम के साथ गुणांक मैट्रिक्स जोड़ा गया है, वह कॉलम स्थिरांक का स्तंभ वेक्टर है)।

अरैखिक प्रणालियां

Main article: System of polynomial equations § What is solving?