बोरसुक-उलम प्रमेय

गणित में, बोरसुक-उलम प्रमेय में कहा गया है कि एक n-sphere|n-sphere से Euclidean space|Euclidean n-space में प्रत्येक निरंतर कार्य एक ही बिंदु पर एंटीपोडल बिंदुओं की कुछ जोड़ी को मैप करता है। यहाँ, गोले पर दो बिंदुओं को एंटीपोडल कहा जाता है यदि वे गोले के केंद्र से बिल्कुल विपरीत दिशाओं में हों।

औपचारिक रूप से: यदि $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ निरंतर है तो वहाँ एक मौजूद है $x\in S^{n}$ ऐसा है कि: $f(-x)=f(x)$.

मामला $n=1$ यह कहकर सचित्र किया जा सकता है कि पृथ्वी के भूमध्य रेखा पर हमेशा समान तापमान वाले विपरीत बिंदुओं की एक जोड़ी मौजूद होती है। किसी भी सर्कल के लिए भी यही सच है। यह मानता है कि अंतरिक्ष में तापमान लगातार बदलता रहता है।

मामला $n=2$ अक्सर यह कहकर सचित्र किया जाता है कि किसी भी समय, पृथ्वी की सतह पर समान तापमान और समान बैरोमीटर के दबावों के साथ हमेशा एंटीपोडल बिंदुओं की एक जोड़ी होती है, यह मानते हुए कि दोनों पैरामीटर अंतरिक्ष में लगातार भिन्न होते हैं।

विषम कार्यों के संदर्भ में बोरसुक-उलम प्रमेय में कई समान कथन हैं। याद करें कि $S^{n}$ n-sphere|n-sphere और है $B^{n}$ एन-बॉल है|एन-बॉल:

• अगर $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ एक सतत विषम कार्य है, तो वहाँ एक मौजूद है $x\in S^{n}$ ऐसा है कि: $g(x)=0$.
• अगर $g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ एक सतत कार्य है जो विषम है $S^{n-1}$ (की सीमा $B^{n}$), तो एक मौजूद है $x\in B^{n}$ ऐसा है कि: $g(x)=0$.

इतिहास

के अनुसार Matoušek (2003, p. 25), बोरसुक-उलम प्रमेय के बयान का पहला ऐतिहासिक उल्लेख में प्रकट होता है Lyusternik & Shnirel'man (1930). द्वारा प्रथम प्रमाण दिया गया था Karol Borsuk (1933), जहां समस्या के सूत्रीकरण का श्रेय स्टैनिस्लाव मछुआरे को दिया गया था। तब से, कई वैकल्पिक प्रमाण विभिन्न लेखकों द्वारा खोजे गए हैं, जैसा कि द्वारा एकत्र किया गया है Steinlein (1985).

समतुल्य कथन

निम्नलिखित कथन बोरसुक-उलम प्रमेय के समतुल्य हैं।

विषम कार्यों के साथ

एक समारोह $g$ यदि प्रत्येक के लिए विषम (उर्फ एंटीपोडल या एंटीपोड-संरक्षण) कहा जाता है $x$: $g(-x)=-g(x)$.

बोरसुक-उलम प्रमेय निम्नलिखित कथन के समतुल्य है: एक n-क्षेत्र से यूक्लिडियन n-अंतरिक्ष में एक सतत विषम फलन शून्य होता है। सबूत:

• यदि प्रमेय सही है, तो यह विशेष रूप से विषम कार्यों के लिए सही है, और विषम कार्यों के लिए, $g(-x)=g(x)$ आईएफएफ $g(x)=0$. इसलिए प्रत्येक विषम सतत फलन का एक शून्य होता है।
• प्रत्येक निरंतर कार्य के लिए $f$, निम्नलिखित कार्य निरंतर और विषम है: $g(x)=f(x)-f(-x)$. यदि प्रत्येक विषम सतत फलन में शून्य हो, तब $g$ एक शून्य है, और इसलिए, $f(x)=f(-x)$. अतः प्रमेय सही है।

प्रत्यावर्तन के साथ

प्रत्यावर्तन को एक क्रिया के रूप में परिभाषित कीजिए $h:S^{n}\to S^{n-1}.$ बोरसुक-उलम प्रमेय निम्नलिखित दावे के बराबर है: कोई निरंतर विषम प्रत्यावर्तन नहीं है।

उपपत्ति: यदि प्रमेय सही है, तो प्रत्येक सतत विषम फलन from $S^{n}$ इसकी सीमा में 0 शामिल होना चाहिए। हालाँकि, $0\notin S^{n-1}$ इसलिए कोई सतत विषम फलन नहीं हो सकता जिसकी सीमा है $S^{n-1}$.

इसके विपरीत, यदि यह गलत है, तो एक सतत विषम फलन होता है $g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$ बिना शून्य के। तब हम एक और विषम फलन बना सकते हैं $h:S^{n}\to S^{n-1}$ द्वारा:

$h(x)={\frac {g(x)}{|g(x)|}}$

तब से $g$ कोई शून्य नहीं है, $h$ अच्छी तरह से परिभाषित और निरंतर है। इस प्रकार हमारे पास निरंतर विषम वापसी है।

प्रमाण

एक आयामी मामला

मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय (आईवीटी) का उपयोग करके 1-आयामी मामला आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

होने देना $g$ एक वृत्त पर एक विषम वास्तविक-मूल्यवान सतत फलन हो। एक मनमाना उठाओ $x$. अगर $g(x)=0$ तो हम कर चुके हैं। अन्यथा, सामान्यता के नुकसान के बिना, $g(x)>0.$ लेकिन $g(-x)<0.$ इसलिए, आईवीटी द्वारा, एक बिंदु है $y$ बीच में $x$ और $-x$ जिस पर $g(y)=0$.

सामान्य मामला

बीजगणितीय सामयिक प्रमाण

ये मान लीजिए $h:S^{n}\to S^{n-1}$ के साथ एक विषम सतत फलन है $n>2$ (मामला $n=1$ ऊपर व्यवहार किया जाता है, मामला $n=2$ बेसिक जगह को ढंकना का उपयोग करके संभाला जा सकता है)। एंटीपोडल क्रिया के तहत कक्षाओं में जाने से, हम एक प्रेरित निरंतर कार्य प्राप्त करते हैं $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ वास्तविक प्रोजेक्टिव स्पेस के बीच, जो मौलिक समूह पर एक आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है। ह्यूरेविक्ज़ प्रमेय द्वारा, सह-समरूपता पर प्रेरित वलय समरूपता $\mathbb {F} _{2}$ गुणांक [जहाँ $\mathbb {F} _{2}$ GF(2)] को दर्शाता है,

$\mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2}\right)\leftarrow H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {F} _{2}\right)=\mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},$

भेजता है $b$ को $a$. लेकिन तब हमें वह मिलता है $b^{n}=0$ को भेजा जाता है $a^{n}\neq 0$, एक विरोधाभास। कोई भी मजबूत कथन दिखा सकता है कि कोई भी विषम मानचित्र $S^{n-1}\to S^{n-1}$ एक सतत मानचित्रण की विषम डिग्री है और फिर इस परिणाम से प्रमेय को घटाएं।

संयुक्त प्रमाण

टकर के लेम्मा से बोरसुक-उलम प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है। होने देना $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ एक निरंतर विषम कार्य हो। क्योंकि जी कॉम्पैक्ट जगह डोमेन पर निरंतर है, यह समान रूप से निरंतर है। इसलिए, प्रत्येक के लिए $\epsilon >0$, वहां एक है $\delta >0$ ऐसा है कि, के हर दो बिंदुओं के लिए $S_{n}$ जो भीतर हैं $\delta$ एक दूसरे के, जी के तहत उनकी छवियां भीतर हैं $\epsilon$ एक दूसरे की।

त्रिभुज को परिभाषित कीजिए $S_{n}$ अधिकतम लंबाई के किनारों के साथ $\delta$. प्रत्येक शीर्ष को लेबल करें $v$ एक लेबल के साथ त्रिभुज का $l(v)\in {\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n}$ इस अनुसार:

• लेबल का निरपेक्ष मान g के उच्चतम निरपेक्ष मान के साथ निर्देशांक का सूचकांक है: $|l(v)|=\arg \max _{k}(|g(v)_{k}|)$.
• लेबल का चिह्न g का चिह्न है, ताकि: $l(v)=\operatorname {sgn}(g(v))|l(v)|$.

क्योंकि g विषम है, लेबलिंग भी विषम है: $l(-v)=-l(v)$. इसलिए, टकर की लेम्मा द्वारा, दो आसन्न शीर्ष हैं $u,v$ विपरीत लेबल के साथ। मान लीजिए w.l.o.g. कि लेबल हैं $l(u)=1,l(v)=-1$. एल की परिभाषा से, इसका मतलब है कि दोनों में $g(u)$ और $g(v)$, निर्देशांक #1 सबसे बड़ा निर्देशांक है: in $g(u)$ में रहते हुए यह निर्देशांक धनात्मक है $g(v)$ यह नकारात्मक है। त्रिभुज के निर्माण से, के बीच की दूरी $g(u)$ और $g(v)$ अधिक से अधिक है $\epsilon$, इसलिए विशेष रूप से $|g(u)_{1}-g(v)_{1}|=|g(u)_{1}|+|g(v)_{1}|\leq \epsilon$ (तब से $g(u)_{1}$ और $g(v)_{1}$ विपरीत संकेत हैं) और इसी तरह $|g(u)_{1}|\leq \epsilon$. लेकिन के सबसे बड़े समन्वय के बाद से $g(u)$ निर्देशांक #1 है, इसका मतलब है कि $|g(u)_{k}|\leq \epsilon$ प्रत्येक के लिए $1\leq k\leq n$. इसलिए $|g(u)|\leq c_{n}\epsilon$, कहाँ $c_{n}$ पर निर्भर कुछ स्थिर है $n$ और आदर्श $|\cdot |$ जिसे आपने चुना है।

उपरोक्त सभी के लिए सत्य है $\epsilon >0$; तब से $S_{n}$ कॉम्पैक्ट है इसलिए एक बिंदु यू होना चाहिए जिसमें $|g(u)|=0$.

परिणाम

• का कोई उपसमुच्चय नहीं $\mathbb {R} ^{n}$ के लिए होमियोमॉर्फिक है $S^{n}$
• हैम सैंडविच प्रमेय: किसी भी कॉम्पैक्ट स्पेस सेट के लिए ए₁, ..., ए_nमें $\mathbb {R} ^{n}$ हम हमेशा उनमें से प्रत्येक को समान माप के दो उपसमुच्चय में विभाजित करने वाला एक हाइपरप्लेन ढूंढ सकते हैं।

समतुल्य परिणाम

ऊपर हमने टकर के लेम्मा से बोरसुक-उलम प्रमेय को साबित करने का तरीका दिखाया। इसका विलोम भी सत्य है: टकर की लेम्मा को बोरसुक-उलम प्रमेय से सिद्ध करना संभव है। इसलिए, ये दो प्रमेय समकक्ष हैं। There are several fixed-point theorems which come in three equivalent variants: an algebraic topology variant, a combinatorial variant and a set-covering variant. Each variant can be proved separately using totally different arguments, but each variant can also be reduced to the other variants in its row. Additionally, each result in the top row can be deduced from the one below it in the same column.

Algebraic topology	Combinatorics	Set covering
Brouwer fixed-point theorem	Sperner's lemma	Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz lemma
Borsuk–Ulam theorem	Tucker's lemma	Lusternik–Schnirelmann theorem

सामान्यीकरण

• मूल प्रमेय में, फ़ंक्शन f का डोमेन इकाई n-क्षेत्र (इकाई n-गेंद की सीमा) है। व्यापक रूप से, यह तब भी सत्य है जब f का प्रांत किसी खुले परिबद्ध सममित उपसमुच्चय की सीमा हो $\mathbb {R} ^{n}$ मूल से युक्त (यहाँ, सममित का अर्थ है कि यदि x उपसमुच्चय में है तो -x भी उपसमुच्चय में है)।
• फ़ंक्शन A पर विचार करें जो एक बिंदु को उसके एंटीपोडल बिंदु पर मैप करता है: $A(x)=-x.$ ध्यान दें कि $A(A(x))=x.$ मूल प्रमेय का दावा है कि एक बिंदु x है जिसमें $f(A(x))=f(x).$ सामान्यतः, यह प्रत्येक फलन A के लिए भी सत्य है जिसके लिए $A(A(x))=x.$ हालांकि, सामान्य तौर पर यह अन्य कार्यों ए के लिए सही नहीं है।

यह भी देखें

• टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स
• नेकलेस फटने की समस्या
• हैम सैंडविच प्रमेय
• काकुटानी की प्रमेय (ज्यामिति)
• इमरे बरनी

संदर्भ

• Borsuk, Karol (1933). "Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre" (PDF). Fundamenta Mathematicae (in Deutsch). 20: 177–190. doi:10.4064/fm-20-1-177-190. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.
• Lyusternik, Lazar; Shnirel'man, Lev (1930). "Topological Methods in Variational Problems". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri O. M. G. U. Moscow.
• Matoušek, Jiří (2003). Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5.
• Steinlein, H. (1985). "Borsuk's antipodal theorem and its generalizations and applications: a survey. Méthodes topologiques en analyse non linéaire". Sém. Math. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN (NATO Adv. Study Inst.). 95: 166–235.
• Su, Francis Edward (Nov 1997). "Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction" (PDF). The American Mathematical Monthly. 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1.1.142.4935. doi:10.2307/2975293. JSTOR 2975293. Archived from the original (PDF) on 2008-10-13. Retrieved 2006-04-21.

बाहरी संबंध

• Who (else) cares about topology? Stolen necklaces and Borsuk-Ulam on YouTube