कैंटर स्पेस

गणित में, कैंटर अंतराल, जिसे जॉर्ज कैंटर के नाम पर रखा गया है, चिरसम्मत कैंटर समुच्चय का सांस्थितिक संक्षिप्तीकरण है- सांस्थितिक अंतराल एक कैंटर अंतराल है, यदि यह कैंटर समुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है। समुच्चय सिद्धांत में, सांस्थितिक अंतराल 2^ω को "द" कैंटर अंतराल कहा जाता है।

उदाहरण

कैंटर समुच्चय स्वयं एक कैंटर अंतराल है। लेकिन कैंटर अंतराल का प्रामाणिक उदाहरण असतत 2-बिंदु अंतराल {0, 1} का गणनीय अनंत सांस्थितिक गुणनफल है। यह प्रायः $2^{\mathbb {N} }$ या 2^ω के रूप में लिखा जाता है (जहां 2 असतत टोपोलॉजी के साथ 2-अल्पांश समुच्चय {0,1} को दर्शाता है)। 2^ω में बिंदु अनंत बाइनरी अनुक्रम है, जो कि अनुक्रम है जो केवल मान 0 या 1 मानता है। इस तरह के अनुक्रम को देखते हुए a₀, a₁, a₂,..., इसे वास्तविक संख्या में मैप कर सकते हैं

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n+1}}}.$

यह मैपिंग 2^ω से कैंटर समुच्चय पर होमियोमोर्फिज्म देता है, यह प्रदर्शित करता है कि 2^ω वास्तव में कैंटर अंतराल है।

कैंटर अंतराल वास्तविक विश्लेषण में बहुतायत से पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, वे प्रत्येक संपूर्ण, पूर्ण मापीय अंतराल में उप-अंतराल के रूप में उपस्थित होते हैं। (इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि ऐसे अंतराल में, किसी भी गैर-रिक्त पूर्ण समुच्चय में मनमाने ढंग से छोटे व्यास के दो अलग-अलग गैर-रिक्त पूर्ण उपसमुच्चय होते हैं, और इसलिए कोई सामान्य कैंटर समुच्चय के निर्माण का अनुकरण कर सकता है।) इसके अतिरिक्त, प्रत्येक असंख्य, वियोज्य, पूरी तरह से मेट्रिजेबल अंतराल में कैंटर अंतराल को उपस्थान के रूप में सम्मिलित किया गया है। इसमें वास्तविक विश्लेषण में अधिकांश सामान्य अंतराल सम्मिलित हैं।

विशेषता

ब्रौवेर के प्रमेय द्वारा कैंटर अंतराल का सांस्थितिक लक्षण वर्णन दिया गया है-

अलग-अलग बिंदुओं के बिना कोई भी दो गैर-रिक्त सघन हौसडॉर्फ अंतराल और क्लोपेन समुच्चय से युक्त गणनीय आधार एक-दूसरे के लिए होमियोमोर्फिक हैं।

क्लॉपेन समुच्चय से युक्त आधार होने की सांस्थितिकीय गुण को कभी-कभी "शून्य-आयामीता" के रूप में जाना जाता है। ब्रौवर के प्रमेय को इस रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है-

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक कैंटर स्पेस है अगर और केवल अगर यह खाली नहीं है, परफेक्ट, कॉम्पैक्ट, पूरी तरह से डिस्कनेक्ट, और मेट्रिजेबल है।

यह प्रमेय भी समतुल्य है (बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय के माध्यम से) इस तथ्य के लिए कि कोई भी दो गणनीय परमाणु रहित बूलियन बीजगणित समरूपी हैं।

गुण

जैसा कि ब्रौवर के प्रमेय से उम्मीद की जा सकती है, कैंटर रिक्त स्थान कई रूपों में दिखाई देते हैं। लेकिन कैंटर स्पेस के कई गुणों को 2 का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है^ω, क्योंकि एक उत्पाद के रूप में इसका निर्माण इसे विश्लेषण के लिए उत्तरदायी बनाता है।

कैंटर रिक्त स्थान में निम्नलिखित गुण हैं:

• किसी भी कैंटर स्थान की प्रमुखता है $2^{\aleph _{0}}$, अर्थात्, सातत्य की प्रमुखता।
• दो (या किसी भी परिमित या गणनीय संख्या) कैंटर रिक्त स्थान का उत्पाद एक कैंटर स्थान है। कैंटर समारोह के साथ, इस तथ्य का उपयोग जगह भरने वाला कर्व ्स के निर्माण के लिए किया जा सकता है।
• ए (गैर-खाली) हॉउसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस कॉम्पैक्ट मेट्रिजेबल है अगर और केवल अगर यह कैंटर स्पेस का एक निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) इमेज (गणित) है।

चलो सी (एक्स) एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स पर सभी वास्तविक मूल्यवान, बाध्य फ़ंक्शन निरंतर फ़ंक्शन (गणित) की जगह को दर्शाता है। चलो के एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान को दर्शाता है, और Δ कैंटर सेट को दर्शाता है। तब कैंटर सेट में निम्नलिखित गुण होते हैं:

• सी (के) सी (Δ) के एक बंद सेट सबस्पेस के आइसोमेट्री है।

सामान्य तौर पर, यह आइसोमेट्री अद्वितीय नहीं है, और इस प्रकार श्रेणी सिद्धांत अर्थों में एक सार्वभौमिक संपत्ति नहीं है।

• कैंटर स्पेस के सभी होमोमोर्फिज्म का समूह (गणित) सरल समूह है।

यह भी देखें

• अंतरिक्ष (गणित)
• कैंटर सेट
• कैंटर क्यूब

संदर्भ

• Kechris, A. (1995). Classical Descriptive Set Theory (Graduate Texts in Mathematics 156 ed.). Springer. ISBN 0-387-94374-9.