गैलोइस कनेक्शन

गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, गैलोज़ कनेक्शन दो आंशिक रूप से आदेशित सेट (पॉसेट) के बीच एक विशेष पत्राचार (आमतौर पर) होता है। Galois कनेक्शन विभिन्न गणितीय सिद्धांतों में अनुप्रयोग खोजते हैं। वे उपसमूहों और क्षेत्र विस्तार के बीच पत्राचार के बारे में गैल्वा सिद्धांत के मौलिक प्रमेय को सामान्यीकृत करते हैं, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ इवरिस्टे गैलोइस द्वारा खोजा गया था।

गैलोज़ कनेक्शन को पहले से ऑर्डर किए गए सेट या पहले से ऑर्डर किए गए वर्ग पर भी परिभाषित किया जा सकता है; यह लेख पोसेट्स के सामान्य मामले को प्रस्तुत करता है। साहित्य में गाल्वा कनेक्शन की दो निकट संबंधी धारणाएँ हैं। इस लेख में, हम उन्हें (मोनोटोन) गैलोज़ कनेक्शन और एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन के रूप में संदर्भित करेंगे।

शामिल पॉसेट्स के बीच एक ऑर्डर आइसोमोर्फिज़्म की तुलना में गैलोज़ कनेक्शन अपेक्षाकृत कमजोर है, लेकिन प्रत्येक गैलोज़ कनेक्शन कुछ उप-पॉसेट्स के आइसोमोर्फिज़्म को जन्म देता है, जैसा कि नीचे बताया जाएगा। गाल्वा पत्राचार शब्द का प्रयोग कभी-कभी विशेषण गैलोइस कनेक्शन के अर्थ में किया जाता है; यह बस एक आदेश समरूपता है (या डुअल ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म, इस पर निर्भर करता है कि क्या हम मोनोटोन या एंटीटोन गैलोज कनेक्शन लेते हैं)।

परिभाषाएँ

(मोनोटोन) गाल्वा कनेक्शन

होने देना (A, ≤) और (B, ≤) दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट हों। इन पॉसेट्स के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन में दो मोनोटोन समारोह होते हैं समारोह (गणित): F : A → B और G : B → A, ऐसा कि सभी के लिए a में A और b में B, अपने पास

F(a) ≤ b अगर और केवल अगर a ≤ G(b).

इस स्थिति में, F का निचला संलग्नक कहा जाता है G और G को A का ऊपरी जोड़ कहा जाता है। सिमेंटिक रूप से, ऊपरी/निचली शब्दावली से तात्पर्य है जहां फ़ंक्शन एप्लिकेशन ≤ के सापेक्ष प्रकट होता है। आसन्न शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन श्रेणी सिद्धांत में आसन्न फ़ैक्टरों के जोड़े के विशेष मामले हैं जैसा कि नीचे चर्चा की गई है। यहाँ अन्य शब्दावली का सामना निम्न (उत्तर. ऊपरी) आसन्न के लिए बाएँ आसन्न (उत्तर दाएँ संलग्न) से होता है।

गैलोज़ कनेक्शन की एक आवश्यक संपत्ति यह है कि गैलोज़ कनेक्शन का एक ऊपरी/निचला जोड़ विशिष्ट दूसरे को निर्धारित करता है:

F(a) सबसे कम तत्व है ~b साथ a ≤ G(~b), और

G(b) सबसे बड़ा तत्व है ~a साथ F(~a) ≤ b.

इसका एक परिणाम यह होता है कि यदि F या G उलटा है, तो प्रत्येक दूसरे का व्युत्क्रम कार्य है, अर्थात F = G ⁻¹.

निचले आसन्न के साथ गैलोज़ कनेक्शन दिया गया F और ऊपरी आसन्न G, हम फ़ंक्शन संरचना पर विचार कर सकते हैं GF : A → A, संबद्ध बंद करने वाला ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है, और FG : B → B, संबद्ध कर्नेल ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। दोनों मोनोटोन और बेवकूफ हैं, और हमारे पास है a ≤ GF(a) सभी के लिए a में A और FG(b) ≤ b सभी के लिए b में B.

का एक गैलोइस सम्मिलन B में A एक गैलोज़ कनेक्शन है जिसमें कर्नेल ऑपरेटर FG पहचान कार्य चालू है B, और इसलिए G का एक क्रम समरूपता है B बंद तत्वों के सेट का विशेषण GF [A] का A.

एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन

उपरोक्त परिभाषा आज कई अनुप्रयोगों में आम है, और जाली (आदेश) और डोमेन सिद्धांत में प्रमुख है। हालाँकि गैलोज़ सिद्धांत में मूल धारणा थोड़ी अलग है। इस वैकल्पिक परिभाषा में, एक गैलोज़ कनेक्शन एंटीटोन की एक जोड़ी है, यानी ऑर्डर-रिवर्सिंग, फ़ंक्शंस F : A → B और G : B → A दो पोसेट के बीच A और B, ऐसा है कि

b ≤ F(a) अगर और केवल अगर a ≤ G(b).

की समरूपता F और G इस संस्करण में ऊपरी और निचले के बीच के अंतर को मिटा दिया जाता है, और दो कार्यों को तब आसन्न के बजाय ध्रुवीकरण कहा जाता है। चूंकि प्रत्येक ध्रुवता विशिष्ट रूप से दूसरे को निर्धारित करती है

F(a) सबसे बड़ा तत्व है b साथ a ≤ G(b), और

G(b) सबसे बड़ा तत्व है a साथ b ≤ F(a).

रचनाएँ GF : A → A और FG : B → B संबंधित क्लोजर ऑपरेटर हैं; वे संपत्ति के साथ नीरस आदर्श नक्शे हैं a ≤ GF(a) सभी के लिए a में A और b ≤ FG(b) सभी के लिए b में B.

गैलोज़ कनेक्शन की दो परिभाषाओं के निहितार्थ बहुत समान हैं, क्योंकि एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन के बीच है A और B के बीच बस एक मोनोटोन गैलोज कनेक्शन है A और द्वैत (आदेश सिद्धांत) B^op का B. गैलोज़ कनेक्शन पर नीचे दिए गए सभी बयान इस प्रकार आसानी से एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन के बयानों में परिवर्तित किए जा सकते हैं।

उदाहरण

मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन

पावर सेट; निहितार्थ और संयोजन

आदेश-सैद्धांतिक उदाहरण के लिए, आइए U कुछ सेट (गणित) हो, और चलो A और B दोनों का सत्ता स्थापित हो U, [[सबसेट समावेशन]] द्वारा आदेशित। एक निश्चित उपसमुच्चय चुनें L का U. फिर नक्शे F और G, कहाँ F(M ) = L ∩ M, और G(N ) = N ∪ (U \ L), के साथ एक मोनोटोन गैल्वा कनेक्शन बनाएं F निचला आसन्न होना। एक समान गैलोज कनेक्शन जिसका निचला आसन्न मीट (न्यूनतम) ऑपरेशन द्वारा दिया गया है, किसी भी हेटिंग बीजगणित में पाया जा सकता है। विशेष रूप से, यह किसी भी बूलियन बीजगणित (संरचना) में मौजूद है, जहां दो मैपिंग द्वारा वर्णित किया जा सकता है F(x) = (a ∧ x) और G( y) = ( y ∨ ¬a) = (a ⇒ y). तार्किक शब्दों में: से निहितार्थ a के साथ संयोजन का उपरी जोड़ है a .

जाली

गैल्वा कनेक्शन के लिए और दिलचस्प उदाहरण पूर्णता (आदेश सिद्धांत) पर लेख में वर्णित हैं। मोटे तौर पर बोलते हुए, यह पता चला है कि सामान्य कार्य ∨ और ∧ विकर्ण मानचित्र के निचले और ऊपरी हिस्से हैं X → X × X. आंशिक क्रम के सबसे कम और सबसे बड़े तत्व अद्वितीय फ़ंक्शन के निचले और ऊपरी जोड़ों द्वारा दिए गए हैं X → {1}. आगे जाकर, पूर्ण जालकों को भी उपयुक्त संलग्नकों के अस्तित्व द्वारा अभिलक्षित किया जा सकता है। ये विचार ऑर्डर थ्योरी में गैलोज़ कनेक्शन की सर्वव्यापकता का कुछ आभास देते हैं।

सकर्मक समूह क्रियाएं

होने देना G समूह क्रिया ग्रुप एक्शन#कार्रवाइयों के प्रकार पर X और कुछ बिंदु चुनें x में X. विचार करना

${\mathcal {B}}=\{B\subseteq X:x\in B;\forall g\in G,gB=B\ \mathrm {or} \ gB\cap B=\emptyset \},$

युक्त ब्लॉक का सेट x. आगे, चलो ${\mathcal {G}}$ के उपसमूहों से मिलकर बनता है G जिसमें ग्रुप एक्शन#ऑर्बिट्स और स्टेबलाइजर्स शामिल हैं x.

फिर, पत्राचार ${\mathcal {B}}\to {\mathcal {G}}$:

$B\mapsto H_{B}=\{g\in G:gx\in B\}$

एक मोनोटोन, इंजेक्शन समारोह | एक-से-एक गैलोज़ कनेक्शन है। एक उपप्रमेय के रूप में, कोई यह स्थापित कर सकता है कि द्विगुणित सकर्मक क्रियाओं में तुच्छ लोगों (एकल या संपूर्ण) के अलावा कोई ब्लॉक नहीं है X): यह स्टेबलाइजर्स में अधिकतम होने के कारण होता है G उस मामले में। आगे की चर्चा के लिए 2-सकर्मक समूह देखें।

छवि और प्रतिलोम छवि

अगर  f : X → Y एक फ़ंक्शन (गणित) है, फिर किसी भी सबसेट के लिए M का X हम छवि बना सकते हैं (गणित) F(M ) =  f M = { f (m) | m ∈ M} और किसी भी सबसेट के लिए N का Y हम उलटी छवि बना सकते हैं G(N ) =  f ⁻¹N = {x ∈ X |  f (x) ∈ N}. तब F और G के पावर सेट के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाते हैं X और का पावर सेट Y, दोनों समावेशन ⊆ द्वारा आदेशित हैं। इस स्थिति में एक और संलग्न जोड़ी है: एक उपसमुच्चय के लिए M का X, परिभाषित करना H(M) = {y ∈ Y |  f ⁻¹{y} ⊆ M}. तब G और H के पावर सेट के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाते हैं Y और का पावर सेट X. पहले गैलोज़ कनेक्शन में, G ऊपरी संलग्नक है, जबकि दूसरे गाल्वा कनेक्शन में यह निचले संलग्नक के रूप में कार्य करता है।

बीजगणितीय वस्तुओं (जैसे समूह (गणित)) के बीच एक अंश समूह के मामले में, इस कनेक्शन को जाली प्रमेय कहा जाता है: के उपसमूह G के उपसमूहों से कनेक्ट करें G/N, और उपसमूहों पर क्लोजर ऑपरेटर G द्वारा दिया गया है H = HN.

स्पैन और क्लोजर

कुछ गणितीय वस्तु उठाओ X जिसमें एक अंतर्निहित सेट है, उदाहरण के लिए एक समूह, अंगूठी (गणित), सदिश स्थल इत्यादि। किसी भी सबसेट के लिए S का X, होने देना F(S ) का सबसे छोटा विषय हो X उसमें सम्मिलित है S, यानी उपसमूह, उपसमूह या रैखिक उपस्थान द्वारा उत्पन्न S. किसी भी विषय के लिए U का X, होने देना G(U ) का अंतर्निहित सेट हो U. (हम भी ले सकते हैं X एक टोपोलॉजिकल स्पेस होने दें F(S ) का क्लोजर (टोपोलॉजी)। S, और के सबऑब्जेक्ट्स के रूप में लें X  के बंद उपसमुच्चय X।) अब F और G के सबसेट के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाते हैं X और के विषय X, यदि दोनों को समावेशन द्वारा आदेशित किया गया है। F निचला सन्निकट है।

वाक्यविन्यास और शब्दार्थ

विलियम लॉवरे की एक बहुत ही सामान्य टिप्पणी यह है कि वाक्य रचना और शब्दार्थ आसन्न हैं: take A सभी तार्किक सिद्धांतों (स्वयंसिद्धीकरण) का सेट होना, और B सभी गणितीय संरचनाओं के सेट का पावर सेट। एक सिद्धांत के लिए T ∈ A, होने देना Mod(T ) स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाली सभी संरचनाओं का समुच्चय हो T ; गणितीय संरचनाओं के एक सेट के लिए S ∈ B, होने देना Th(S ) कम से कम स्वयंसिद्ध हों जो अनुमानित हों S (पहले क्रम के तर्क में, यह उन वाक्यों का समूह है जो सभी संरचनाओं में सत्य हैं S). हम तब कह सकते हैं Mod(T ) का उपसमुच्चय है S अगर और केवल अगर T तार्किक रूप से तात्पर्य है Th(S ): सिमेंटिक्स फ़ैक्टर Mod और सिंटैक्स फ़ैक्टर Th एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाते हैं, जिसमें शब्दार्थ ऊपरी आसन्न होता है।

एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन

गैलोइस थ्योरी

प्रेरक उदाहरण गाल्वा सिद्धांत से आता है: मान लीजिए L/K एक फील्ड एक्सटेंशन है। होने देना A के सभी उपक्षेत्रों का समुच्चय हो L जिसमें शामिल है K, समावेशन ⊆ द्वारा आदेशित। अगर E ऐसा ही एक सबफील्ड है, लिखो Gal(L/E) फील्ड ऑटोमोर्फिज्म के समूह के लिए L जो धारण करता है E हल किया गया। होने देना B के उपसमूहों का समुच्चय हो Gal(L/K), समावेशन ⊆ द्वारा आदेशित। ऐसे उपसमूह के लिए G, परिभाषित करना Fix(G) सभी तत्वों से युक्त क्षेत्र होना L जो सभी तत्वों द्वारा तय किए गए हैं G. फिर नक्शे E ↦ Gal(L/E) और G ↦ Fix(G) एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाते हैं।

बीजगणितीय टोपोलॉजी: रिक्त स्थान को कवर करना

अनुरूप रूप से, एक पथ-जुड़ा स्थलीय स्थान दिया गया X, मौलिक समूह के उपसमूहों के बीच एक एंटीटोन गैलोज कनेक्शन है π₁(X) और पाथ-कनेक्टेड अंतरिक्ष को कवर करना ऑफ़ X. विशेष रूप से, अगर X अर्ध-स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ है, फिर प्रत्येक उपसमूह के लिए G का π₁(X), के साथ एक कवरिंग स्पेस है G इसके मौलिक समूह के रूप में।

रेखीय बीजगणित: विनाशक और ऑर्थोगोनल पूरक

एक आंतरिक उत्पाद स्थान दिया गया V, हम ओर्थोगोनल पूरक बना सकते हैं F(X ) किसी भी उप-स्थान का X का V. यह उप-स्थानों के सेट के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन उत्पन्न करता है V और स्वयं, समावेशन द्वारा आदेशित; दोनों ध्रुवताएं बराबर हैं F.

एक सदिश स्थान दिया गया है V और एक उपसमुच्चय X का V हम इसके विनाशक को परिभाषित कर सकते हैं F(X ), दोहरे स्थान के सभी तत्वों से मिलकर V ^∗ का V जो गायब हो जाता है X. इसी प्रकार, एक उपसमुच्चय दिया है Y का V ^∗, हम इसके सर्वनाश को परिभाषित करते हैं G(Y ) = { x ∈ V | φ(x) = 0 ∀φ ∈ Y }. यह सबसेट के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन देता है V और के सबसेट V ^∗.

बीजगणितीय ज्यामिति

बीजगणितीय ज्यामिति में, बहुपदों के सेट और उनके शून्य सेट के बीच का संबंध एंटीटोन गैलोइस कनेक्शन है।

एक प्राकृतिक संख्या तय करें n और एक क्षेत्र (गणित) K और जाने A बहुपद वलय के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय हो K[X₁, ..., X_n] समावेशन द्वारा आदेशित ⊆, और चलो B के सभी उपसमूहों का समुच्चय हो Kⁿ समावेश ⊆ द्वारा आदेशित। अगर S बहुपदों का एक समूह है, बीजगणितीय ज्यामिति#Affine किस्मों को शून्य के रूप में परिभाषित करें

$V(S)=\{x\in K^{n}:f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in S\},$

बहुपदों के एक बहुपद के उभयनिष्ठ मूल का समुच्चय S. अगर U का उपसमुच्चय है Kⁿ, परिभाषित करना I(U ) लुप्त हो रहे बहुपदों के आदर्श (रिंग थ्योरी) के रूप में U, वह है

$I(U)=\{f\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]:f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in U\}.$

तब V और मैं एक एंटीटोन गैल्वा कनेक्शन बनाता हूं।

बंद चालू Kⁿ जरिस्की टोपोलॉजी में क्लोजर है, और यदि फील्ड है K बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, तो बहुपद वलय पर बंद होने से उत्पन्न आदर्श के एक आदर्श का रेडिकल है S.

अधिक आम तौर पर, एक क्रमविनिमेय अंगूठी दी जाती है R (अनिवार्य रूप से एक बहुपद अंगूठी), अंगूठी में कट्टरपंथी आदर्शों और बीजगणितीय ज्यामिति की उप-किस्मों के बीच एक एंटीटोन गैलोइस कनेक्शन है#Affine किस्मों Spec(R).

अधिक आम तौर पर, रिंग में आदर्शों और संबंधित बीजगणितीय ज्यामिति #Affine किस्मों की उपयोजनाओं के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन होता है।

बाइनरी संबंधों से उत्पन्न होने वाले पावर सेट पर कनेक्शन

कल्पना करना X और Y मनमाना सेट और एक द्विआधारी संबंध हैं R ऊपर X और Y दिया हुआ है। किसी उपसमुच्चय के लिए M का X, हम परिभाषित करते हैं F(M ) = { y ∈ Y | mRy ∀m ∈ M }. इसी तरह, किसी उपसमुच्चय के लिए N का Y, परिभाषित करना G(N ) = { x ∈ X | xRn ∀n ∈ N }. तब F और G के पावर सेट के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन प्राप्त करें X और Y, दोनों समावेशन ⊆ द्वारा आदेशित हैं। समरूपता तक पावर सेट के बीच सभी एंटीटोन गैलोज कनेक्शन इस तरह से उत्पन्न होते हैं। यह कॉन्सेप्ट लैटिस पर बेसिक प्रमेय से आता है। औपचारिक अवधारणा विश्लेषण में द्विआधारी संबंधों से उत्पन्न होने वाले गैलोज़ कनेक्शन के सिद्धांत और अनुप्रयोगों का अध्ययन किया जाता है। वह फ़ील्ड गणितीय डेटा विश्लेषण के लिए Galois कनेक्शन का उपयोग करता है। संबंधित साहित्य में गैल्वा कनेक्शन के लिए कई एल्गोरिदम पाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए।

गुण

निम्नलिखित में, हम एक (मोनोटोन) गैलोज़ कनेक्शन पर विचार करते हैं  f = ( f ^∗,  f_∗), कहाँ {{math| f ^∗ : A → B}जैसा कि ऊपर प्रस्तुत किया गया है } निचला संलग्नक है। कुछ सहायक और शिक्षाप्रद बुनियादी गुणों को तुरंत प्राप्त किया जा सकता है। गैल्वा कनेक्शन की परिभाषित संपत्ति से,  f ^∗(x) ≤  f ^∗(x) के बराबर है x ≤  f_∗( f ^∗(x)), सभी के लिए x में A. इसी तरह के तर्क से (या केवल द्वैत (आदेश सिद्धांत) को लागू करके), कोई यह पाता है  f ^∗( f_∗(y)) ≤ y, सभी के लिए y में B. इन गुणों का वर्णन संयुक्त कह कर किया जा सकता है  f ^∗∘ f_∗ अपस्फीतिकारक है, जबकि  f_∗∘ f ^∗ मुद्रास्फीति (या व्यापक) है।

अब विचार करें x, y ∈ A ऐसा है कि x ≤ y. फिर उपरोक्त का उपयोग करके प्राप्त करता है x ≤  f_∗( f ^∗(y)). गैल्वा कनेक्शन की मूल संपत्ति को लागू करने से अब यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है  f ^∗(x) ≤  f ^∗(y). लेकिन यह सिर्फ यही दर्शाता है  f ^∗ किन्हीं भी दो तत्वों के क्रम को बनाए रखता है, यानी यह मोनोटोन है। फिर से, इसी तरह के तर्क से एकरसता पैदा होती है  f_∗. इस प्रकार एकरसता को स्पष्ट रूप से परिभाषा में शामिल करने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि, मोनोटोनिकिटी का उल्लेख करने से गैलोज़ कनेक्शन की दो वैकल्पिक धारणाओं के बारे में भ्रम से बचने में मदद मिलती है।

गैलोज़ कनेक्शन की एक और बुनियादी संपत्ति यह तथ्य है कि  f_∗( f ^∗( f_∗(x))) =  f_∗(x), सभी के लिए x में B. स्पष्ट रूप से हम पाते हैं

 f_∗( f ^∗( f_∗(x))) ≥  f_∗(x).

क्योंकि  f_∗∘ f ^∗ स्फीतिकारक है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। दूसरी ओर, चूंकि  f ^∗∘ f_∗ अपस्फीतिकारक है, जबकि  f_∗ मोनोटोनिक है, कोई पाता है

 f_∗( f ^∗( f_∗(x))) ≤  f_∗(x).

यह वांछित समानता दिखाता है। इसके अलावा, हम इस संपत्ति का उपयोग यह निष्कर्ष निकालने के लिए कर सकते हैं

 f ^∗( f_∗( f ^∗( f_∗(x)))) =  f ^∗( f_∗(x))

और

 f_∗( f ^∗( f_∗( f ^∗(x)))) =  f_∗( f ^∗(x))

अर्थात।,  f ^∗∘ f_∗ और  f_∗∘ f ^∗ निष्पाप हैं।

यह दिखाया जा सकता है (प्रमाण के लिए ब्लीथ या एर्ने देखें) कि एक समारोह  f  एक निचला (प्रतिक्रिया ऊपरी) आसन्न है अगर और केवल अगर  f  एक अवशिष्ट मानचित्रण (प्रतिक्रिया अवशिष्ट मानचित्रण) है। इसलिए, अवशिष्ट मानचित्रण और मोनोटोन गैलोइस कनेक्शन की धारणा अनिवार्य रूप से समान है।

क्लोजर ऑपरेटर और गैलोज़ कनेक्शन

उपरोक्त निष्कर्षों को निम्नानुसार संक्षेपित किया जा सकता है: गैलोज़ कनेक्शन के लिए, समग्र  f_∗∘ f ^∗ मोनोटोन है (मोनोटोन कार्यों का सम्मिश्रण होने के नाते), स्फीतिकारी और निष्क्रिय है। यह बताता है कि  f_∗∘ f ^∗ वास्तव में एक क्लोजर ऑपरेटर है A. दैनिक रूप से,  f ^∗∘ f_∗ मोनोटोन, डिफ्लेशनरी और इडेम्पोटेंट है। ऐसे मैपिंग को कभी-कभी कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है। फ़्रेम और लोकेशंस के संदर्भ में, समग्र  f_∗∘ f ^∗ द्वारा प्रेरित नाभिक कहा जाता है  f . नाभिक प्रेरित फ्रेम समरूपता; लोकेल के एक उपसमुच्चय को सबलोकेल कहा जाता है यदि यह एक नाभिक द्वारा दिया जाता है।

बातचीत (तर्क), कोई क्लोजर ऑपरेटर c किसी पोसेट पर A निचले सन्निकट के साथ गैलोज़ कनेक्शन को जन्म देता है  f ^∗ का केवल प्रतिबंध है c की छवि के लिए c (अर्थात क्लोजर सिस्टम की विशेषण मैपिंग के रूप में c(A)). ऊपरी जोड़  f_∗ तब के समावेशन मानचित्र द्वारा दिया जाता है c(A) में A, जो प्रत्येक बंद तत्व को स्वयं के लिए मैप करता है, जिसे एक तत्व माना जाता है A. इस तरह, क्लोजर ऑपरेटर्स और गैलोज़ कनेक्शनों को बारीकी से संबंधित देखा जाता है, प्रत्येक दूसरे के एक उदाहरण को निर्दिष्ट करता है। इसी तरह के निष्कर्ष कर्नेल ऑपरेटरों के लिए सही हैं।

उपरोक्त विचार यह भी दिखाते हैं कि बंद तत्व A (तत्व x साथ  f_∗( f ^∗(x)) = x) कर्नेल ऑपरेटर की सीमा के भीतर तत्वों के लिए मैप किए गए हैं  f ^∗∘ f_∗, और इसके विपरीत।

गाल्वा कनेक्शन का अस्तित्व और विशिष्टता

गैल्वा कनेक्शन की एक और महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि निचले आसन्न सीमा (ऑर्डर थ्योरी) को संरक्षित करते हैं जो कि एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन के भीतर मौजूद हैं। दैनिक रूप से, ऊपरी अनुलग्न सभी मौजूदा सबसे कम को संरक्षित करते हैं। इन गुणों से, कोई भी तुरंत आसन्नों की एकरसता का निष्कर्ष निकाल सकता है। आसन्न फंक्टर प्रमेय (आदेश सिद्धांत) कहता है कि कुछ मामलों में उलटा निहितार्थ भी मान्य है: विशेष रूप से, पूर्ण लैटिस के बीच कोई मैपिंग जो सभी सुपरमा को संरक्षित करता है, गैलोइस कनेक्शन का निचला आसन्न है।

इस स्थिति में, गैल्वा कनेक्शन की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि एक संलग्न दूसरे को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। इसलिए उपरोक्त बयान को मजबूत करने के लिए यह गारंटी दी जा सकती है कि पूर्ण जाली के बीच कोई सर्वोच्च-संरक्षित मानचित्र एक अद्वितीय गैलोइस कनेक्शन का निचला हिस्सा है। इस अद्वितीयता को प्राप्त करने की मुख्य विशेषता निम्नलिखित है: प्रत्येक के लिए x में A,  f ^∗(x) सबसे कम तत्व है y का B ऐसा है कि x ≤  f_∗(y). वास्तव में, प्रत्येक के लिए y में B,  f_∗(y) सबसे बड़ा है x में A ऐसा है कि  f ^∗(x) ≤ y. एक निश्चित गैलोज़ कनेक्शन का अस्तित्व अब संबंधित सबसे कम या सबसे बड़े तत्वों के अस्तित्व का अर्थ है, चाहे संबंधित पोसेट किसी पूर्णता (आदेश सिद्धांत) को संतुष्ट करते हों। इस प्रकार, जब गैलोज़ कनेक्शन का एक ऊपरी जोड़ दिया जाता है, तो दूसरे ऊपरी जोड़ को इसी संपत्ति के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।

दूसरी ओर, कुछ मोनोटोन फ़ंक्शन  f  यदि और केवल यदि फॉर्म का प्रत्येक सेट है तो एक निचला आसन्न है { x ∈ A |  f (x) ≤ b }, के लिए b में B, सबसे बड़ा तत्व होता है। दोबारा, यह ऊपरी आसन्न के लिए दोहरा हो सकता है।

गाल्वा कनेक्शन morphisms के रूप में

गैलोज कनेक्शन पोसेट्स के बीच मैपिंग का एक दिलचस्प वर्ग भी प्रदान करता है जिसका उपयोग पोसेट्स की श्रेणी (गणित) प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, गैलोज़ कनेक्शन बनाना संभव है: दिए गए गैलोज़ कनेक्शन ( f ^∗,  f_∗) पोज़ के बीच A और B और (g^∗, g_∗) बीच में B और C, समग्र (g^∗ ∘  f ^∗,  f_∗ ∘ g_∗) भी गैलोज़ कनेक्शन है। जब पूर्ण जाली की श्रेणियों पर विचार किया जाता है, तो इसे सभी सुपरमा (या, वैकल्पिक रूप से, इन्फिमा) को संरक्षित करने वाले मैपिंग पर विचार करने के लिए सरल बनाया जा सकता है। अपने द्वैत के लिए पूर्ण जाली का मानचित्रण, ये श्रेणियां ऑटो द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) प्रदर्शित करती हैं, जो अन्य द्वैत प्रमेयों को प्राप्त करने के लिए काफी मौलिक हैं। अधिक विशेष प्रकार के morphisms जो दूसरी दिशा में आसन्न मैपिंग को प्रेरित करते हैं वे morphisms हैं जिन्हें आमतौर पर पूर्ण Heyting बीजगणित (या लोकेल) के लिए माना जाता है।

श्रेणी सिद्धांत से संबंध

प्रत्येक आंशिक रूप से आदेशित सेट को प्राकृतिक तरीके से एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है: x से y तक एक अद्वितीय रूपवाद है यदि और केवल यदि x ≤ y. एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन तब आंशिक रूप से आदेशित सेट से उत्पन्न होने वाली दो श्रेणियों के बीच आसन्न फ़ैक्टरों की एक जोड़ी के अलावा कुछ भी नहीं है। इस संदर्भ में, ऊपरी संलग्नक दाहिनी ओर है जबकि निचला संलग्नक बाएं आसन्न है। हालांकि, इस शब्दावली को गैलोज़ कनेक्शन के लिए टाला जाता है, क्योंकि एक समय था जब पोसेट्स को दोहरी शैली में श्रेणियों में बदल दिया गया था, यानी विपरीत दिशा में इशारा करते हुए आकारिकी के साथ। इससे बाएँ और दाएँ सन्निकटों से संबंधित एक पूरक अंकन हुआ, जो आज अस्पष्ट है।

प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में अनुप्रयोग

प्रोग्रामिंग भाषाओं की अमूर्त व्याख्या के सिद्धांत में अमूर्तता के कई रूपों का वर्णन करने के लिए गैलोज़ कनेक्शन का उपयोग किया जा सकता है।

संदर्भ

The following books and survey articles include Galois connections using the monotone definition:

• Brian A. Davey and Hilary A. Priestley: Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, 2002.
• Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.
• Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, A primer on Galois connections, in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp. 103–125. (Freely available online in various file formats PS.GZ PS, it presents many examples and results, as well as notes on the different notations and definitions that arose in this area.)

Some publications using the original (antitone) definition:

• Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Thomas Scott Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
• Nikolaos Galatos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski, and Hiroakira Ono (2007), Residuated Lattices. An Algebraic Glimpse at Substructural Logics, Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5.
• Garrett Birkhoff: Lattice Theory, Amer. Math. Soc. Coll. Pub., Vol 25, 1940
• Ore, Øystein (1944), "Galois Connexions", Transactions of the American Mathematical Society, 55 (3): 493–513, doi:10.2307/1990305, JSTOR 1990305