अनुक्रम समष्टि

For विकासवादी जीव विज्ञान में उपयोग, see अनुक्रम स्थान (विकास). For अनुक्रम संख्या पर गणितीय संचालन, see क्रम संख्या अंकगणित.

फलनिक विश्लेषण और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, अनुक्रम समष्टि एक सदिश समष्टि है जिसका तत्व वास्तविक संख्या या समिश्र संख्या के अनुक्रम हैं। समतुल्य रूप से, यह फलन समष्‍टि है जिसके तत्व प्राकृतिक संख्याओं से लेकर वास्तविक या समिश्र संख्या के क्षेत्र (गणित) K तक के फलन हैं। ऐसे सभी फलन का समुच्चय स्वाभाविक रूप से K में तत्वों के साथ सभी संभावित अनंत अनुक्रमों के समुच्चय के साथ पहचाना जाता है, और फलन के बिंदुवार जोड़ और बिंदुवार अदिश गुणन के संचालन के तहत सदिश समष्टि में परिवर्तित किया जा सकता है। सभी अनुक्रम समष्टि इस समष्टि के रैखिक उप-समष्टि हैं। अनुक्रम समष्टि आमतौर पर आदर्श (गणित) या कम से कम स्थलीय सदिश समष्टि की संरचना से लैस होते हैं।

विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अनुक्रम समष्टि ℓ^p समष्टि हैं, जिसमें p-मानदंड के साथ p-पॉवर संकलन योग्य अनुक्रम शामिल हैं। ये प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर गिनती के उपाय के लिए L^p समष्टि के विशेष मामले हैं | अनुक्रमों के अन्य महत्वपूर्ण वर्ग जैसे अभिसरण अनुक्रम या अशक्त अनुक्रम समष्टि बनाते हैं, क्रमशः c और c₀ को सर्वोच्च मानदंड के साथ निरूपित करते हैं। किसी भी अनुक्रम समष्टि को बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी से भी सुसज्जित किया जा सकता है, जिसके तहत यह विशेष प्रकार का फ्रेचेट समष्टि बन जाता है जिसे FK-अंतरिक्ष कहा जाता है।

परिभाषा

अनुक्रम $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ समुच्चय $X$ में बस $X$-मान मैप है $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ जिसका मान $n\in \mathbb {N}$ पर $x_{n}$ द्वारा सामान्य कोष्ठक संकेतन के बजाय $x(n).$ निरूपित किया जाता है

सभी अनुक्रमों का समष्टि

$\mathbb {K}$ वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र को निरूपित करता है। समुच्चय $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ के तत्वों के सभी अनुक्रम (गणित) के $\mathbb {K}$ घटकवार संचालन जोड़ के लिए सदिश समष्टि है

$\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },$

और घटकवार अदिश गुणन

$\alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

अनुक्रम समष्टि का कोई रैखिक उप-समष्टि $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$ है, टोपोलॉजिकल समष्टि के रूप में, $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ स्वाभाविक रूप से उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न है। इस टोपोलॉजी के तहत $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ फ्रेचेट समष्टि है। फ्रेचेट, जिसका अर्थ है कि यह पूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है, मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि, स्थानत: उत्तल टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है। हालाँकि, यह टोपोलॉजी बल्कि व्याधित है: इसमें कोई निरंतर फलन मानदंड नहीं हैं $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ (और इस प्रकार उत्पाद टोपोलॉजी को किसी भी मानक द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है)। फ्रीचेट रिक्त समष्टि के बीच, $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ न्यूनतम है क्योंकि इसमें कोई निरंतर मानक नहीं है:

Theorem — Let $X$ be a Fréchet space over $\mathbb {K} .$ Then the following are equivalent:

1. $X$ admits no continuous norm (that is, any continuous seminorm on $X$ has a nontrivial null space).
2. $X$ contains a vector subspace TVS-isomorphic to $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.
3. $X$ contains a complemented vector subspace TVS-isomorphic to $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.

लेकिन उत्पाद टोपोलॉजी भी अपरिहार्य है: $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ स्थानत: उत्तल टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ टोपोलॉजी की तुलना को स्वीकार नहीं करता है। इस कारण से, अनुक्रमों का अध्ययन रुचि के एक सख्त रैखिक उप-समष्टि को खोजने से शुरू होता है, और इसे उप-समष्टि टोपोलॉजी से अलग एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न करता है।

ℓ^p रिक्त समष्टि

See also: L^p space and L-infinity

के लिए $0<p<\infty ,$ $\ell ^{p}$ का उपक्षेत्र है $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ सभी अनुक्रमों से मिलकर $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ संतुष्टि देने वाला

$$\sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .$$

अगर $p\geq 1,$ फिर वास्तविक-मान फलन $\|\cdot \|_{p}$ पर $\ell ^{p}$ द्वारा परिभाषित

$$\|x\|_{p}~=~\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\qquad {\text{ for all }}x\in \ell ^{p}$$

एक मानदंड (गणित) को परिभाषित करता है $\ell ^{p}.$ वास्तव में, $\ell ^{p}$ इस मानदंड के संबंध में एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है, और इसलिए यह एक बनच समष्टि है।

अगर $p=2$ तब $\ell ^{2}$ एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष भी है जब इसके विहित आंतरिक उत्पाद के साथ संपन्न होता है, जिसे कहा जाता हैEuclidean inner product, सभी के लिए परिभाषित $x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}$ द्वारा

$$\langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}.$$

इस आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित विहित मानदंड सामान्य है $\ell ^{2}$-नॉर्म, जिसका अर्थ है $\|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \ell ^{p}.$ अगर $p=\infty ,$ तब $\ell ^{\infty }$ मानदंड से संपन्न सभी बंधे हुए अनुक्रमों के समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,$$

$\ell ^{\infty }$ एक बनच समष्टि भी है।

अगर $0<p<1,$ तब $\ell ^{p}$ एक मानदंड नहीं रखता है, बल्कि इसके द्वारा परिभाषित एक मीट्रिक समष्टि है

$$d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.\,$$

सी, सी₀ और सी₀₀

See also: c space

ए convergent sequence कोई अनुक्रम है $x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ ऐसा है कि $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ मौजूद। समुच्चय {{visible anchor|c|text=$c$}सभी अभिसरण अनुक्रमों की एक सदिश उपसमष्टि है $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ सी समष्टि कहा जाता है |space of convergent sequences. चूँकि प्रत्येक अभिसारी क्रम परिबद्ध है, $c$ की एक रेखीय उपसमष्टि है $\ell ^{\infty }.$ इसके अलावा, यह अनुक्रम समष्टि एक बंद उप-समष्टि है $\ell ^{\infty }$ सर्वोच्च मानदंड के संबंध में, और इसलिए यह इस मानदंड के संबंध में एक बानाच समष्टि है।

एक अनुक्रम जो अभिसरण करता है $0$ ए कहा जाता है null sequence और कहा जाता है vanish. अभिसरण करने वाले सभी अनुक्रमों का समुच्चय $0$ की एक बंद सदिश उपसमष्टि है $c$ कि जब सर्वोच्च मानदंड के साथ संपन्न किया जाता है, तो वह बनच समष्टि बन जाता है जिसे निरूपित किया जाता है $c_{0}$ और कहा जाता है space of null sequences या space of vanishing sequences. वह space of eventually zero sequences, $c_{00},$ की उपसमष्टि है $c_{0}$ सभी अनुक्रमों से मिलकर जिसमें केवल बहुत से अशून्य तत्व होते हैं। यह एक बंद उप-समष्टि नहीं है और इसलिए अनंत मानक के संबंध में एक बैनच समष्टि नहीं है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम $\left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ कहाँ $x_{nk}=1/k$ पहले के लिए $n$ प्रविष्टियां (के लिए $k=1,\ldots ,n$) और हर जगह शून्य है (अर्थात, $\left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(1,1/2,\ldots ,1/(n-1),1/n,0,0,\ldots \right)$) एक कॉशी अनुक्रम है लेकिन यह एक अनुक्रम में परिवर्तित नहीं होता है $c_{00}.$

सभी परिमित अनुक्रमों का समष्टि

होने देना

$\mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}$,

परिमित अनुक्रमों के समष्टि को निरूपित करें $\mathbb {K}$. सदिश समष्टि के रूप में, $\mathbb {K} ^{\infty }$ के बराबर है $c_{00}$, लेकिन $\mathbb {K} ^{\infty }$ एक अलग टोपोलॉजी है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $n\in \mathbb {N}$, होने देना $\mathbb {K} ^{n}$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ संपन्न सामान्य यूक्लिडियन समष्टिको निरूपित करें और जाने दें $\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }$ कैनोनिकल समावेशन को निरूपित करें

$\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)$.

प्रत्येक समावेशन की छवि (गणित) है

$\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}$

और इसके परिणामस्वरूप,

$\mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).$ समावेशन का यह परिवार देता है $\mathbb {K} ^{\infty }$ एक अंतिम टोपोलॉजी $\tau ^{\infty }$, पर टोपोलॉजी की तुलना के रूप में परिभाषित किया गया $\mathbb {K} ^{\infty }$ जैसे कि सभी समावेशन निरंतर हैं (सुसंगत टोपोलॉजी का एक उदाहरण)। इस टोपोलॉजी के साथ, $\mathbb {K} ^{\infty }$ एक पूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि बन जाता है, हॉसडॉर्फ समष्टि, स्थानत: उत्तल टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि, अनुक्रमिक समष्टि, टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि जो है not फ्रेचेट-यूरीसोहन समष्टि|फ्रेचेट-उरीसोहन। टोपोलॉजी $\tau ^{\infty }$ प्रेरित उप-समष्टि टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना भी है $\mathbb {K} ^{\infty }$ द्वारा $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.

में अभिसरण $\tau ^{\infty }$ एक प्राकृतिक विवरण है: यदि $v\in \mathbb {K} ^{\infty }$ और $v_{\bullet }$ में क्रम है $\mathbb {K} ^{\infty }$ तब $v_{\bullet }\to v$ में $\tau ^{\infty }$ अगर और केवल $v_{\bullet }$ अंततः एक छवि में समाहित है $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$ और $v_{\bullet }\to v$ उस छवि की प्राकृतिक टोपोलॉजी के तहत।

अक्सर, प्रत्येक छवि $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$ अनुरूप से पहचाना जाता है $\mathbb {K} ^{n}$; स्पष्ट रूप से, तत्व $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}$ और $\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)$ पहचाने जाते हैं। यह इस तथ्य से सुगम है कि उप-समष्टि टोपोलॉजी चालू है $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$, मानचित्र से भागफल टोपोलॉजी $\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}$, और यूक्लिडियन टोपोलॉजी चालू $\mathbb {K} ^{n}$ सभी मेल खाते हैं। इस पहचान से, $\left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ निर्देशित प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा है $\left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),$ जहां हर समावेशन अनुगामी शून्य जोड़ता है:

$\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right)$.

यह दर्शाता है कि $\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ एक एलबी-समष्टि है।

अन्य अनुक्रम रिक्त समष्टि

बंधी हुई श्रृंखला (गणित) का समष्टि, Bs समष्टि द्वारा निरूपित, अनुक्रमों का समष्टि है $x$ जिसके लिए

$\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty .$

यह समष्टि, जब आदर्श से सुसज्जित है

$\|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert ,$

एक Banach समष्टि isometrically isomorphic है $\ell ^{\infty },$ रेखीय मानचित्रण के माध्यम से

$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

सभी अभिसरण श्रृंखलाओं से युक्त उपसमष्टि cs एक उपसमष्टि है जो इस तुल्याकारिता के अंतर्गत समष्टि c में जाती है।

समष्टिΦ या $c_{00}$ को सभी अनंत अनुक्रमों के समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें केवल गैर-शून्य शब्दों की सीमित संख्या (सीमित समर्थन वाले अनुक्रम) हैं। यह समुच्चय कई सीक्वेंस समष्टि में घना समुच्चय है।

ℓ के गुण^p समष्टि और समष्टि c₀

See also: c space

समष्टिℓ² केवल ℓ है^p समष्टि जो एक हिल्बर्ट समष्टि है, क्योंकि किसी आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित किसी भी मानक को समांतर चतुर्भुज नियम को पूरा करना चाहिए

$\|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.$

एक्स और वाई के लिए दो अलग-अलग यूनिट वैक्टरों को प्रतिस्थापित करने से सीधे पता चलता है कि पहचान तब तक सत्य नहीं है जब तक कि p = 2।

प्रत्येक ℓ^p अलग है, उसमें ℓ^p का सख्त उपसमुच्चय है ℓ^s जब भी p < s; आगे, ℓ^p रैखिक रूप से समरूप नहीं है ℓ^s कबp ≠ s. वास्तव में, पिट के प्रमेय द्वारा (Pitt 1936), प्रत्येक परिबद्ध रैखिक संचालिका से ℓ^s को ℓ^p कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है जब p < s. ऐसा कोई संकारक तुल्याकारिता नहीं हो सकता; और आगे, यह किसी अनंत-आयामी उपसमष्टि पर एक तुल्याकारिता नहीं हो सकता ℓ^s, और इस प्रकार इसे सख्ती से एकवचन कहा जाता है।

अगर 1 < p < ∞, तो दोहरी जगह|(निरंतर) ℓ की दोहरी जगह^p isometrically isomorphic to ℓ है^q, जहाँ q, p: 1/p + 1/q = 1 का होल्डर संयुग्मी है। विशिष्ट समरूपता एक तत्व x से संबद्ध है ℓ^q फलनिक

$$L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}$$

में वाई के लिए ℓ^p. होल्डर की असमानता का अर्थ है कि एल_x एक परिबद्ध रेखीय फलनिक है ℓ^p, और वास्तव में

$$|L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}$$

ताकि ऑपरेटर मानदंड संतुष्ट हो

$\|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.$

वास्तव में, y का अवयव लेना ℓ^p साथ

$y_{n}={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x_{n}=0\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\text{if}}~x_{n}\neq 0\end{cases}}$

एल देता है_x(वाई) = ||x||_q, ताकि वास्तव में

$\|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.$

इसके विपरीत, एक परिबद्ध रैखिक फलनिक L पर दिया गया है ℓ^p, द्वारा परिभाषित अनुक्रम x_n = L(e_n) ℓ में स्थित है^क्ष. इस प्रकार मानचित्रण $x\mapsto L_{x}$ एक आइसोमेट्री देता है

$$\kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.$$

वो मैप

$\ell ^{q}\xrightarrow {\kappa _{q}} (\ell ^{p})^{*}\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}}$

κ की रचना करके प्राप्त किया_p इसके दोहरे समष्टि के व्युत्क्रम के साथ # एक निरंतर रैखिक मानचित्र का स्थानान्तरण रिफ्लेक्टिव समष्टि के साथ मेल खाता है # ℓ की परिभाषाएँ^q अपने दोहरे दोहरे में। परिणामस्वरूप ℓ^q एक प्रतिवर्त समष्टि है। अंकन के दुरुपयोग से, ℓ की पहचान करना विशिष्ट है^q दोहरे ℓ के साथ^पी: (ℓ^पी)^{*</सुप> = ℓक्ष. फिर रिफ्लेक्सिविटी को पहचान के अनुक्रम से समझा जाता है (ℓपी)**</सुप> = (ℓक्ष)*</सुप> = ℓपी</सुप>.}

समष्टिसी₀ को सभी अनुक्रमों के समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है, जो शून्य में परिवर्तित हो रहा है, जिसका मानक ||x|| के समान है_∞. यह ℓ की बंद उपसमष्टि है^∞, इसलिए बनच समष्टि। सी की दोहरी जगह₀ ℓ है¹; ℓ का दोहरा¹ ℓ है^∞. प्राकृतिक संख्या सूचकांक समुच्चय के मामले में, ℓ^पी और सी₀ वियोज्य समष्टि हैं, ℓ के एकमात्र अपवाद के साथ^∞. ℓ का दोहरा^∞ बा अंतरिक्ष है।

रिक्त समष्टि सी₀ और ℓ^p (1 ≤ p < ∞ के लिए) एक प्रामाणिक बिना शर्त Schauder आधार है {e_i| i = 1, 2,...}, जहां ई_i अनुक्रम है जो शून्य है लेकिन i में 1 के लिए^वें प्रविष्टि।

समष्टिℓ¹ में शूर की संपत्ति है: ℓ में¹, कोई भी अनुक्रम जो कमजोर अभिसरण (हिल्बर्ट समष्टि) है वह भी कमजोर अभिसरण (हिल्बर्ट समष्टि) है (Schur 1921). हालांकि, अनंत-आयामी रिक्त समष्टि पर कमजोर टोपोलॉजी मजबूत टोपोलॉजी से सख्ती से कमजोर है, ℓ में नेट (गणित) हैं¹ जो कमजोर अभिसरण हैं लेकिन मजबूत अभिसरण नहीं हैं।

द ℓ^p समष्टि को कई Banach समष्टि में एम्बेडिंग किया जा सकता है। सवाल यह है कि क्या हर अनंत-आयामी बैनच समष्टि में कुछ ℓ का आइसोमोर्फ होता है^पी या सी का₀, बोरिस त्सिरेलसन सो गया|बी द्वारा नकारात्मक उत्तर दिया गया। 1974 में एस. त्सिरेलसन द्वारा त्सिरेलसन समष्टिका निर्माण। दोहरा कथन, कि प्रत्येक वियोज्य बनच समष्टि ℓ के भागफल समष्टि (रैखिक बीजगणित) के लिए रैखिक रूप से सममितीय है।¹, द्वारा सकारात्मक उत्तर दिया गया था Banach & Mazur (1933). यही है, प्रत्येक वियोज्य बनच समष्टि X के लिए, एक भागफल मानचित्र मौजूद है $Q:\ell ^{1}\to X$, ताकि X के लिए आइसोमोर्फिक हो $\ell ^{1}/\ker Q$. सामान्य तौर पर, केर क्यू ℓ में पूरक नहीं है¹, अर्थात, ℓ की उपसमष्टि Y मौजूद नहीं है¹ ऐसा कि $\ell ^{1}=Y\oplus \ker Q$. वास्तव में, ℓ¹ में बेशुमार रूप से कई अपूर्ण उप-समष्टि हैं जो एक दूसरे के लिए आइसोमोर्फिक नहीं हैं (उदाहरण के लिए, लें $X=\ell ^{p}$; चूँकि अनगिनत ऐसे एक्स हैं's, और चूंकि कोई ℓ नहीं है^p किसी भी अन्य के लिए आइसोमोर्फिक है, इस प्रकार बेशुमार रूप से कई ker Q हैं'एस)।

तुच्छ परिमित-आयामी मामले को छोड़कर, ℓ की एक असामान्य विशेषता^p यह है कि यह बहुपद रूप से प्रतिवर्ती समष्टि नहीं है।

=== ℓ^p रिक्त समष्टि p === में बढ़ रहे हैं के लिए $p\in [1,\infty ]$, रिक्त समष्टि $\ell ^{p}$ में बढ़ रहे हैं $p$, समावेशन ऑपरेटर निरंतर होने के साथ: के लिए $1\leq p<q\leq \infty$, किसी के पास $\|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}$. वास्तव में, असमानता सजातीय है $x_{i}$, इसलिए यह इस धारणा के तहत साबित करने के लिए पर्याप्त है कि $\|x\|_{p}=1$. इस मामले में, हमें केवल यह दिखाने की जरूरत है $\textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1$ के लिए $q>p$. लेकिन अगर $\|x\|_{p}=1$, तब $|x_{i}|\leq 1$ सभी के लिए $i$, और तब $\textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1$.

=== ℓ² सभी वियोज्य, अनंत आयामी हिल्बर्ट रिक्त समष्टि === के लिए समरूप है H को एक हिल्बर्ट समष्टि # वियोज्य समष्टि होने दें। एच में प्रत्येक ऑर्थोगोनल समुच्चय सबसे अधिक गणना योग्य है (यानी सीमित हिल्बर्ट समष्टि # हिल्बर्ट आयाम है या $\,\aleph _{0}\,$). निम्नलिखित दो आइटम संबंधित हैं:

• यदि H अनंत विमीय है, तो यह ℓ के समतुल्य है^2</उप>
• अगर dim(H) = N, तो H तुल्याकारी है $\mathbb {C} ^{N}$

ℓ के गुण¹ समष्टि

ℓ में तत्वों का एक क्रम¹ जटिल अनुक्रम ℓ के समष्टि में अभिसरित होता है¹ यदि और केवल यदि यह इस समष्टि में कमजोर रूप से अभिसरित होता है। यदि K इस समष्टि का उपसमुच्चय है, तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. के कॉम्पैक्ट है;
2. के कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट है;
3. K अनंत पर परिबद्ध, बंद और समसूक्ष्म है।

यहाँ K के 'इक्विस्मॉल एट इनफिनिटी' होने का अर्थ है कि प्रत्येक के लिए $\varepsilon >0$, एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है $n_{\varepsilon }\geq 0$ ऐसा है कि ${\textstyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\varepsilon }$ सभी के लिए $s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K$.

यह भी देखें

• एलपी समष्टि|एल^{पी </सुप> समष्टि}
• त्सिरेलसन समष्टि
• बीटा-डुअल समष्टि
• ऑरलिज़ सीक्वेंस समष्टि
• हिल्बर्ट अंतरिक्ष

ग्रन्थसूची

• Banach, Stefan; Mazur, S. (1933), "Zur Theorie der linearen Dimension", Studia Mathematica, 4: 100–112.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume I, Wiley-Interscience.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Pitt, H.R. (1936), "A note on bilinear forms", J. London Math. Soc., 11 (3): 174–180, doi:10.1112/jlms/s1-11.3.174.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schur, J. (1921), "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 151: 79–111, doi:10.1515/crll.1921.151.79.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.