कैटेनॉयड

कैटेनॉइड

एक कैटेनरी के रोटेशन से प्राप्त एक कैटेनॉयड

ज्यामिति में, एक कैटेनॉइड एक प्रकार की सतह (गणित) है, जो एक अक्ष (क्रांति की सतह) के बारे में एक ज़ंजीर का वक्र को घुमाकर उत्पन्न होती है। यह एक न्यूनतम सतह है, जिसका अर्थ है कि यह एक बंद स्थान से बंधे होने पर सबसे कम क्षेत्र घेरता है। गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1744 में औपचारिक रूप से इसका वर्णन किया गया था।

जुड़वाँ वृत्ताकार छल्लों से जुड़ी साबुन की फिल्म एक कैटेनॉइड का आकार ले लेगी। क्योंकि वे सतहों के एक ही सहयोगी परिवार के सदस्य हैं, एक कैटेनॉइड को घुमावदार के एक भाग में और इसके विपरीत मोड़ा जा सकता है।

ज्यामिति

विमान (ज्यामिति) से अलग खोजे जाने वाले 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान में कैटेनॉइड पहली गैर-तुच्छ न्यूनतम सतह (टोपोलॉजी) थी। कैटेनॉयड अपने नियता के बारे में एक कैटेनरी को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। यह 1744 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा पाया गया और न्यूनतम प्रमाण हुआ।

इस विषय पर प्रारंभिक कार्य जीन-बैप्टिस्ट मेसनियर द्वारा भी प्रकाशित किया गया था। क्रांति की केवल दो न्यूनतम सतहें हैं (क्रांति की सतहें जो न्यूनतम सतहें भी हैं): समतल (ज्यामिति) और कैटेनॉयड है।

कैटेनॉइड को निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}x&=c\cosh {\frac {v}{c}}\cos u\\y&=c\cosh {\frac {v}{c}}\sin u\\z&=v\end{aligned}}$$

जहाँ $u\in [-\pi ,\pi )$ और $v\in \mathbb {R}$ और $c$ एक गैर-शून्य वास्तविक स्थिरांक है।

बेलनाकार निर्देशांक में:

$$\rho =c\cosh {\frac {z}{c}},$$

जहाँ $c$ एक वास्तविक स्थिरांक है।

एक साबुन के घोल में दो वृत्ताकार छल्लों को डुबोकर और धीरे-धीरे वृत्तों को अलग करके एक कैटेनॉइड का भौतिक मॉडल बनाया जा सकता है।

कैटेनॉयड को लगभग फैली हुई ग्रिड विधि द्वारा एक पहलू 3डी मॉडल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

हेलिकॉइड परिवर्तन

एक हेलिकॉइड का कैटेनॉइड में विरूपण

क्योंकि वे सतहों के एक ही सहयोगी परिवार के सदस्य हैं, कोई बिना खिंचाव के एक हेलिकॉइड के एक भाग में एक कैटेनॉइड को मोड़ सकता है। दूसरे शब्दों में, हेलिकॉइड के एक भाग में एक (ज्यादातर) निरंतर कार्य और एक कैटेनॉइड के आइसोमेट्री विरूपण कर सकते हैं जैसे कि विरूपण परिवार का प्रत्येक सदस्य न्यूनतम सतह (शून्य का औसत वक्रता) है। ऐसी विकृति का एक पैरामीट्रिक समीकरण प्रणाली द्वारा दिया जाता है

$${\begin{aligned}x(u,v)&=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u\\y(u,v)&=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u\\z(u,v)&=u\cos \theta +v\sin \theta \end{aligned}}$$

$(u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )$ के लिए विरूपण पैरामीटर के साथ $-\pi <\theta \leq \pi$, जहाँ:

• $\theta =\pi$ दाएं हाथ के हेलिकॉइड से मेल खाता है,
• $\theta =\pm \pi /2$ एक कैटेनॉइड से मेल खाता है, और
• $\theta =0$ बाएं हाथ के हेलिकॉइड से मेल खाता है।

अग्रिम पठन

• Krivoshapko, Sergey; Ivanov, V. N. (2015). "Minimal Surfaces". Encyclopedia of Analytical Surfaces (in English). Springer. ISBN 9783319117737.

बाहरी संबंध

• "Catenoid", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Catenoid - WebGL model
• Euler's text describing the catenoid at Carnegie Mellon University
• Calculating the surface area of a Catenoid