स्मूथ कम्पलीशन

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक चिकनी योजना affine बीजगणितीय वक्र X की चिकनी पूर्णता (या चिकनी संघनन) एक पूर्ण विविधता चिकनी बीजगणितीय वक्र है जिसमें एक खुले उपसमुच्चय के रूप में X होता है। चिकनी पूर्णताएं मौजूद हैं और एक संपूर्ण क्षेत्र में अद्वितीय हैं।

उदाहरण

हाइपरेलिप्टिक वक्र का एक सजातीय रूप प्रस्तुत किया जा सकता है $y^{2}=P(x)$ कहाँ $(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}$ और P(x) वियोज्य बहुपद और कम से कम 5 की डिग्री है। एफाइन कर्व का ज़ारिस्की बंद होना $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{2}$ अनंत पर अद्वितीय बिंदु पर एकवचन है # प्रक्षेपी विमान बिंदु जोड़ा गया। फिर भी, एफ़िन वक्र को एक अद्वितीय कॉम्पैक्ट रीमैन सतह में एम्बेड किया जा सकता है जिसे इसकी चिकनी पूर्णता कहा जाता है। रीमैन सतह का प्रक्षेपण $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ अनंत पर एकवचन बिंदु पर 2-से-1 है यदि $P(x)$ डिग्री भी है, और 1-से-1 (लेकिन शाखाबद्ध) अन्यथा।

यह सुचारू पूर्णता निम्नानुसार भी प्राप्त की जा सकती है। एक्स-कोऑर्डिनेट का उपयोग करके एफ़ाइन वक्र को एफ़िन लाइन पर प्रोजेक्ट करें। एफाइन लाइन को प्रोजेक्टिव लाइन में एम्बेड करें, फिर एफाइन कर्व के फंक्शन फील्ड में प्रोजेक्टिव लाइन का सामान्यीकरण करें।

अनुप्रयोग

एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक चिकनी जुड़े हुए वक्र को अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है यदि $2g-2+r>0$ जहां जी सुचारू पूर्णता का जीनस है और आर जोड़े गए बिंदुओं की संख्या है।

विशेषता 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, X का मौलिक समूह मुक्त है $2g+r-1$ जनरेटर अगर आर> 0।

(डिरिचलेट की इकाई प्रमेय का एनालॉग) मान लीजिए X एक परिमित क्षेत्र पर एक सुचारू रूप से जुड़ा हुआ वक्र है। फिर एक्स पर नियमित कार्यों ओ (एक्स) की अंगूठी की इकाइयां रैंक आर -1 का एक अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है।

निर्माण

मान लीजिए कि आधार क्षेत्र परिपूर्ण है। कोई भी सजातीय वक्र X एक अभिन्न प्रक्षेपी (इसलिए पूर्ण) वक्र के एक खुले उपसमुच्चय के लिए आइसोमॉर्फिक है। प्रक्षेपी वक्र के सामान्यीकरण (या सिंगुलैरिटीज को उड़ाते हुए) को एक्स की एक सहज पूर्णता देता है। उनके अंक एक बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र के असतत मूल्यांकन के अनुरूप होते हैं जो आधार क्षेत्र पर तुच्छ होते हैं।

निर्माण के द्वारा, सुचारू पूर्णता एक प्रक्षेप्य विविधता वक्र है जिसमें दिए गए वक्र को हर जगह घने खुले उपसमुच्चय के रूप में शामिल किया गया है, और जोड़े गए नए बिंदु चिकने हैं। ऐसा (प्रोजेक्टिव) पूर्णता हमेशा मौजूद है और अद्वितीय है।

यदि आधार क्षेत्र सही नहीं है, तो एक चिकनी एफ़िन वक्र का एक सहज समापन हमेशा मौजूद नहीं होता है। लेकिन उपरोक्त प्रक्रिया हमेशा स्कीम थ्योरी की एक शब्दावली तैयार करती है # योजनाओं के पूरा होने के गुण अगर हम एक नियमित एफ़िन वक्र के साथ शुरू करते हैं (चिकनी किस्में नियमित हैं, और कांसेप्ट सही क्षेत्रों पर सही है)। एक अनुमानित किस्म अद्वितीय है और, उचितता के मूल्यवान मानदंड # उचितता के मूल्यवान मानदंड के अनुसार, एफिन वक्र से पूर्ण बीजगणितीय विविधता तक कोई भी आकारिकी विशिष्ट रूप से नियमित पूर्णता तक फैली हुई है।

सामान्यीकरण

यदि एक्स योजना सिद्धांत की शब्दावली है # अलग और उचित morphisms बीजगणितीय विविधता, नागाटा का कॉम्पैक्टिफिकेशन प्रमेय का कहना है कि X को पूर्ण बीजगणितीय विविधता के खुले उपसमुच्चय के रूप में एम्बेड किया जा सकता है। यदि X अधिक चिकना है और आधार क्षेत्र में विशेषता 0 है, तो विलक्षणताओं के संकल्प द्वारा # उच्च आयामों में विलक्षणताओं का संकल्प | हिरोनाका के प्रमेय X को एक पूर्ण चिकनी बीजगणितीय विविधता के खुले उपसमुच्चय के रूप में भी एम्बेड किया जा सकता है, सीमा के साथ एक सामान्य क्रॉसिंग विभाजक . यदि एक्स अर्ध-प्रोजेक्टिव है, तो चिकनी पूर्णता को प्रोजेक्टिव होने के लिए चुना जा सकता है।

हालांकि, एक आयामी मामले के विपरीत, चिकनी पूर्णता की कोई विशिष्टता नहीं है, न ही यह विहित है।

यह भी देखें

• हाइपरेलिप्टिक वक्र
• बोल्ज़ा सतह

ग्रन्थसूची

• Griffiths, Phillip A. (1972). "Function theory of finite order on algebraic varieties. I(A)". Journal of Differential Geometry. 6 (3): 285–306. MR 0325999. Zbl 0269.14003.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. New York, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0387902449. (see chapter 4).