दीर्घवृत्त समन्वय प्रणाली

Not to be confused with क्रांतिवृत्त समन्वय प्रणाली.

ज्यामिति में, दीर्घवृत्त समन्वय प्रणाली एक द्वि-आयामी ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली है जिसमें समन्वय रेखाएँ कॉन्फोकल दीर्घवृत्त और अतिशयोक्ति हैं। कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली के $x$-अक्ष पर क्रमशः दो $F_{1}$और $F_{2}$ को क्रमशः $-a$ और $+a$ पर निश्चित करने के लिए लिया जाता है।

अण्डाकार समन्वय प्रणाली

मूल परिभाषा

दीर्घवृत्तीय निर्देशांक $(\mu ,\nu )$ की सबसे आम परिभाषा है

${\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}$

जहाँ $\mu$ एक अऋणात्मक वास्तविक संख्या है और $\nu \in [0,2\pi ].$

जटिल तल पर, एक तुल्यता संबंध होता है

$x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )$

ये परिभाषाएँ दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के अनुरूप हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$

दिखाता है कि स्थिर $\mu$ के वक्र दीर्घवृत्त बनाते हैं, जबकि अतिपरवलयिक त्रिकोणमितीय पहचान

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$

दिखाता है कि निरंतर $\nu$ के वक्र अतिपरवलय बनाते हैं।

पैमाने कारक

एक ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली में, आधार सदिशों की लंबाई को स्केल कारक कहा जाता है। दीर्घवृत्तीय निर्देशांकों $(\mu ,\nu )$ के लिए स्केल कारक बराबर हैं

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.$

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों और त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए दोहरे तर्क पहचान का उपयोग करके, पैमाने के कारकों को समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.$

फलस्वरूप, क्षेत्र का एक परिमित अवयव बराबर है

${\begin{aligned}dA&=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu \end{aligned}}$

और लाप्लासियन पढ़ता है

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi &={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\end{aligned}}$

अन्य अवकल संकारक जैसे $\nabla \cdot \mathbf {F}$ और $\nabla \times \mathbf {F}$ को निर्देशांक $(\mu ,\nu )$ में स्केल कारकों को ओर्थोगोनल निर्देशांक में पाए गए सामान्य सूत्रों में प्रतिस्थापित करके व्यक्त किया जा सकता है।

वैकल्पिक परिभाषा

अण्डाकार निर्देशांक $(\sigma ,\tau )$ का एक वैकल्पिक और ज्यामितीय रूप से सहज सेट कभी-कभी उपयोग किया जाता है, जहां $\sigma =\cosh \mu$ और $\tau =\cos \nu$ इसलिए, स्थिर $\sigma$ के वक्र दीर्घवृत्त होते हैं, जबकि स्थिर $\tau$ के वक्र अतिपरवलय होते हैं। निर्देशांक $\tau$ अंतराल [-1, 1] का होना चाहिए, जबकि $\sigma$ निर्देशांक एक से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।

निर्देशांक $(\sigma ,\tau )$ का फोकी (foci) $F_{1}$और $F_{2}$ से दूरियों के साथ एक सरल संबंध है। समतल में किसी भी बिंदु के लिए, फोकी के लिए इसकी दूरियों का योग $d_{1}+d_{2}$ $2a\sigma$ के बराबर होता है, जबकि उनका अंतर $d_{1}-d_{2}$ बराबर $2a\tau$ है। इस प्रकार, $F_{1}$की दूरी $a(\sigma +\tau )$ है, जबकि $F_{2}$ की दूरी $a(\sigma -\tau )$ है। (याद रखें कि $F_{1}$और $F_{2}$ क्रमशः $x=-a$ और $x=+a$ पर स्थित हैं।)

इन निर्देशांकों का एक दोष यह है कि कार्तीय निर्देशांक (x,y) और (x,-y) वाले बिंदुओं में समान निर्देशांक $(\sigma ,\tau )$ होते हैं, इसलिए कार्टेशियन निर्देशांक में रूपांतरण एक फ़ंक्शन नहीं है, बल्कि एक बहुक्रिया है।

$x=a\left.\sigma \right.\tau$

$y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).$

वैकल्पिक पैमाने के कारक

वैकल्पिक दीर्घवृत्तीय निर्देशांक $(\sigma ,\tau )$ के लिए पैमाने कारक हैं

$h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}$

$h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.$

इसलिए, अत्यल्प क्षेत्र अवयव बन जाता है

$dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau$

और लाप्लासियन बराबर है

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].$

$\nabla \cdot \mathbf {F}$ और $\nabla \times \mathbf {F}$ जैसे अवकल संकारकों को ओर्थोगोनल निर्देशांकों में पाए जाने वाले सामान्य सूत्रों में स्केल कारकों को प्रतिस्थापित करके निर्देशांकों $(\sigma ,\tau )$ में व्यक्त किया जा सकता है I

उच्च आयामों के लिए बहिर्वेशन

अण्डाकार निर्देशांक त्रि-आयामी ऑर्थोगोनल निर्देशांक के कई सेटों के लिए आधार बनाते हैं:

1. अण्डाकार बेलनाकार निर्देशांक में प्रक्षेपित करके निर्मित होते हैं $z$-दिशा।
2. दीर्घवृत्तीय निर्देशांकों को दीर्घवृत्तीय निर्देशांकों को घुमाकर उत्पादित किया जाता है $x$-एक्सिस, यानी, फॉसी को जोड़ने वाली धुरी, जबकि अंडाकार गोलाकार निर्देशांक को अंडाकार निर्देशांक घुमाकर उत्पादित किया जाता है $y$-एक्सिस, यानी फॉसी को अलग करने वाली धुरी।
3. Ellipsoidal निर्देशांक 3-आयामों में अण्डाकार निर्देशांक का एक औपचारिक विस्तार है, जो एक और दो शीट के कॉन्फोकल दीर्घवृत्त, हाइपरबोलॉइड पर आधारित है।

अनुप्रयोग

अण्डाकार निर्देशांक के क्लासिक अनुप्रयोग आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने में हैं, उदाहरण के लिए, लाप्लास का समीकरण या हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण, जिसके लिए अण्डाकार निर्देशांक एक प्रणाली का एक प्राकृतिक विवरण है, इस प्रकार आंशिक अंतर समीकरणों में चरों को अलग करने की अनुमति देता है। कुछ पारंपरिक उदाहरण हल करने वाली प्रणालियाँ हैं जैसे इलेक्ट्रॉन एक अणु या ग्रहों की कक्षाओं की परिक्रमा करते हैं जिनका अंडाकार आकार होता है।

अण्डाकार निर्देशांक के ज्यामितीय गुण भी उपयोगी हो सकते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण शामिल हो सकता है वैक्टर के सभी जोड़े पर एक एकीकरण $\mathbf {p}$ और $\mathbf {q}$ वह राशि एक निश्चित वेक्टर के लिए $\mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q}$, जहां इंटीग्रैंड वेक्टर लंबाई के एक समारोह के रूप में $\left|\mathbf {p} \right|$ और $\left|\mathbf {q} \right|$. (ऐसे मामले में, कोई स्थिति करेगा $\mathbf {r}$ दो foci के बीच और साथ संरेखित $x$-अक्ष, यानी, $\mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}}$।) संक्षिप्तता के लिए, $\mathbf {r}$, $\mathbf {p}$ और $\mathbf {q}$ क्रमशः एक कण और उसके अपघटन उत्पादों की गति का प्रतिनिधित्व कर सकता है, और इंटीग्रैंड में उत्पादों की गतिज ऊर्जा शामिल हो सकती है (जो संवेग की वर्ग लंबाई के आनुपातिक हैं)।

यह भी देखें

• वक्रीय निर्देशांक
• दीर्घवृत्त निर्देशांक
• सामान्यीकृत निर्देशांक

संदर्भ

• "Elliptic coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Weisstein, Eric W. "Elliptic Cylindrical Coordinates." From MathWorld — A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html