पोइसन का समीकरण

शिमोन डेनिस पोइसन

प्वासों का समीकरण सैद्धांतिक भौतिकी में व्यापक उपयोगिता का एक अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरण है। उदाहरण के लिए, पोइसन के समीकरण का समाधान किसी दिए गए विद्युत आवेश या द्रव्यमान घनत्व वितरण के कारण होने वाला संभावित क्षेत्र है; ज्ञात संभावित क्षेत्र के साथ, तब कोई इलेक्ट्रोस्टैटिक या गुरुत्वाकर्षण (बल) क्षेत्र की गणना कर सकता है। यह लाप्लास के समीकरण का सामान्यीकरण है, जो अक्सर भौतिकी में भी देखा जाता है। समीकरण का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी सिमोन डेनिस पोइसन के नाम पर रखा गया है।

यह लाप्लास के समीकरण का सामान्यीकरण है, जो अक्सर भौतिकी में भी देखा जाता है। समीकरण का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी सिमोन डेनिस पोइसन के नाम पर रखा गया है

समीकरण का कथन

प्वासों का समीकरण है

$$\Delta \varphi =f,$$

कहाँ $\Delta$ लाप्लास ऑपरेटर है, और $f$ और $\varphi$ कई गुना वास्तविक संख्या या जटिल संख्या-मूल्यवान कार्य (गणित) हैं। आम तौर पर, $f$ दिया जाता है, और $\varphi$ की दरकार है। जब मैनिफोल्ड यूक्लिडियन अंतरिक्ष होता है, तो लाप्लास ऑपरेटर को अक्सर इस रूप में दर्शाया जाता है ∇², और इसलिए प्वासों के समीकरण को अक्सर इस रूप में लिखा जाता है

$$\nabla ^{2}\varphi =f.$$

त्रि-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक में, यह रूप लेता है

$$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).$$

कब $f=0$ समान रूप से, हम लाप्लास का समीकरण प्राप्त करते हैं।

प्वासों के समीकरण को ग्रीन के फलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है:

$$\varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}r',$$

जहां संपूर्ण स्थान पर समाकलन है। पोइसन के समीकरण के लिए ग्रीन के कार्य का एक सामान्य विवरण स्क्रीन किए गए पॉइसन समीकरण पर लेख में दिया गया है। संख्यात्मक समाधान के लिए विभिन्न विधियाँ हैं, जैसे विश्राम विधि, पुनरावृत्त एल्गोरिथम।

न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण

Main articles: Gravitational field and Gauss's law for gravity

घनत्व ρ की एक विशाल वस्तु को आकर्षित करने के कारण एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र जी के मामले में, गॉस के गुरुत्वाकर्षण के अंतर के रूप में कानून का उपयोग गुरुत्वाकर्षण के लिए संबंधित पॉइसन समीकरण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है:

$$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .$$

चूंकि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र रूढ़िवादी (और तर्कहीन ) है, इसे स्केलर क्षमता ϕ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$\mathbf {g} =-\nabla \phi .$$

गॉस के नियम में इसे प्रतिस्थापित करने पर,

$$\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,$$

गुरुत्वाकर्षण के लिए प्वासों का समीकरण देता है:

$$\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .$$

यदि द्रव्यमान घनत्व शून्य है, तो प्वासों का समीकरण लाप्लास के समीकरण में घट जाता है। तीन-चर लाप्लास समीकरण के लिए ग्रीन का कार्य | संगत ग्रीन के कार्य का उपयोग दूरी पर क्षमता की गणना के लिए किया जा सकता है r एक केंद्रीय बिंदु द्रव्यमान से m (यानी, मौलिक समाधान)। तीन आयामों में क्षमता है

$$\phi (r)={\frac {-Gm}{r}},$$

जो न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के बराबर है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स

Main article: Electrostatics

इलेक्ट्रोस्टाटिक्स के कोने में से एक पॉसों समीकरण द्वारा वर्णित समस्याओं को स्थापित करना और हल करना है। प्वासों समीकरण को हल करना विद्युत विभव ज्ञात करने के समान है φ दिए गए बिजली का आवेश वितरण के लिए $\rho _{f}$.

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में पोइसन के समीकरण के पीछे गणितीय विवरण इस प्रकार हैं (गौसियन इकाइयों के बजाय एसआई इकाइयों का उपयोग किया जाता है, जो अक्सर विद्युत चुंबकत्व में भी उपयोग किया जाता है)।

विद्युत के लिए गाउस के नियम (मैक्सवेल के समीकरणों में से एक भी) के अवकलन रूप से प्रारंभ करते हुए, एक के पास है

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f},$$

कहाँ $\mathbf {\nabla } \cdot$ विचलन है, डी विद्युत विस्थापन क्षेत्र है, और ρ_fफ्री-चार्ज घनत्व है (बाहर से लाए गए शुल्कों का वर्णन)।

यह मानते हुए कि माध्यम रैखिक, समदैशिक और सजातीय है (ध्रुवीकरण घनत्व देखें), हमारे पास संवैधानिक समीकरण#विद्युत चुंबकत्व है

$$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,$$

कहाँ ε माध्यम की पारगम्यता है, और E विद्युत क्षेत्र है।

गॉस के कानून में इसे प्रतिस्थापित करना और यह मानना ε ब्याज उपज के क्षेत्र में स्थानिक रूप से स्थिर है

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}.$$

कहाँ $\rho$ कुल आयतन आवेश घनत्व है। इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में, हम मानते हैं कि कोई चुंबकीय क्षेत्र नहीं है (इसके बाद का तर्क एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में भी लागू होता है)। फिर, हमारे पास वह है

$$\nabla \times \mathbf {E} =0,$$

कहाँ ∇× कर्ल (गणित) है। इस समीकरण का अर्थ है कि हम विद्युत क्षेत्र को स्केलर फ़ंक्शन के ढाल के रूप में लिख सकते हैं φ (विद्युत विभव कहलाता है), क्योंकि किसी भी प्रवणता का वक्र शून्य होता है। इस प्रकार हम लिख सकते हैं

$$\mathbf {E} =-\nabla \varphi ,$$

जहां माइनस साइन पेश किया गया है ताकि φ को प्रति यूनिट चार्ज विद्युत संभावित ऊर्जा के रूप में पहचाना जाता है।

इन परिस्थितियों में प्वासों के समीकरण की व्युत्पत्ति सीधी है। विद्युत क्षेत्र के लिए संभावित ढाल को प्रतिस्थापित करना,

$$\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\rho }{\varepsilon }},$$

सीधे इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के लिए पॉसॉन के समीकरण का उत्पादन करता है, जो है

$$\nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }}.$$

क्षमता के लिए प्वासों के समीकरण को हल करने के लिए चार्ज घनत्व वितरण को जानना आवश्यक है। यदि आवेश घनत्व शून्य है, तो लाप्लास का समीकरण परिणाम देता है। यदि आवेश घनत्व बोल्ट्ज़मैन वितरण का अनुसरण करता है, तो पॉसों-बोल्ट्ज़मैन समीकरण परिणाम। प्वासों-बोल्ट्ज़मैन समीकरण डेबी-हकल समीकरण के विकास में एक भूमिका निभाता है | तनु इलेक्ट्रोलाइट विलयनों का डेबाई-हुकेल सिद्धांत।

ग्रीन के कार्य का उपयोग, दूरी पर क्षमता r एक केंद्रीय बिंदु प्रभार से Q (यानी, मौलिक समाधान) है

$$\varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}},$$

जो कूलम्ब का इलेक्ट्रोस्टैटिक्स का नियम है। (ऐतिहासिक कारणों से, और ऊपर गुरुत्वाकर्षण के मॉडल के विपरीत, $4\pi$ कारक यहाँ प्रकट होता है और गॉस के नियम में नहीं।)

उपरोक्त चर्चा मानती है कि चुंबकीय क्षेत्र समय के साथ बदलता नहीं है। जब तक कूलम्ब गेज का उपयोग किया जाता है, तब तक समान पोइसन समीकरण उत्पन्न होता है, भले ही यह समय में भिन्न हो। इस अधिक सामान्य संदर्भ में, कंप्यूटिंग φ अब ई की गणना करने के लिए पर्याप्त नहीं है, क्योंकि ई भी चुंबकीय वेक्टर क्षमता ए पर निर्भर करता है, जिसे स्वतंत्र रूप से गणना की जानी चाहिए। विद्युतचुंबकीय क्षेत्र का गणितीय विवरण देखें# संभावित सूत्रीकरण में मैक्सवेल के समीकरण | संभावित सूत्रीकरण में मैक्सवेल का समीकरण अधिक जानकारी के लिए {{mvar|φ}मैक्सवेल के समीकरणों में } और ए और इस मामले में पोइसन का समीकरण कैसे प्राप्त किया जाता है।

गॉसियन चार्ज घनत्व की क्षमता

यदि एक स्थिर गोलाकार रूप से सममित गाऊसी वितरण आवेश घनत्व है

$$\rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},$$

कहाँ Q कुल आवेश है, फिर समाधान {{math|φ(r)}प्वासों के समीकरण के }

$$\nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}$$

द्वारा दिया गया है

$$\varphi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}\operatorname {erf} \left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),$$

कहाँ erf(x) त्रुटि कार्य है।

इस समाधान का मूल्यांकन करके स्पष्ट रूप से जाँच की जा सकती है ∇²φ.

ध्यान दें कि के लिए r से बहुत अधिक σ, erf फलन एकता और क्षमता तक पहुंचता है φ(r) विद्युत क्षमता तक पहुँचता है | बिंदु-आवेश क्षमता,

$$\varphi \approx {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}},$$

जैसा कि कोई उम्मीद करेगा। इसके अलावा, जैसे ही इसका तर्क बढ़ता है, त्रुटि फ़ंक्शन 1 तक पहुंचता है; व्यवहार में, के लिए r > 3σ सापेक्ष त्रुटि एक हजार में एक भाग से छोटी है।

भूतल पुनर्निर्माण

भूतल पुनर्निर्माण एक उलटा समस्या है। लक्ष्य बड़ी संख्या में बिंदुओं के आधार पर एक चिकनी सतह को डिजिटल रूप से पुनर्निर्माण करना है_i(एक बिंदु बादल) जहां प्रत्येक बिंदु स्थानीय सतह सामान्य 'एन' का अनुमान भी लगाता है_i. इस समस्या को हल करने के लिए पोइसन के समीकरण का उपयोग पॉइसन सतह पुनर्निर्माण नामक तकनीक के साथ किया जा सकता है।

इस तकनीक का लक्ष्य एक निहित फलन f का पुनर्निर्माण करना है जिसका मान बिंदु p पर शून्य है_iऔर किसकी प्रवणता बिंदु p पर है_iसामान्य वैक्टर 'एन' के बराबर_i. का सेट (p_i, 'एन'_i) इस प्रकार एक निरंतर यूक्लिडियन वेक्टर फ़ील्ड वी के रूप में तैयार किया गया है। निहित फ़ंक्शन 'एफ' ' अभिन्न वेक्टर फ़ील्ड वी द्वारा पाया जाता है। चूंकि प्रत्येक वेक्टर फ़ील्ड फ़ंक्शन का ढाल नहीं है, समस्या का समाधान हो सकता है या नहीं भी हो सकता है : एक सुचारू सदिश क्षेत्र V के लिए एक फंक्शन f की ढाल होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि V का कर्ल (गणित) समान रूप से शून्य होना चाहिए। यदि इस स्थिति को लागू करना मुश्किल है, तो V और 'f' के ग्रेडिएंट के बीच के अंतर को कम करने के लिए कम से कम वर्ग फ़िट करना अभी भी संभव है।

सतह के पुनर्निर्माण की समस्या के लिए पोइसन के समीकरण को प्रभावी ढंग से लागू करने के लिए, वेक्टर क्षेत्र V का एक अच्छा विवेक खोजना आवश्यक है। मूल दृष्टिकोण डेटा को परिमित-अंतर ग्रिड के साथ बांधना है। ऐसे ग्रिड के नोड्स पर मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए, इसके ग्रेडियेंट को स्टैगर्ड ग्रिड पर मूल्यवान के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, यानी ग्रिड पर जिनके नोड मूल ग्रिड के नोड्स के बीच स्थित होते हैं। तीन कंपित ग्रिडों को परिभाषित करना सुविधाजनक है, प्रत्येक को सामान्य डेटा के घटकों के अनुरूप एक और केवल एक दिशा में स्थानांतरित किया गया है। प्रत्येक कंपित ग्रिड पर हम बिंदुओं के सेट पर ट्रिलिनियर इंटरपोलेशन करते हैं। इंटरपोलेशन वेट का उपयोग 'एन' के संबंधित घटक के परिमाण को वितरित करने के लिए किया जाता है_iपी युक्त विशेष कंपित ग्रिड सेल के नोड्स पर_i. कज़्दान और सहलेखक एक अनुकूली परिमित-अंतर ग्रिड का उपयोग करके विवेक का अधिक सटीक तरीका देते हैं, यानी ग्रिड की कोशिकाएँ छोटी होती हैं (ग्रिड अधिक सूक्ष्मता से विभाजित होती है) जहाँ अधिक डेटा बिंदु होते हैं। वे इस तकनीक को अनुकूली अष्टक के साथ लागू करने का सुझाव देते हैं।

द्रव गतिकी

असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के लिए, द्वारा दिया गया

$${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}$$

दबाव क्षेत्र के लिए समीकरण $p$ एक अरेखीय प्वासों समीकरण का एक उदाहरण है:

$${\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} )\\&=-\rho \operatorname {Tr} {\big (}(\nabla \mathbf {v} )(\nabla \mathbf {v} ){\big )}.\end{aligned}}$$

ध्यान दें कि उपरोक्त ट्रेस साइन-डिफिनिट नहीं है।

यह भी देखें

• असतत प्वासों समीकरण
• पोइसन-बोल्ट्जमैन समीकरण
• हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण
• प्वासों के समीकरण के लिए अद्वितीयता प्रमेय
• कमजोर सूत्रीकरण उदाहरण 2: पोइसन का समीकरण

अग्रिम पठन

• Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations. Providence (RI): American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.
• Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Mathematical Methods of Physics (2nd ed.). New York: W. A. Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
• Polyanin, Andrei D. (2002). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton (FL): Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

बाहरी संबंध

• "Poisson equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations
• Poisson's equation on PlanetMath.