प्रतिच्छेदन प्रमेय

This article is about projective geometry. For a result on tensor products of modules, see Homological conjectures in commutative algebra.

प्रक्षेपी ज्यामिति में, एक प्रतिच्छेदन प्रमेय या घटना प्रमेय एक घटना संरचना से संबंधित एक बयान है - जिसमें बिंदु, रेखाएँ, और संभवतः उच्च-आयामी वस्तुएं और उनकी घटनाएं शामिल हैं - वस्तुओं की एक जोड़ी के साथ A और B (उदाहरण के लिए, एक बिंदु और एक रेखा)। प्रमेय में कहा गया है कि, जब भी वस्तुओं का एक सेट घटनाओं को संतुष्ट करता है (अर्थात घटना संरचना की वस्तुओं के साथ इस तरह से पहचाना जा सकता है कि घटना संरक्षित है), तो वस्तुएं A और B घटना भी होनी चाहिए। एक प्रतिच्छेदन प्रमेय सभी प्रक्षेपी ज्यामितीयों में आवश्यक रूप से सत्य नहीं है; यह एक ऐसी संपत्ति है जो कुछ ज्यामिति संतुष्ट करती हैं लेकिन अन्य नहीं।

उदाहरण के लिए, Desargues प्रमेय को निम्नलिखित घटना संरचना का उपयोग करके कहा जा सकता है:

• अंक: $\{A,B,C,a,b,c,P,Q,R,O\}$
• पंक्तियाँ: $\{AB,AC,BC,ab,ac,bc,Aa,Bb,Cc,PQ\}$
• घटनाएँ (स्पष्ट घटनाओं के अलावा जैसे $(A,AB)$): $\{(O,Aa),(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}$

निहितार्थ तब है $(R,PQ)$—वह बिंदु R लाइन के साथ घटना है PQ.

प्रसिद्ध उदाहरण

Desargues' प्रमेय एक प्रोजेक्टिव प्लेन में है P अगर और केवल अगर P कुछ विभाजन की अंगूठी (skewfield}) पर प्रोजेक्टिव प्लेन है D — $P=\mathbb {P} _{2}D$. प्रोजेक्टिव प्लेन को तब कार्टेशियन विमान कहा जाता है। शिमशोन अमितसुर और बर्गमैन के एक प्रमेय में कहा गया है कि, डिसारग्यूसियन प्रक्षेपी विमानों के संदर्भ में, प्रत्येक चौराहे के प्रमेय के लिए एक तर्कसंगत पहचान है जैसे कि विमान P प्रतिच्छेदन प्रमेय को संतुष्ट करता है यदि और केवल यदि विभाजन वलय D तर्कसंगत पहचान को संतुष्ट करता है।

• पप्पस का षट्भुज प्रमेय एक डिसार्गेसियन प्रोजेक्टिव प्लेन में है $\mathbb {P} _{2}D$ अगर और केवल अगर D एक क्षेत्र (गणित) है; यह पहचान से मेल खाता है $\forall a,b\in D,\quad a\cdot b=b\cdot a$.
• Fano विमान|Fano's स्वयंसिद्ध (जो बताता है कि एक निश्चित चौराहा नहीं होता है) में है $\mathbb {P} _{2}D$ अगर और केवल अगर D विशेषता है (बीजगणित) $\neq 2$; यह पहचान से मेल खाता है a + a = 0.

संदर्भ

• Rowen, Louis Halle, ed. (1980). Polynomial Identities in Ring Theory. Pure and Applied Mathematics. Vol. 84. Academic Press. doi:10.1016/s0079-8169(08)x6032-5. ISBN 9780125998505.
• Amitsur, S. A. (1966). "Rational Identities and Applications to Algebra and Geometry". Journal of Algebra. 3 (3): 304–359. doi:10.1016/0021-8693(66)90004-4.