मुक्त मापांक

गणित में, एक मुक्त मॉड्यूल एक मॉड्यूल (गणित) होता है जिसका एक आधार (रैखिक बीजगणित) होता है - अर्थात, रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्वों से युक्त मॉड्यूल का एक जनरेटिंग सेट। प्रत्येक सदिश स्थान एक निःशुल्क मॉड्यूल है, लेकिन, यदि गुणकों का वलय (गणित) एक विभाजन वलय नहीं है (क्रमविनिमेय अंगूठी मामले में कोई क्षेत्र (गणित) नहीं है), तो गैर-मुक्त मॉड्यूल मौजूद हैं।

किसी भी सेट (गणित) को देखते हुए S और रिंग R, एक मुफ़्त है R-आधार के साथ मॉड्यूल S, जिसे फ्री मॉड्यूल ऑन कहा जाता है S या औपचारिक का मॉड्यूल R-के तत्वों का रैखिक संयोजन S.

एक मुक्त एबेलियन समूह वास्तव में रिंग के ऊपर एक मुफ्त मॉड्यूल है Z पूर्णांकों का।

परिभाषा

एक अंगूठी के लिए (गणित) $R$ और एक $R$-मॉड्यूल (गणित) $M$, सेट $E\subseteq M$ का आधार है $M$ अगर:

• $E$ के लिए एक मॉड्यूल का जनरेटिंग सेट है $M$; अर्थात्, का प्रत्येक तत्व $M$ के तत्वों का परिमित योग है $E$ में गुणांक से गुणा $R$; और
• $E$ यदि प्रत्येक के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र है $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E$ विशिष्ट तत्वों की, $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ इसका आशय है $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ (कहाँ $0_{M}$ का शून्य तत्व है $M$ और $0_{R}$ का शून्य तत्व है $R$).

एक मुफ्त मॉड्यूल एक आधार वाला मॉड्यूल है। परिभाषा की दूसरी छमाही का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि पहली छमाही में गुणांक एम के प्रत्येक तत्व के लिए अद्वितीय हैं।

अगर $R$ अपरिवर्तनीय आधार संख्या है, तो परिभाषा के अनुसार किसी भी दो आधारों में समान कार्डिनैलिटी होती है। उदाहरण के लिए, शून्येतर क्रमविनिमेय वलयों में परिवर्तनीय आधार संख्या होती है। किसी भी (और इसलिए हर) आधार की कार्डिनैलिटी को फ्री मॉड्यूल की रैंक कहा जाता है $M$. यदि यह कार्डिनैलिटी परिमित है, तो मुक्त मॉड्यूल को परिमित रैंक से मुक्त या रैंक से मुक्त कहा जाता है n यदि रैंक ज्ञात है n.

उदाहरण

माना R एक वलय है।

• आर अपने ऊपर रैंक का एक मुफ्त मॉड्यूल है (या तो बाएं या दाएं मॉड्यूल के रूप में); कोई भी इकाई तत्व एक आधार है।
• अधिक आम तौर पर, यदि आर क्रमविनिमेय है, तो आर का एक गैर-शून्य आदर्श I मुक्त है और केवल अगर यह एक गैर-शून्यकारक द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख आदर्श है, जिसमें जनरेटर एक आधार है।
• एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर (उदाहरण के लिए, $\mathbb {Z}$), एक मुफ्त मॉड्यूल का एक सबमॉड्यूल मुफ्त है।
• यदि R क्रमविनिमेय है, तो बहुपद वलय $R[X]$ अनिश्चित एक्स में संभावित आधार 1, एक्स, एक्स के साथ एक मुफ्त मॉड्यूल है^{2</सुप>, ....}
• होने देना $A[t]$ क्रमविनिमेय वलय A के ऊपर एक बहुपद वलय हो, वहाँ डिग्री d का एक अमोनिक बहुपद हो, $B=A[t]/(f)$ और $\xi$ बी में टी की छवि। फिर बी में ए सबरिंग के रूप में होता है और आधार के साथ ए-मॉड्यूल के रूप में मुक्त होता है $1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}$.
• किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए, $R^{n}=R\times \cdots \times R$, बाएँ R-मॉड्यूल के रूप में R की n प्रतियों का Direct_product#Direct_product_of_modules निःशुल्क है। यदि आर में अपरिवर्तनीय आधार संख्या है, तो मॉड्यूल का रैंक एन है।
• मुक्त मॉड्यूल के मॉड्यूल का एक सीधा योग मुफ्त है, जबकि मुफ्त मॉड्यूल का एक अनंत कार्तीय उत्पाद आम तौर पर मुफ्त नहीं है (सीएफ। बेयर-स्पीकर समूह)।
• एक कम्यूटेटिव स्थानीय अंगूठी पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल मुफ्त है अगर और केवल अगर यह ईमानदारी से सपाट है। इसके अलावा, प्रोजेक्टिव मॉड्यूल पर कप्लान्स्की के प्रमेय | कप्लानस्की के प्रमेय में एक (संभवतः गैर-कम्यूटेटिव) स्थानीय अंगूठी पर एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल बताया गया है।
• कभी-कभी, एक मॉड्यूल मुक्त है या नहीं, सेट-सैद्धांतिक अर्थ में Undecidable_problem#Examples_of_undecidable_statement है। एक प्रसिद्ध उदाहरण व्हाइटहेड समस्या है, जो पूछती है कि व्हाइटहेड समूह मुक्त है या नहीं। जैसा कि यह निकला, समस्या ZFC से स्वतंत्र है।

औपचारिक रैखिक संयोजन

एक सेट दिया E और रिंग R, एक मुफ़्त है R-मॉड्यूल जिसमें है E एक आधार के रूप में: अर्थात्, ई द्वारा अनुक्रमित आर की प्रतियों के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग

$R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R$.

स्पष्ट रूप से, यह Direct_product#Direct_product_of_modules का सबमॉड्यूल है ${\textstyle \prod _{E}R}$ (आर को बाएं मॉड्यूल के रूप में देखा जाता है) जिसमें ऐसे तत्व होते हैं जिनमें केवल बहुत से गैर-अक्षीय घटक होते हैं। कोई ई को एम्बेडिंग कर सकता है R^(E) के साथ एक तत्व ई की पहचान करके एक उपसमुच्चय के रूप में R^(E) जिसका ई-वाँ घटक 1 (आर की एकता) है और अन्य सभी घटक शून्य हैं। फिर प्रत्येक तत्व R^(E) के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

$\sum _{e\in E}c_{e}e,$

जहाँ केवल बहुत सारे $c_{e}$ अशून्य हैं। इसे तत्वों का औपचारिक रैखिक संयोजन कहा जाता है E.

इसी तरह के एक तर्क से पता चलता है कि हर फ्री लेफ्ट (रेस्प। राइट) आर-मॉड्यूल आइसोमोर्फिक है जो कि आर की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में लेफ्ट (रेस्प। राइट) मॉड्यूल है।

एक और निर्माण

मुफ्त मॉड्यूल R^(E) निम्नलिखित समतुल्य तरीके से भी बनाया जा सकता है।

एक वलय R और एक समुच्चय E दिया है, पहले एक समुच्चय के रूप में हम देते हैं

$R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ for all but finitely many }}x\in E\}.$

हम इसे बाएं मॉड्यूल की संरचना से लैस करते हैं जैसे कि इसके अतिरिक्त परिभाषित किया गया है: एक्स में ई के लिए,

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

और स्केलर गुणा द्वारा: आर में आर और एक्स में ई के लिए,

$(rf)(x)=r(f(x))$

अब, ई पर एक आर-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) के रूप में, प्रत्येक एफ में $R^{(E)}$ के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

$f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}$

कहाँ $c_{e}$ आर में हैं और केवल उनमें से बहुत से गैर-शून्य और हैं $\delta _{e}$ के रूप में दिया जाता है

$\delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}$

(यह क्रोनकर डेल्टा का एक प्रकार है)। उपरोक्त का अर्थ है कि उपसमुच्चय $\{\delta _{e}\mid e\in E\}$ का $R^{(E)}$ का एक आधार है $R^{(E)}$. मानचित्रण $e\mapsto \delta _{e}$ के बीच आपत्ति है E और यह आधार। इस आक्षेप के माध्यम से, $R^{(E)}$ आधार ई के साथ एक मुफ्त मॉड्यूल है।

सार्वभौमिक संपत्ति

समावेशन मानचित्रण $\iota :E\to R^{(E)}$ ऊपर परिभाषित निम्नलिखित अर्थों में सार्वभौमिक संपत्ति है। एक मनमाना कार्य दिया $f:E\to N$ एक सेट से E बाईं ओर R-मापांक N, एक अद्वितीय मॉड्यूल समरूपता मौजूद है ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ ऐसा है कि $f={\overline {f}}\circ \iota$; अर्थात्, ${\overline {f}}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

${\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)$

और ${\overline {f}}$ बढ़ाने से प्राप्त होना बताया गया है $f$ रैखिकता द्वारा। विशिष्टता का अर्थ है कि प्रत्येक आर-रैखिक मानचित्र $R^{(E)}\to N$ विशिष्ट रूप से इसके प्रतिबंध (गणित) द्वारा ई को निर्धारित किया जाता है।

हमेशा की तरह सार्वभौमिक गुणों के लिए, यह परिभाषित करता है R^(E) एक विहित समरूपता तक। का गठन भी $\iota :E\to R^{(E)}$ प्रत्येक सेट के लिए E एक ऑपरेटर निर्धारित करता है

$R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}$,

सेट की श्रेणी से बाईं ओर की श्रेणी में R-मॉड्यूल। इसे मुक्त कारक कहा जाता है और प्राकृतिक संबंध को संतुष्ट करता है: प्रत्येक सेट ई और बाएं मॉड्यूल एन के लिए,

$\operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}$

कहाँ $U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ भुलक्कड़ कारक है, जिसका अर्थ है $R^{(-)}$ भुलक्कड़ फंक्‍टर का बायां जोड़ है।

सामान्यीकरण

मुफ्त मॉड्यूल के बारे में कई बयान, जो रिंगों पर सामान्य मॉड्यूल के लिए गलत हैं, मुक्त मॉड्यूल के कुछ सामान्यीकरणों के लिए अभी भी सही हैं। प्रोजेक्टिव मॉड्यूल मुफ्त मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग हैं, इसलिए कोई एक मुक्त मॉड्यूल में इंजेक्शन चुन सकता है और प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के लिए कुछ साबित करने के लिए इसका आधार उपयोग कर सकता है। यहां तक ​​कि कमजोर सामान्यीकरण भी फ्लैट मॉड्यूल हैं, जिनके पास अभी भी संपत्ति है जो उनके साथ टेंसरिंग सटीक अनुक्रमों और मरोड़-मुक्त मॉड्यूल को संरक्षित करती है। यदि अंगूठी में विशेष गुण हैं, तो यह पदानुक्रम ढह सकता है, उदाहरण के लिए, किसी भी संपूर्ण स्थानीय डेडेकाइंड रिंग के लिए, प्रत्येक मरोड़-मुक्त मॉड्यूल सपाट, प्रक्षेपी और मुक्त भी है। एक क्रमविनिमेय पीआईडी ​​​​का एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मरोड़-मुक्त मॉड्यूल मुफ़्त है। एक निश्चित रूप से जेनरेट किया गया जेड-मॉड्यूल मुफ़्त है और केवल अगर यह फ्लैट है।

स्थानीय रिंग, सही अंगूठी और डेडेकाइंड रिंग देखें।

यह भी देखें

• मुक्त वस्तु
• प्रक्षेप्य वस्तु
• मुफ्त प्रस्तुति
• मुक्त संकल्प
• क्विलेन-सुस्लिन प्रमेय
• स्थिर रूप से मुक्त मॉड्यूल
• सामान्य निडरता

संदर्भ

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• Adamson, Iain T. (1972). Elementary Rings and Modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. pp. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. MR 0345993.
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• Govorov, V. E. (2001) [1994], "Free module", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
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