बीजगणितीय विविधता का फलन क्षेत्र

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक बीजगणितीय किस्म V के फलन क्षेत्र में ऐसी वस्तुएँ होती हैं जिन्हें V पर परिमेय फलन के रूप में व्याख्यायित किया जाता है। शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में वे तर्कसंगत कार्य हैं; विश्लेषणात्मक विविधता में ये मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन और उनके उच्च-आयामी अनुरूप हैं; योजना (गणित) में वे अंशों के कुछ भागफल वलय के क्षेत्र के तत्व हैं।

जटिल कई गुना के लिए परिभाषा

जटिल बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन की वस्तुएं जटिल विश्लेषणात्मक किस्में हैं, जिस पर हमारे पास जटिल विश्लेषण की एक स्थानीय धारणा है, जिसके माध्यम से हम मेरोमोर्फिक कार्यों को परिभाषित कर सकते हैं। एक किस्म का कार्य क्षेत्र विविधता पर सभी मेरोमोर्फिक कार्यों का सेट है। (सभी मेरोमॉर्फिक कार्यों की तरह, ये अपने मूल्यों को अंदर ले जाते हैं $\mathbb {C} \cup \infty$।) कार्यों के जोड़ और गुणा के संचालन के साथ, यह बीजगणित के अर्थ में एक क्षेत्र (गणित) है।

रीमैन क्षेत्र के लिए, जो विविधता है $\mathbb {P} ^{1}$ जटिल संख्याओं के ऊपर, वैश्विक मेरोमॉर्फिक कार्य वास्तव में तर्कसंगत कार्य हैं (अर्थात, जटिल बहुपद कार्यों के अनुपात)।

बीजगणितीय ज्यामिति में निर्माण

शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में, हम दूसरे दृष्टिकोण का सामान्यीकरण करते हैं। रीमैन क्षेत्र के लिए, ऊपर, एक बहुपद की धारणा को विश्व स्तर पर परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन केवल एक affine अंतरिक्ष समन्वय चार्ट के संबंध में, अर्थात् जटिल विमान (गोलाकार के उत्तरी ध्रुव के अलावा सभी) से मिलकर। एक सामान्य विविधता V पर, हम कहते हैं कि एक खुले संबंध उपसमुच्चय U पर एक परिमेय फलन, U के परिबद्ध प्रकार में दो बहुपदों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह कि सभी V पर एक परिमेय फलन ऐसे स्थानीय डेटा से बना है जिस पर सहमत हैं खुले संबंधों के चौराहे। हम V के फंक्शन फील्ड को किसी भी ओपन एफाइन सबसेट के एफ़िन कोऑर्डिनेट रिंग के अंशों के क्षेत्र के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, क्योंकि ऐसे सभी सबसेट सघन होते हैं।

मनमानी योजना के लिए सामान्यीकरण

सबसे सामान्य सेटिंग में, आधुनिक योजना सिद्धांत की, हम बाद के दृष्टिकोण को प्रस्थान के बिंदु के रूप में लेते हैं। अर्थात्, अगर $X$ एक अभिन्न योजना (गणित) है, फिर प्रत्येक खुले उपसमुच्चय के लिए $U$ का $X$ वर्गों की अंगूठी ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ पर $U$ एक पूर्णांकीय प्रांत है और इसलिए इसमें भिन्नों का क्षेत्र है। इसके अलावा, यह सत्यापित किया जा सकता है कि ये सभी समान हैं, और सभी सामान्य बिंदु के स्थानीय रिंग के बराबर हैं $X$. इस प्रकार का कार्य क्षेत्र $X$ अपने सामान्य बिंदु का सिर्फ स्थानीय वलय है। इस दृष्टिकोण को कार्य क्षेत्र (योजना सिद्धांत) में और विकसित किया गया है। देखना Robin Hartshorne (1977).

फ़ंक्शन फ़ील्ड की ज्यामिति

यदि V एक क्षेत्र K पर परिभाषित विविधता है, तो फ़ंक्शन फ़ील्ड K(V) ग्राउंड फ़ील्ड K का एक अंतिम रूप से उत्पन्न फील्ड एक्सटेंशन है; इसकी श्रेष्ठता की डिग्री विविधता की बीजगणितीय विविधता के आयाम के बराबर है। K के सभी विस्तार जो कि K पर क्षेत्रों के रूप में परिमित रूप से उत्पन्न होते हैं, कुछ बीजगणितीय विविधता से इस तरह उत्पन्न होते हैं। इन फ़ील्ड एक्सटेंशन को K पर बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड के रूप में भी जाना जाता है।

विविधता V के गुण जो केवल कार्य क्षेत्र पर निर्भर करते हैं, उनका अध्ययन बायरेशनल ज्यामिति में किया जाता है।

उदाहरण

K पर एक बिंदु का कार्य क्षेत्र K है।

K पर affine रेखा का कार्य क्षेत्र एक चर में तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र K(t) के लिए समरूप है। यह प्रक्षेपी रेखा का कार्य क्षेत्र भी है।

समीकरण द्वारा परिभाषित affine समतल वक्र पर विचार करें $y^{2}=x^{5}+1$. इसका कार्य क्षेत्र K (x, y) क्षेत्र है, जो तत्वों x और y द्वारा उत्पन्न होता है जो कि K पर पारलौकिक तत्व हैं और बीजगणितीय संबंध को संतुष्ट करते हैं $y^{2}=x^{5}+1$.

यह भी देखें

• कार्य क्षेत्र (योजना सिद्धांत): एक सामान्यीकरण
• बीजगणितीय कार्य क्षेत्र
• कार्टियर भाजक

संदर्भ

• David M. Goldschmidt (2002). Algebraic Functions and Projective Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 215. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95432-5.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052, section II.3 First Properties of Schemes exercise 3.6