मीट्रिक व्युत्पन्न

गणित में, मेट्रिक यौगिक मेट्रिक रिक्त स्थान में पैरामीट्रिक समीकरण पथ (टोपोलॉजी) के लिए उपयुक्त डेरिवेटिव की धारणा है। यह उन जगहों के लिए गति या पूर्ण वेग की धारणा को सामान्यीकृत करता है जिनमें दूरी (यानी मीट्रिक रिक्त स्थान) की धारणा होती है लेकिन दिशा (जैसे वेक्टर रिक्त स्थान) नहीं होती है।

परिभाषा

होने देना $(M,d)$ एक मीट्रिक स्थान बनें। होने देना $E\subseteq \mathbb {R}$ पर एक सीमा बिंदु है $t\in \mathbb {R}$. होने देना $\gamma :E\to M$ एक मार्ग हो। फिर का मीट्रिक व्युत्पन्न $\gamma$ पर $t$, निरूपित $|\gamma '|(t)$, द्वारा परिभाषित किया गया है

$|\gamma '|(t):=\lim _{s\to 0}{\frac {d(\gamma (t+s),\gamma (t))}{|s|}},$

यदि यह सीमा (गणित) मौजूद है।

गुण

याद रखें कि पूर्ण निरंतरता|एसी^p(I; X) वक्रों का स्थान γ : I → X ऐसा है कि

$d\left(\gamma (s),\gamma (t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau {\mbox{ for all }}[s,t]\subseteq I$

एलपी स्पेस में कुछ मीटर के लिए | एल^{पी</सुप> स्पेस एलपी(आई; 'आर')। γ ∈ एसी के लिएp(I; X), γ का मीट्रिक व्युत्पन्न Lebesgue माप के लिए मौजूद है-लगभग हर समय I में, और मीट्रिक व्युत्पन्न सबसे छोटा m ∈ L हैp(I; 'R') ऐसा है कि उपरोक्त असमानता बनी रहती है।}

यदि यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{n}$ अपने सामान्य यूक्लिडियन मानदंड से सुसज्जित है $\|-\|$, और ${\dot {\gamma }}:E\to V^{*}$ समय के संबंध में सामान्य फ्रेचेट व्युत्पन्न है, तो

$|\gamma '|(t)=\|{\dot {\gamma }}(t)\|,$

कहाँ $d(x,y):=\|x-y\|$ यूक्लिडियन मीट्रिक है।

संदर्भ

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. p. 24. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)