रेये विन्यास

रेये विन्यास

ज्यामिति में, रेये विन्यास, द्वारा पेश किया गया Theodor Reye (1882), 12 बिन्दु (ज्यामिति) और 16 रेखा (ज्यामिति) का विन्यास (ज्यामिति) है।

कॉन्फ़िगरेशन का प्रत्येक बिंदु चार पंक्तियों से संबंधित है, और प्रत्येक पंक्ति में तीन बिंदु हैं। इसलिए, विन्यासों के अंकन में, रेये विन्यास को इस प्रकार लिखा जाता है 12₄16₃.

बोध

12 किनारों और एक घन के चार लंबे विकर्ण होने के लिए लाइनों को लेकर, और घन के आठ कोने, उसके केंद्र और तीन बिंदुओं के समूह के रूप में बिंदुओं को ले कर रेई विन्यास को त्रि-आयामी प्रक्षेपण स्थान में महसूस किया जा सकता है। चार समांतर घन किनारे अनंत पर विमान से मिलते हैं। दो नियमित चतुष्फलक एक घन के भीतर खुदे हुए हो सकते हैं, जिससे एक अष्टकोणीय तारा बनता है; ये दो टेट्राहेड्रा चार अलग-अलग तरीकों से एक दूसरे के लिए परिप्रेक्ष्य के आंकड़े हैं, और विन्यास के अन्य चार बिंदु उनके परिप्रेक्ष्य के केंद्र हैं। ये दो टेट्राहेड्रा शेष 4 बिंदुओं के चतुर्पाश्वीय के साथ मिलकर तीन टेट्राहेड्रा की डेस्मिक प्रणाली बनाते हैं।

तीन आयामी अंतरिक्ष में किन्हीं भी दो असम्बद्ध क्षेत्रों में, अलग-अलग त्रिज्याओं के साथ, दो द्विस्पर्शी शंकु (ज्यामिति) होते हैं, जिनमें से शीर्षों को समानता के केंद्र कहा जाता है। यदि तीन गोले दिए गए हैं, जिनके केंद्र गैर-संरेखी हैं, तो उनके छह सादृश्य केंद्र एक पूर्ण चतुर्भुज के छह बिंदु बनाते हैं, जिनमें से चार रेखाओं को समरूपता के अक्ष कहा जाता है। और यदि चार गोले दिए गए हैं, जिनके केंद्र समतलीय नहीं हैं, तो वे समानता के 12 केंद्र और समरूपता के 16 अक्ष निर्धारित करते हैं, जो एक साथ रेये विन्यास का एक उदाहरण बनाते हैं (Hilbert & Cohn-Vossen 1952).

तीन-बिंदु परिप्रेक्ष्य में त्रि-आयामी कॉन्फ़िगरेशन को चित्रित करके, रेई कॉन्फ़िगरेशन को यूक्लिडियन विमान में बिंदुओं और रेखाओं द्वारा भी महसूस किया जा सकता है। एक 8₃12₂ वास्तविक प्रक्षेपी विमान में आठ बिंदुओं का विन्यास और उन्हें जोड़ने वाली 12 लाइनें, क्यूब के कनेक्शन पैटर्न के साथ, रेई कॉन्फ़िगरेशन बनाने के लिए विस्तारित की जा सकती हैं यदि और केवल आठ बिंदु एक समानांतर चतुर्भुज का एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण हैं। (Servatius & Servatius 2010)

अंकों के 24 क्रमपरिवर्तन $(\pm 1,\pm 1,0,0)$ चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मूल पर केंद्रित 24-कोशिका के शीर्ष बनाते हैं। ये 24 बिंदु जड़ प्रणाली में 24 जड़ें भी बनाते हैं $D_{4}$. उन्हें मूल बिंदु से होकर एक रेखा पर एक दूसरे के विपरीत बिंदुओं के जोड़े में समूहीकृत किया जा सकता है। चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष की उत्पत्ति के माध्यम से लाइनों और विमानों में त्रि-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस के बिंदुओं और रेखाओं की ज्यामिति होती है, और इस त्रि-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस में इन 24 बिंदुओं और केंद्रीय विमानों के विपरीत जोड़े के माध्यम से रेखाएं होती हैं। ये बिंदु रेये विन्यास के बिंदु और रेखाएँ बन जाते हैं (Manivel 2006). के क्रमपरिवर्तन $(\pm 1,\pm 1,0,0)$ इस कॉन्फ़िगरेशन में 12 बिंदुओं के सजातीय निर्देशांक बनाएं।

आवेदन

Aravind (2000) ने बताया कि रेये विन्यास बेल-कोचेन-स्पेकर प्रमेय के कुछ सबूतों को क्वांटम यांत्रिकी में छिपे हुए चर के गैर-अस्तित्व के बारे में बताता है।

संबंधित विन्यास

पप्पू विन्यास दो त्रिभुजों से बन सकता है जो तीन अलग-अलग तरीकों से एक दूसरे के लिए परिप्रेक्ष्य के आंकड़े हैं, डेस्मिक टेट्राहेड्रा से जुड़े रेई कॉन्फ़िगरेशन की व्याख्या के अनुरूप।

यदि तीन आयामी अंतरिक्ष में एक घन से रेई विन्यास का गठन किया जाता है, तो 12 विमान होते हैं जिनमें से प्रत्येक में चार रेखाएं होती हैं: घन के छह चेहरे वाले विमान, और छः विमान घन के विपरीत किनारों के जोड़े के माध्यम से होते हैं। इन 12 समतलों और 16 रेखाओं को सामान्य स्थिति में एक अन्य तल के साथ प्रतिच्छेद करने पर 16 प्राप्त होता है₃12₄ कॉन्फ़िगरेशन, Reye कॉन्फ़िगरेशन का दोहरा। मूल Reye कॉन्फ़िगरेशन और इसके दोहरे मिलकर एक 28 बनाते हैं₄28₄ विन्यास (Grünbaum & Rigby 1990).

टाइप 12 के 574 अलग-अलग विन्यास हैं₄16₃ (Betten & Betten 2005).

संदर्भ

• Aravind, P. K. (2000), "How Reye's configuration helps in proving the Bell-Kochen-Specker theorem: a curious geometrical tale" (PDF), Foundations of Physics Letters, 13 (6): 499–519, doi:10.1023/A:1007863413622, MR 1814009
• Berger, Marcel (2010), Geometry revealed, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-70997-8, ISBN 978-3-540-70996-1, MR 2724440
• Betten, Anton; Betten, Dieter (2005), "More on regular linear spaces" (PDF), Journal of Combinatorial Designs, 13 (6): 441–461, doi:10.1002/jcd.20055, MR 2221852.
• Grünbaum, Branko; Rigby, J. F. (1990), "The real configuration (21₄)", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 41 (2): 336–346, doi:10.1112/jlms/s2-41.2.336, MR 1067273.
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), "22. Reye's configuration", Geometry and the Imagination (2nd ed.), New York: Chelsea, pp. 134–143, ISBN 978-0-8284-1087-8. See also pp. 154–157.
• Manivel, L. (2006), "Configurations of lines and models of Lie algebras", Journal of Algebra, 304 (1): 457–486, arXiv:math/0507118, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.04.029, MR 2256401. See in particular section 2.1, "The Reye configuration and triality", pp. 460–461.
• Reye, Th. (1882), "Das Problem der Configurationen", Acta Mathematica (in German), 1 (1): 93–96, doi:10.1007/BF02391837, MR 1554576{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link).
• Servatius, Brigitte; Servatius, Herman (2010), "The generalized Reye configuration", Ars Mathematica Contemporanea, 3 (1): 21–27, doi:10.26493/1855-3974.108.423, MR 2592512.