लैम्बर्ट चतुर्भुज

एक लैम्बर्ट चतुर्भुज

ज्यामिति में, लैम्बर्ट चतुर्भुज (जिसे इब्न अल-हेथम-लैंबर्ट चतुर्भुज के रूप में भी जाना जाता है), एक चतुर्भुज है जिसके तीन कोण समकोण होते हैं। ऐतिहासिक रूप से, लैम्बर्ट चतुर्भुज का चौथा कोण काफी रुचि का था क्योंकि अगर इसे एक समकोण के रूप में दिखाया जा सकता है, तो यूक्लिडियन समानांतर अभिधारणा को एक प्रमेय के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। अब यह ज्ञात है कि चौथे कोण का प्रकार उस ज्यामिति पर निर्भर करता है जिसमें चतुर्भुज उपस्थित होता है। अतिपरवलयिक ज्यामिति में चौथा कोण तीव्र कोण है, यूक्लिडियन ज्यामिति में यह एक समकोण है और अण्डाकार ज्यामिति में यह एक अधिक कोण होता है।

सैचेरी चतुर्भुज के आधार और शिखर के मध्य बिंदुओं को जोड़कर एक लैम्बर्ट चतुर्भुज का निर्माण किया जा सकता है। यह रेखा खंड आधार और शिखर दोनों के लिए लंबवत है और इसलिए साचेरी चतुर्भुज का आधा भाग लैम्बर्ट चतुर्भुज बना देते हैं।

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में लैम्बर्ट चतुर्भुज

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में एक लैम्बर्ट चतुर्भुज AOBF जहाँ कोण $\angle FAO,\angle AOB,\angle OBF$ समकोण होते हैं, और F, O के विपरीत है,$\angle AFB$ एक तीव्र कोण है, और कर्वता -1 होती है, निम्नलिखित संबंध लागू होते हैं:

$\sinh AF=\sinh OB\cosh BF$

$\tanh AF=\cosh OA\tanh OB$

$\sinh BF=\sinh OA\cosh AF$

$\tanh BF=\cosh OB\tanh OA$

$\cosh OF=\cosh OA\cosh AF$

$\cosh OF=\cosh OB\cosh BF$

$\sin \angle AFB={\frac {\cosh OB}{\cosh AF}}={\frac {\cosh OA}{\cosh BF}}$

$\cos \angle AFB=\sinh OA\sinh OB=\tanh AF\tanh BF$

$\cot \angle AFB=\tanh OA\sinh AF=\tanh OB\sinh BF$

$\sin \angle AOF={\frac {\sinh AF}{\sinh OF}}$

$\cos \angle AOF={\frac {\tanh OA}{\tanh OF}}$

$\tan \angle AOF={\frac {\tanh AF}{\sinh OA}}$ कहाँ $\tanh ,\cosh ,\sinh$ अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य हैं

उदाहरण

ऑर्बिफोल्ड में लैम्बर्ट क्वाड्रिलेटरल फंडामेंटल डोमेन*p222

*इसके एक कोने पर 60 डिग्री कोण के साथ 3222 समरूपता

*इसके एक कोने पर 45 डिग्री कोण के साथ 4222 समरूपता

लिमिटिंग लैम्बर्ट चतुर्भुज में 3 समकोण हैं, और अनंत पर एक आदर्श शीर्ष के साथ एक 0 डिग्री का कोण है, जो ऑर्बिफोल्ड *∞222 समरूपता को परिभाषित करता है। *

यह भी देखें

• गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति

संदर्भ

• George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975
• M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008.