संबंधों की श्रेणी
गणित में, श्रेणी (गणित) Rel में ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में सेट (गणित) का वर्ग और आकृतिवाद (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में द्विआधारी संबंध हैं।
एक आकारिकी (या तीर) आर : ए → बी इस श्रेणी में सेट ए और बी के बीच एक संबंध है, इसलिए R ⊆ A × B.
संबंधों की संरचना आर: ए → बी और एस: बी → सी द्वारा दी गई है
- (ए, सी) ∈ एस o R ⇔ किसी b ∈ B, (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ S के लिए।[1]
Rel को समुच्चयों के पत्राचार की श्रेणी भी कहा गया है।[2]
गुण
श्रेणी Rel में सेट की श्रेणी होती है जिसे एक (विस्तृत) उपश्रेणी के रूप में सेट किया जाता है, जहाँ तीर f : X → Y सेट में संबंध से मेल खाता है F ⊆ X × Y द्वारा परिभाषित (x, y) ∈ F ⇔ f(x) = y.[note 1][3] Rel में एक रूपवाद एक संबंध है, और Rel के विपरीत श्रेणी में संबंधित आकारिकी में तीर उलटे हैं, इसलिए यह विलोम संबंध है। इस प्रकार Rel में इसका विपरीत है और यह द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) है | स्व-द्वैत है।[4] उलटा संबंध लेकर प्रतिनिधित्व किया गया समावेशन (गणित) रिला को डैगर श्रेणी बनाने के लिए डैगर प्रदान करता है।
मैं काम कर रहा हूं द्वारा दी गई श्रेणी में दो ऑपरेटर हैं: एक बाइनरी रिलेशन R ⊆ A × B और इसका ट्रांसपोज़ RT ⊆ B × A की रचना या तो R R के रूप में की जा सकती हैटी या आर के रूप मेंT R. पहली रचना A पर बाइनरी_रिलेशन#परिभाषा में परिणत होती है और दूसरी B पर होती है। चूंकि इन होम फंक्शनलर्स की छवियां 'रिल' में ही हैं, इस मामले में होम एक आंतरिक होम फंक्शनल है। अपने आंतरिक होम फ़ंक्शन के साथ, 'रिल' एक बंद श्रेणी है, और इसके अलावा एक डैगर कॉम्पैक्ट श्रेणी भी है।
श्रेणी 'रिल' श्रेणी 'सेट' से प्राप्त की जा सकती है, जो मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) के लिए क्लेस्ली श्रेणी के रूप में प्राप्त की जा सकती है, जिसका फ़ैक्टर सत्ता स्थापित से मेल खाता है, जिसे सहसंयोजक फ़ंक्टर के रूप में व्याख्या किया गया है।
शायद पहली नजर में थोड़ा आश्चर्य की बात यह है कि उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) 'रिले' में असम्बद्ध संघ द्वारा दिया गया है[4]: 181 (कार्तीय उत्पाद के बजाय जैसा कि यह सेट में है), और इसलिए प्रतिउत्पाद है।
Rel बंद monoidal श्रेणी है, दोनों monoidal उत्पाद A ⊗ B और सेट के कार्टेशियन उत्पाद द्वारा दिए गए आंतरिक होम A ⇒ B दोनों के साथ।
Rel श्रेणी 1990 में पीटर जे. फ्रीड और आंद्रे स्केड्रोव द्वारा एक रूपक (श्रेणी सिद्धांत) नामक बीजगणितीय संरचना के लिए प्रोटोटाइप थी।[5] एक नियमित श्रेणी और एक फ़ैक्टर एफ: ए → बी से शुरू होने पर, वे प्रेरित फ़ैक्टर रिले (ए, बी) → रिले (एफए, एफबी) के गुणों को नोट करते हैं। उदाहरण के लिए, यह रचना, रूपांतरण और प्रतिच्छेदन को संरक्षित करता है। इस तरह के गुण एक रूपक के लिए अभिगृहीत प्रदान करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
वस्तुओं के रूप में संबंध
डेविड राइडहेर्ड और रॉड बर्स्टाल ने रिले को उन वस्तुओं के रूप में माना है जो सजातीय संबंध हैं। उदाहरण के लिए, ए एक समुच्चय है और आर ⊆ ए × ए ए पर एक द्विआधारी संबंध है। इस श्रेणी के morphisms सेट के बीच कार्य हैं जो एक संबंध को संरक्षित करते हैं: S ⊆ B × B एक दूसरा संबंध है और f: A → ' 'बी' एक ऐसा कार्य है जो तो f एक आकारिकी है।[6] यही विचार एडमेक, हेरलिच और स्ट्रेकर द्वारा आगे बढ़ाया गया है, जहां वे वस्तुओं (ए, आर) और (बी, एस), सेट और संबंध को निर्दिष्ट करते हैं।[7]
टिप्पणियाँ
- ↑ This category is called SetRel by Rydeheard and Burstall.
संदर्भ
- ↑ Mac Lane, S. (1988). कामकाजी गणितज्ञ के लिए श्रेणियाँ (1st ed.). Springer. p. 26. ISBN 0-387-90035-7.
- ↑ Pareigis, Bodo (1970). श्रेणियां और कारक. Pure and Applied Mathematics. Vol. 39. Academic Press. p. 6. ISBN 978-0-12-545150-5.
- ↑ Bergman, George (1998). "§7.2 RelSet". सामान्य बीजगणित और सार्वभौमिक निर्माण के लिए एक आमंत्रण. Henry Helson. ISBN 0-9655211-4-1.
- ↑ 4.0 4.1 Barr, Michael; Wells, Charles (1990). कम्प्यूटिंग विज्ञान के लिए श्रेणी सिद्धांत (PDF). Prentice Hall. p. 181. ISBN 978-0131204867.
- ↑ Freyd, Peter J.; Scedrov, Andre (1990). श्रेणियाँ, रूपक. North Holland. pp. 79, 196. ISBN 0-444-70368-3.
- ↑ Rydeheard, David; Burstall, Rod (1988). कम्प्यूटेशनल श्रेणी सिद्धांत. Prentice-Hall. p. 41. ISBN 978-0131627369.
- ↑ Adamek, Juri; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004) [1990]. "§3.3, example 2(d)". सार और ठोस श्रेणियाँ (PDF). KatMAT Research group, University of Bremen. p. 22.
- Borceux, Francis (1994). Categories and Structures. Handbook of Categorical Algebra. Vol. 2. Cambridge University Press. p. 115. ISBN 978-0-521-44179-7.
