अधिसमतल की व्यवस्था

ज्यामिति और साहचर्य में, hyperplane की व्यवस्था एक रेखीय अंतरिक्ष में हाइपरप्लेन के परिमित सेट ए की एक व्यवस्था (अंतरिक्ष विभाजन) है, एफ़िन ज्यामिति, या प्रक्षेपी ज्यामिति अंतरिक्ष एस। हाइपरप्लेन अरेंजमेंट ए के बारे में प्रश्न आम तौर पर जियोमेट्रिकल, टोपोलॉजिकल, या पूरक के अन्य गुणों से संबंधित होते हैं, एम(ए), जो कि वह सेट है जो तब रहता है जब हाइपरप्लेन को पूरे से हटा दिया जाता है अंतरिक्ष। कोई यह पूछ सकता है कि ये गुण व्यवस्था और इसके प्रतिच्छेदन अर्धजाल से कैसे संबंधित हैं। ए का चौराहा अर्धजाल, लिखित एल(ए), सभी यूक्लिडियन उप-स्थान का सेट है जो कुछ हाइपरप्लेन को काटकर प्राप्त किया जाता है; इन उप-स्थानों में स्वयं S, सभी अलग-अलग हाइपरप्लेन, हाइपरप्लेन के जोड़े के सभी इंटरसेक्शन आदि शामिल हैं (एफ़ाइन मामले में, खाली सेट को छोड़कर)। ए के इन इंटरसेक्शन सबस्पेस को ए के फ्लैट भी कहा जाता है। चौराहा अर्धजाल एल(ए) आंशिक रूप से रिवर्स इनक्लूजन द्वारा आदेशित है।

यदि संपूर्ण स्थान S द्वि-आयामी है, तो हाइपरप्लेन रेखा (गणित) हैं; ऐसी व्यवस्था को अक्सर रेखाओं की व्यवस्था कहा जाता है। ऐतिहासिक रूप से, लाइनों की वास्तविक व्यवस्था जांच की गई पहली व्यवस्था थी। यदि 'एस' 3-आयामी है तो विमानों की व्यवस्था है।

अंतरिक्ष में एक हाइपरप्लेन व्यवस्था

सामान्य सिद्धांत

चौराहा अर्धजाल और मैट्रॉइड

चौराहा अर्ध-जाल एल (ए) एक अर्ध-जाल है और अधिक विशेष रूप से एक ज्यामितीय अर्ध-जाल है। यदि व्यवस्था रेखीय या प्रक्षेपी है, या यदि सभी हाइपरप्लेन का चौराहा खाली नहीं है, तो चौराहा जाली एक ज्यामितीय जाली है। (यही कारण है कि सेमिलैटिस को रिवर्स समावेशन द्वारा आदेश दिया जाना चाहिए - समावेशन के बजाय, जो अधिक प्राकृतिक प्रतीत हो सकता है लेकिन एक ज्यामितीय (अर्ध) जाली उत्पन्न नहीं करेगा।)

जब L(A) एक जाली है, तो A का मैट्रॉइड, M(A) लिखा हुआ है, इसके ग्राउंड सेट के लिए A है और इसका रैंक फ़ंक्शन r(S) है: = कोडिम (I), जहां S, A और I का कोई उपसमुच्चय है एस में हाइपरप्लेन का चौराहा है। सामान्य तौर पर, जब एल (ए) एक अर्ध-जाल होता है, तो एक समरूप मैट्रोइड जैसी संरचना होती है जिसे [[semimatroid]] कहा जाता है, जो एक मैट्रॉइड का सामान्यीकरण होता है (और प्रतिच्छेदन सेमीलैटिस से समान संबंध होता है) जैसा कि जाली मामले में जाली के लिए मैट्रॉइड करता है), लेकिन अगर एल (ए) जाली नहीं है तो मैट्रॉइड नहीं है।

बहुपद

A के एक उपसमुच्चय B के लिए, आइए हम f(B) := B में हाइपरप्लेन के प्रतिच्छेदन को परिभाषित करें; यह S है अगर B खाली है। 'ए' की विशेषता बहुपद, लिखित पी_A(y), द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$p_{A}(y):=\sum _{B}(-1)^{|B|}y^{\dim f(B)},$

A के सभी उपसमुच्चय B पर अभिव्यक्त किया जाता है सिवाय, affine मामले में, उपसमुच्चय जिसका प्रतिच्छेदन खाली है। (खाली सेट का आयाम -1 के रूप में परिभाषित किया गया है।) यह बहुपद कुछ बुनियादी प्रश्नों को हल करने में मदद करता है; नीचे देखें। A से जुड़ा एक अन्य बहुपद 'व्हिटनी-संख्या बहुपद' w है_A(एक्स, वाई), द्वारा परिभाषित

$w_{A}(x,y):=\sum _{B}x^{n-\dim f(B)}\sum _{C}(-1)^{|C-B|}y^{\dim f(C)},$

B ⊆ C ⊆ A पर योग इस प्रकार किया जाता है कि f(B) रिक्त नहीं है।

एक ज्यामितीय जाली या अर्ध-जाल होने के नाते, एल (ए) में एक विशेषता बहुपद है, पी_L(A)(y), जिसका एक व्यापक सिद्धांत है (Matroid#Characteristic_polynomial देखें)। इस प्रकार यह जानना अच्छा है कि p_A(और) = और^{मैं </सुप> प_L(A)(वाई), जहां मैं किसी भी फ्लैट का सबसे छोटा आयाम है, सिवाय इसके कि अनुमानित मामले में यह वाई के बराबर हैआई + 1</सुप>पी_L(A)(य). A का व्हिटनी-संख्या बहुपद समान रूप से L(A) से संबंधित है। (खाली सेट को विशेष रूप से affine मामले में सेमीलेटिस से बाहर रखा गया है ताकि ये रिश्ते मान्य हों।)}

ऑरलिक-सोलोमन बीजगणित

प्रतिच्छेदन अर्धजाल व्यवस्था के एक और संयोजी अपरिवर्तनीय को निर्धारित करता है, ऑरलिक-सोलोमन बीजगणित। इसे परिभाषित करने के लिए, आधार क्षेत्र के क्रमविनिमेय उपवलय K को ठीक करें और सदिश स्थान के बाहरी बीजगणित E का निर्माण करें

$\bigoplus _{H\in A}Ke_{H}$

हाइपरप्लेन द्वारा उत्पन्न। एक श्रृंखला जटिल संरचना ई पर सामान्य सीमा ऑपरेटर के साथ परिभाषित की गई है $\partial$. ऑरलिक-सोलोमन बीजगणित तब फॉर्म के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) द्वारा ई का अंश है $e_{H_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{H_{p}}$ जिसके लिए $H_{1},\dots ,H_{p}$ खाली चौराहा है, और उसी रूप के तत्वों की सीमाओं से जिसके लिए $H_{1}\cap \cdots \cap H_{p}$ p से कम codimension है।

वास्तविक व्यवस्था

वास्तविक संख्या affine अंतरिक्ष में, पूरक डिस्कनेक्ट हो गया है: यह कोशिकाओं या क्षेत्रों या कक्षों नामक अलग-अलग टुकड़ों से बना है, जिनमें से प्रत्येक या तो एक घिरा हुआ क्षेत्र है जो [[उत्तल बहुभुज]] polytope है, या एक असीमित क्षेत्र है जो एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन है # सामान्य क्षेत्र जो अनंत तक जाता है। ए के प्रत्येक फ्लैट को भी हाइपरप्लेन द्वारा टुकड़ों में विभाजित किया जाता है जिसमें फ्लैट नहीं होता है; इन टुकड़ों को 'ए' के ​​चेहरे कहा जाता है। क्षेत्र चेहरे हैं क्योंकि पूरी जगह एक फ्लैट है। कोडिमेंशन 1 के चेहरों को ए के पहलू कहा जा सकता है। एक व्यवस्था का चेहरा अर्धजाल सभी चेहरों का सेट है, जिसे 'समावेशी' द्वारा आदेश दिया गया है। चेहरे की अर्धजाल में एक अतिरिक्त शीर्ष तत्व जोड़ने से चेहरा जालीदार हो जाता है।

दो आयामों में (अर्थात, वास्तविक संबंध तल (गणित) में) प्रत्येक क्षेत्र एक उत्तल बहुभुज है (यदि यह घिरा हुआ है) या एक उत्तल बहुभुज क्षेत्र है जो अनंत तक जाता है।

• एक उदाहरण के रूप में, यदि व्यवस्था में तीन समानांतर रेखाएँ होती हैं, तो प्रतिच्छेदन अर्धजाल में समतल और तीन रेखाएँ होती हैं, लेकिन खाली सेट नहीं। चार क्षेत्र हैं, उनमें से कोई भी परिबद्ध नहीं है।
• यदि हम तीन समांतर रेखाओं को पार करने वाली एक रेखा जोड़ते हैं, तो प्रतिच्छेदन अर्धजाल में समतल, चार रेखाएँ और तीन प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं। आठ क्षेत्र हैं, फिर भी उनमें से कोई भी परिबद्ध नहीं है।
• यदि हम अंतिम रेखा के समानांतर एक और रेखा जोड़ते हैं, तो 12 क्षेत्र होते हैं, जिनमें से दो परिबद्ध समांतर चतुर्भुज होते हैं।

एन-डायमेंशनल रियल स्पेस में किसी व्यवस्था के बारे में विशिष्ट समस्या यह है कि कितने क्षेत्र हैं, या आयाम 4 के कितने चेहरे हैं, या कितने बंधे हुए क्षेत्र हैं। इन सवालों का जवाब सिर्फ चौराहा अर्धजाल से ही दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ज़स्लाव्स्की (1975) से दो बुनियादी प्रमेय हैं, जो एक सजातीय व्यवस्था के क्षेत्रों की संख्या के बराबर हैं (-1)^{एन</सुप>प_A(-1) और घिरे क्षेत्रों की संख्या बराबर (-1)एन</सुप>प_A(1)। इसी तरह, k- डायमेंशनल चेहरों या बंधे हुए चेहरों की संख्या को x के गुणांक के रूप में पढ़ा जा सकता हैn−k में (−1)एन डब्ल्यू_A (−x, −1) या (−1)एनडब्ल्यू_A(−x, 1)।}

Meiser (1993) एक इनपुट बिंदु वाले हाइपरप्लेन की व्यवस्था का चेहरा निर्धारित करने के लिए एक तेज़ एल्गोरिथम डिज़ाइन किया।

वास्तविक अंतरिक्ष में एक व्यवस्था के बारे में एक और सवाल यह तय करना है कि कितने क्षेत्र संकेतन हैं (त्रिकोण और चतुर्पाश्वीय के एन-आयामी सामान्यीकरण)। इसका उत्तर केवल चौराहों के अर्धजाल के आधार पर नहीं दिया जा सकता है। मैकमुलेन समस्या वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान में सामान्य स्थिति में दिए गए आयाम की सबसे छोटी व्यवस्था के लिए पूछती है जिसके लिए सभी हाइपरप्लेन द्वारा छुआ गया सेल मौजूद नहीं है।

एक वास्तविक रेखीय व्यवस्था में, इसके चेहरे के अर्ध-जाल के अलावा, 'क्षेत्रों का poset ', प्रत्येक क्षेत्र के लिए एक अलग होता है। यह पोसेट एक मनमाने आधार क्षेत्र, बी को चुनकर बनाया गया है₀, और प्रत्येक क्षेत्र R के साथ सेट S(R) को जोड़कर हाइपरप्लेन से मिलकर बनता है जो R को B से अलग करता है। क्षेत्रों को आंशिक रूप से आदेश दिया जाता है ताकि R₁ ≥ आर₂ अगर एस (आर₁, आर) में एस (आर₂, आर)। विशेष मामले में जब हाइपरप्लेन मूल प्रक्रिया से उत्पन्न होते हैं, परिणामी पॉसेट कमजोर क्रम के साथ संबंधित वेइल समूह होता है। सामान्य तौर पर, अलग-अलग हाइपरप्लेन की संख्या के आधार पर क्षेत्रों के पॉसेट को पोसेट रैंक दिया जाता है और इसके इंसिडेंस बीजगणित| मोबियस फ़ंक्शन की गणना की गई है (Edelman 1984).

वादिम शेख्टमैन और अलेक्जेंडर वर्चेंको ने क्षेत्रों द्वारा अनुक्रमित एक मैट्रिक्स पेश किया। क्षेत्र के लिए मैट्रिक्स तत्व $R_{i}$ और $R_{j}$ अनिश्चित चर के उत्पाद द्वारा दिया जाता है $a_{H}$ प्रत्येक हाइपरप्लेन एच के लिए जो इन दो क्षेत्रों को अलग करता है। यदि ये चर सभी मान q होने के लिए विशिष्ट हैं, तो इसे q-मैट्रिक्स (यूक्लिडियन डोमेन पर) कहा जाता है $\mathbb {Q} [q]$) व्यवस्था के लिए और बहुत सी जानकारी इसके स्मिथ सामान्य रूप में समाहित है।

जटिल व्यवस्था

जटिल संख्या में एफाइन स्पेस (जो कल्पना करना कठिन है क्योंकि यहां तक ​​कि जटिल एफिन प्लेन में भी चार वास्तविक आयाम हैं), पूरक छेद के साथ जुड़ा हुआ है (सभी एक टुकड़ा) जहां हाइपरप्लेन हटा दिए गए थे।

जटिल स्थान में व्यवस्था के बारे में एक विशिष्ट समस्या छिद्रों का वर्णन करना है।

जटिल व्यवस्थाओं के बारे में मूल प्रमेय यह है कि पूरक एम (ए) का सह-विज्ञान पूरी तरह से प्रतिच्छेदन अर्ध-जाल द्वारा निर्धारित किया जाता है। सटीक होने के लिए, एम (ए) (पूर्णांक गुणांक के साथ) की सह-समरूपता रिंग 'जेड' पर ऑरलिक-सोलोमन बीजगणित के लिए समरूपी है।

आइसोमोर्फिज्म को स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है और जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में कोहोलॉजी की प्रस्तुति देता है, जहां जनरेटर का प्रतिनिधित्व किया जाता है (डॉ कहलमज गर्भाशय में) लॉगरिदमिक विभेदक रूप के रूप में

${\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d\alpha }{\alpha }}.$

साथ $\alpha$ व्यवस्था के सामान्य हाइपरप्लेन को परिभाषित करने वाला कोई रैखिक रूप।

तकनीकीताएं

कभी-कभी अधोगामी हाइपरप्लेन, जो संपूर्ण स्थान S है, को एक व्यवस्था से संबंधित होने की अनुमति देना सुविधाजनक होता है। अगर ए में डीजनरेट हाइपरप्लेन है, तो इसका कोई क्षेत्र नहीं है क्योंकि पूरक खाली है। हालाँकि, इसमें अभी भी फ्लैट, एक चौराहा अर्ध-जाली और चेहरे हैं। पूर्ववर्ती चर्चा मानती है कि पतित हाइपरप्लेन व्यवस्था में नहीं है।

कभी-कभी व्यवस्था में बार-बार हाइपरप्लेन की अनुमति देना चाहता है। पिछली चर्चा में हमने इस संभावना पर विचार नहीं किया था, लेकिन इससे कोई खास फर्क नहीं पड़ता।

यह भी देखें

• सुपरसॉल्वेबल व्यवस्था
• ओरिएंटेड मैट्रोइड

संदर्भ

• "Arrangement of hyperplanes", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Edelman, Paul H. (1984), "A partial order on the regions of $\mathbb {R} ^{n}$ dissected by hyperplanes", Transactions of the American Mathematical Society, 283 (2): 617–631, doi:10.2307/1999150, JSTOR 1999150, MR 0737888.
• Meiser, Stefan (1993), "Point location in arrangements of hyperplanes", Information and Computation, 106 (2): 286–303, doi:10.1006/inco.1993.1057, MR 1241314.
• Orlik, Peter; Terao, Hiroaki (1992), Arrangements of Hyperplanes, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 300, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-02772-1, ISBN 978-3-642-08137-8, MR 1217488.
• Stanley, Richard (2011). "3.11 Hyperplane Arrangements". Enumerative Combinatorics. Vol. 1 (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1107602625.
• Zaslavsky, Thomas (1975), "Facing up to arrangements: face-count formulas for partitions of space by hyperplanes", Memoirs of the American Mathematical Society, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1 (154), doi:10.1090/memo/0154, MR 0357135.