कॉन्फ़्रेंस आव्यूह

गणित में, एक अधिवेशन आव्यूह (जिसे C-आव्यूह भी कहा जाता है) एक वर्ग आव्यूह (गणित) C है, जिसमें विकर्ण पर 0 और विकर्ण पर +1 और -1 है, जैसे कि C^TC तत्समक आव्यूह का गुणक है। इस प्रकार, यदि आव्यूह का क्रम n, C^TC = (n−1)I हैI कुछ लेखक अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग करते हैं, जिसके लिए आवश्यक है कि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में एक 0 हो, लेकिन जरूरी नहीं कि विकर्ण पर हो।

दूरभाषण में एक समस्या के संबंध में सबसे पहले अधिवेशन आव्यूह सामने आए। उन्हें सबसे पहले विटोल्ड बेलेविच ने वर्णित किया, जिन्होंने उन्हें अपना नाम भी दिया। बेलेविच को आदर्श परिणामित्र से आदर्श टेलीफोन वार्ता संजाल बनाने में संबद्ध थी और उन्होंने पाया कि इस तरह के संजाल को अधिवेशन आव्यूह द्वारा दर्शाया गया था अन्य अनुप्रयोग सांख्यिकी में हैं, और दूसरा अण्डाकार ज्यामिति में है। n > 1 के लिए, अधिवेशन आव्यूह दो तरह के होते हैं। आइए सी को सामान्य करें, पहले (यदि अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है), पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि सभी शून्य विकर्ण पर हों, और फिर किसी भी पंक्ति या स्तंभ को अस्वीकार कर दें जिसकी पहली प्रविष्टि नकारात्मक है। (ये ऑपरेशन नहीं बदलते हैं कि आव्यूह एक अधिवेशन आव्यूह है या नहीं।) इस प्रकार, एक सामान्यीकृत सम्मेलन आव्यूह में इसकी पहली पंक्ति और कॉलम में सभी 1 हैं, शीर्ष बाएं कोने में 0 को छोड़कर, और विकर्ण पर 0 है। S को वह आव्यूह होने दें जो C की पहली पंक्ति और स्तंभ को हटा दिए जाने पर बना रहता है। फिर या तो n एकल और दोगुना सम (4 का एक गुणक) है, और S प्रतिसममित आव्यूह है (जैसा कि सामान्यीकृत C है यदि इसकी पहली पंक्ति को नकारा गया है), या n एकल और दोगुना भी है (2 मॉड्यूलो 4 के अनुरूप) और S सममित आव्यूह है (जैसा सामान्यीकृत सी है)।

सममित सम्मेलन आव्यूह

यदि C क्रम n > 1 का एक सममित अधिवेशन आव्यूह है, तो n को न केवल 2 (mod 4) के अनुरूप होना चाहिए, बल्कि n − 1 को भी दो वर्ग पूर्णांकों का योग होना चाहिए; वैन लिंट और सेडेल में प्राथमिक आव्यूह सिद्धांत द्वारा एक चतुर प्रमाण है। n हमेशा दो वर्गों का योग होगा यदि n − 1 एक अभाज्य शक्ति है। एक सममित अधिवेशन आव्यूह को देखते हुए, आव्यूह S को ग्राफ़ (असतत गणित) के सेडेल आसन्न आव्यूह के रूप में देखा जा सकता है। ग्राफ़ में n − 1 शीर्ष हैं, जो S की पंक्तियों और स्तंभों के अनुरूप हैं, और यदि S में संगत प्रविष्टि ऋणात्मक है, तो दो शीर्ष आसन्न हैं। यह ग्राफ़ सम्मेलन ग्राफ (आव्यूह के बाद) नामक प्रकार का दृढ़ता से नियमित ग्राफ़ है।

उपरोक्त प्रतिबंधों द्वारा अनुमत ऑर्डर n के अधिवेशन आव्यूह का अस्तित्व केवल n के कुछ मानों के लिए जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि n = q + 1 जहां q 1 (मॉड 4) के अनुरूप एक प्रमुख शक्ति है, तो Paley ग्राफ़ S को Paley ग्राफ़ के सेडेल आव्यूह होने के लिए आदेश n के सममित सम्मेलन आव्यूह के उदाहरण प्रदान करते हैं। एक सममित अधिवेशन आव्यूह के पहले कुछ संभावित आदेश हैं n = 2, 6, 10, 14, 18, (22 नहीं, क्योंकि 21 दो वर्गों का योग नहीं है), 26, 30, (34 नहीं क्योंकि 33 एक नहीं है दो वर्गों का योग), 38, 42, 46, 50, 54, (58 नहीं), 62 (sequence A000952 in the OEIS); इनमें से प्रत्येक के लिए, यह ज्ञात है कि उस क्रम का एक सममित सम्मेलन आव्यूह मौजूद है। आदेश 66 एक खुली समस्या प्रतीत होती है।

उदाहरण

ऑर्डर 6 का अनिवार्य रूप से अद्वितीय सम्मेलन आव्यूह द्वारा दिया गया है

${\begin{pmatrix}0&+1&+1&+1&+1&+1\\+1&0&+1&-1&-1&+1\\+1&+1&0&+1&-1&-1\\+1&-1&+1&0&+1&-1\\+1&-1&-1&+1&0&+1\\+1&+1&-1&-1&+1&0\end{pmatrix}}$,

ऑर्डर 6 के अन्य सभी अधिवेशन आव्यूह कुछ पंक्ति और/या कॉलम के संकेतों को फ़्लिप करके (और उपयोग में परिभाषा के अनुसार पंक्तियों और/या कॉलम के क्रमपरिवर्तन लेकर) प्राप्त किए जाते हैं।

एंटीसिमेट्रिक कॉन्फ्रेंस मेट्रिसेस

पाले निर्माण द्वारा एंटीसिमेट्रिक मेट्रिसेस भी तैयार किए जा सकते हैं। क्यू को अवशेष 3 (मॉड 4) के साथ एक प्रमुख शक्ति होने दें। फिर ऑर्डर q का एक पाले ग्राफ है जो ऑर्डर n = q + 1 के एक एंटीसिमेट्रिक अधिवेशन आव्यूह की ओर जाता है। आव्यूह S के लिए q × q आव्यूह ले कर प्राप्त किया जाता है जिसकी स्थिति (i, j) में +1 है और −1 स्थिति में (j,i) यदि i से j तक डिग्राफ का एक चाप है, और शून्य विकर्ण है। फिर C का निर्माण S से ऊपर के रूप में किया गया है, लेकिन पहली पंक्ति के साथ सभी नकारात्मक, एक एंटीसिमेट्रिक अधिवेशन आव्यूह है।

यह निर्माण निर्णय लेने की समस्या का केवल एक छोटा सा हिस्सा हल करता है जिसके लिए समान रूप से n संख्याएँ n क्रम के एंटीसिमेट्रिक अधिवेशन आव्यूह मौजूद हैं।

सामान्यीकरण

कभी-कभी क्रम n के अधिवेशन आव्यूह को केवल W(n, n−1) के रूप के भार आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां W(n,w) को भार w>0 और क्रम n का कहा जाता है, यदि यह आकार n का एक स्क्वायर आव्यूह है जिसमें {−1, 0, +1} की प्रविष्टियाँ W W को संतुष्ट करती हैं^{टी </सुप> = डब्ल्यू मैं।इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, शून्य तत्व को विकर्ण पर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह देखना आसान है कि फिर भी प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्य तत्व होना चाहिए। उदाहरण के लिए, आव्यूह}

${\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&-1&-1&1\\1&-1&0&-1\\1&1&-1&0\end{pmatrix}}$

इस आराम की परिभाषा को संतुष्ट करेगा, लेकिन अधिक सख्त नहीं, जिसके लिए शून्य तत्वों को विकर्ण पर होना आवश्यक है।

अधिवेशन डिज़ाइन गैर-आयताकार आव्यूह के लिए अधिवेशन आव्यूह का सामान्यीकरण है। एक सम्मेलन डिजाइन सी एक है $N\times k$ आव्यूह, {-1, 0, +1} से प्रविष्टियों के साथ संतोषजनक $W^{T}W=(N-1)I_{k}$, कहाँ $I_{k}$ है $k\times k$ तत्समक आव्यूह और प्रत्येक पंक्ति में अधिकतम एक शून्य। अधिवेशन डिज़ाइनों के फोल्डओवर डिज़ाइनों को निश्चित स्क्रीनिंग डिज़ाइनों के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

टेलीफोन अधिवेशन सर्किट

तुच्छ 2-पोर्ट सम्मेलन संजाल

बेलेविच ने 38 तक एन के सभी मूल्यों के लिए कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स के लिए पूर्ण समाधान प्राप्त किया और कुछ छोटे मैट्रिक्स के लिए सर्किट प्रदान किए। एक आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क वह है जहां सिग्नल का नुकसान पूरी तरह से कई कॉन्फ़्रेंस सब्सक्राइबर पोर्ट के बीच सिग्नल के विभाजन के कारण होता है। यही है, नेटवर्क के भीतर कोई अपव्यय हानि नहीं होती है। नेटवर्क में केवल आदर्श ट्रांसफार्मर होने चाहिए और कोई प्रतिरोध नहीं होना चाहिए। एक एन-पोर्ट आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क मौजूद है अगर और केवल तभी ऑर्डर एन के कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, टेलीफोन हैंडसेट और लाइन रिपीटर्स में 2-वायर से 4-वायर रूपांतरण के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रसिद्ध हाइब्रिड ट्रांसफॉर्मर सर्किट के साथ 3-पोर्ट कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क का निर्माण किया जा सकता है। हालाँकि, कोई ऑर्डर 3 कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स नहीं है और यह सर्किट एक आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क नहीं बनाता है। मैचिंग के लिए एक रेजिस्टेंस की जरूरत होती है जो सिग्नल को खत्म कर देता है, वरना मिसमैच के कारण सिग्नल खो जाता है।

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  Belevitch's implementation of the 6-port ideal conference network

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  Belevitch's implementation of the 10-port ideal conference network

जैसा ऊपर बताया गया है, सम्मेलन आव्यूह के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि n−1 दो वर्गों का योग होना चाहिए। जहां n-1 के लिए दो वर्गों का एक से अधिक संभावित योग है, वहां संबंधित अधिवेशन संजाल के लिए कई अनिवार्य रूप से अलग-अलग समाधान मौजूद होंगे। यह स्थिति 26 और 66 के n पर होती है। संजाल विशेष रूप से सरल होते हैं जब n−1 एक पूर्ण वर्ग (n = 2, 10, 26, ...) होता है।

संदर्भ

• Belevitch V (1950). "Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony". Electrical Communication. 27: 231–244.
• Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). "Orthogonal matrices with zero diagonal". Canadian Journal of Mathematics. 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. S2CID 197456608.
• Lili Xiao and Dennis K. J. Lin and Fengshan Bai (2012). "Constructing Definitive Screening Designs Using Conference Matrices". Journal of Quality Technology. 44 (1): 2–8. doi:10.1080/00224065.2012.11917877. S2CID 116145147.
• Seidel, J.J. (1991), ed. D.G. Corneil and R. Mathon, Geometry and Combinatorics: Selected Works of J.J. Seidel. Boston: Academic Press. Several of the articles are related to conference matrices and their graphs.
• Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007) Handbook of Combinatorial Designs, Boca Raton, Florida: Chapman and Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-506-8.
• van Lint, Jacobus Hendricus; Wilson, Richard Michael (2001) A Course in Combinatorics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-00601-5.
• Stinson, Douglas Robert (2004) Combinatorial Designs: Constructions and Analysis, New York: Springer, ISBN 0-387-95487-2.
• Eric D. Schoen, Pieter T. Eendebak, Peter Goos (2018). "A Classification Criterion for Definitive Screening Designs". Annals of Statistics.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

अग्रिम पठन

• N. A. Balonin, Jennifer Seberry, "A Review and New Symmetric Conference Matrices", Research Online, University of Wollongong, 2014. Appendix lists all known and possible conference matrices up to 1002.