अधिकतम उपसमूह
गणित में, अधिकतम उपसमूह शब्द का प्रयोग बीजगणित के विभिन्न क्षेत्रों में थोड़ी अलग चीजों के अर्थ के लिए किया जाता है।
समूह सिद्धांत में, एक समूह (गणित) जी का एक अधिकतम उपसमूह एच एक उचित उपसमूह है, जैसे कि कोई उचित उपसमूह क में एच सख्ती से सम्मिलित नहीं है। दूसरे शब्दों में, एच जी के उपसमूहों के आंशिक रूप से आदेशित सेट का अधिकतम तत्व है जो जी के बराबर नहीं है। 'जी' के आदिम क्रमचय निरूपण के साथ उनके सीधे संबंध के कारण अधिकतम उपसमूह रुचि के हैं। परिमित समूह सिद्धांत के प्रयोजनों के लिए भी उनका बहुत अध्ययन किया जाता है: उदाहरण के लिए फ्रैटिनी उपसमूह, अधिकतम उपसमूहों का प्रतिच्छेदन देखें।
सेमीग्रुप में, एक सेमीग्रुप एस का एक अधिकतम उपसमूह एस का एक उपसमूह (अर्थात, एक उपसेमीग्रुप जो सेमीग्रुप ऑपरेशन के तहत एक समूह बनाता है) है जो एस के दूसरे उपसमूह में ठीक से समाहित नहीं है। ध्यान दें कि, यहाँ, कोई आवश्यकता नहीं है कि एक अधिकतम उपसमूह उचित हो, इसलिए यदि एस वास्तव में एक समूह है तो इसका अद्वितीय अधिकतम उपसमूह (एक अर्धसमूह के रूप में) एस ही है। उपसमूहों को ध्यान में रखते हुए, और विशेष रूप से अधिकतम उपसमूहों में, सेमीग्रुप्स अक्सर सेमीग्रुप सिद्धांत में समूह-सैद्धांतिक तकनीकों को लागू करने की अनुमति देता है। सेमिग्रुप के इडेम्पोटेंट एलिमेंट (रिंग थ्योरी) और सेमिग्रुप के अधिकतम उपसमूहों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है: प्रत्येक इडेमपोटेंट तत्व एक अद्वितीय अधिकतम उपसमूह का पहचान तत्व है।
अधिकतम उपसमूह का अस्तित्व
परिमित समूह का कोई भी उचित उपसमूह कुछ अधिकतम उपसमूह में समाहित है, क्योंकि उचित उपसमूह सम्मिलित किए जाने के तहत एक सीमित आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट बनाते हैं। हालाँकि, अनंत एबेलियन समूह हैं जिनमें कोई अधिकतम उपसमूह नहीं है, उदाहरण के लिए प्रुफ़र समूह।
अधिकतम सामान्य उपसमूह
इसी तरह, जी के एक सामान्य उपसमूह एन को जी का एक अधिकतम सामान्य उपसमूह (या अधिकतम उचित सामान्य उपसमूह) कहा जाता है यदि एन <जी और जी का कोई सामान्य उपसमूह क नहीं है जैसे कि एन <क <जी। हमारे पास निम्नलिखित हैं प्रमेय: 'प्रमेय': समूह जी का एक सामान्य उपसमूह एन एक अधिकतम सामान्य उपसमूह है यदि और केवल यदि भागफल समूह जी/एन सरल समूह है।
हस्से आरेख
ये हस्से आरेख सममित समूह एस4, डायहेड्रल समूह डी4, और सी23, चक्रीय समूह सी2 के उपसमूहों की जाली दिखाते हैं।
हस्से आरेख के किनारे से अधिकतम उपसमूह समूह से ही जुड़े हुए हैं (हस आरेख के शीर्ष पर)।
 एस4 के अधिकतम उपसमूह ए4,तीन डी4 और चार एस3 हैं। (छोड़ें: एस4 के उपसमूह) |
.svg) डी4 के अधिकतम उपसमूह सी4 और दो सी22 हैं। |
 सी23 के अधिकतम उपसमूह सात सी22 हैं। |
