कार्टन उप बीजगणित

गणित में मुख्य रूप से कार्टन उप बीजगणित, जिसे अधिकांशतः सीएसए के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, निलपोटेंट ले बीजगणित ${\mathfrak {h}}$ उप बीजगणित है जिसके लिए असत्य बीजगणित का ${\mathfrak {g}}$ यह स्व-सामान्यीकरण है (यदि $[X,Y]\in {\mathfrak {h}}$ सभी के लिए $X\in {\mathfrak {h}}$, तब $Y\in {\mathfrak {h}}$). उन्हें एली कार्टन ने अपने डॉक्टरेट थीसिस में प्रस्तुत किया था। इस प्रकार यह अर्धसरल लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को नियंत्रित करता है। इस कारण अर्ध-सरल लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व सिद्धांत ${\mathfrak {g}}$ विशेषता के क्षेत्र पर $0$ मान प्रदर्शित करता हैं।

इस कारण परिमित विम का अर्ध साधारणतयः बीजगणित को अभिलाक्षणिक शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर ले जाता हैं (उदाहरण के लिए, $\mathbb {C}$), कार्टन उप बीजगणित अधिकतम एबेलियन उप बीजगणित के समान है जिसमें तत्व x होते हैं जैसे कि आसन्न एंडोमोर्फिज्म $\operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ अर्धसरल ऑपरेटर है, अर्ताथ, विकर्ण आव्यूह इसका मुख्य उदाहरण हैं। इस प्रकार कभी-कभी इस लक्षण वर्णन को कार्टन उप बीजगणित की परिभाषा के रूप में लिया जाता है।^{पृष्ठ 231}

सामान्यतः उप बीजगणित को टॉरल उप बीजगणित कहा जाता है, यदि इसमें सेमीसिंपल तत्व होते हैं। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, टोरल उप बीजगणित स्वचालित रूप से अबेलियन है। इस प्रकार, विशेषता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, कार्टन उप बीजगणित को अधिकतम टॉरल उप बीजगणित के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

केएसी-मूडी बीजगणित और सामान्यीकृत केसी-मूडी बीजगणित में भी उप-विषम होते हैं जो अर्ध-सरल ले बीजगणित (विशेषता शून्य के क्षेत्र में) के कार्टन उप-लजेब्रस के समान भूमिका निभाते हैं।

अस्तित्व और विशिष्टता

जब भी आधार क्षेत्र (गणित) अनंत होता है, कार्टन उप बीजगणित परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए सम्मिलित होते हैं। इस प्रकार कार्टन उप बीजगणित बनाने की विधि लाइ बीजगणित ए कार्टन उप बीजगणित के नियमित तत्व और नियमित तत्व के माध्यम से है। इस प्रकार परिमित क्षेत्र में अस्तित्व का प्रश्न अभी भी खुला है।

इस प्रकार किसी परिमित-विम अर्धसरल असत्य बीजगणित के लिए ${\mathfrak {g}}$ विशेषता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर सरल दृष्टिकोण से प्रदर्शित होता हैं: इस परिभाषा के अनुसार, टोरल उप बीजगणित उप बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ है, जिसमें अर्ध-सरल तत्व होते हैं (एक तत्व अर्ध-सरल है यदि इसके द्वारा प्रेरित आसन्न एंडोमोर्फिज्म विकर्ण आव्यूह है)। कार्टन उप बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ तब अधिकतम टोरल उप बीजगणित के समान ही होता है और मैक्सिमल टोरल उप बीजगणित के अस्तित्व को देखना सरल होता है।

विशेषता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर परिमित-आयामी लाई बीजगणित में, सभी कार्टन उप बीजगणित बीजगणित के आटोमार्फिज्म के अनुसार संयुग्मित होते हैं, और इस प्रकार विशेष रूप से सभी समरूपतावाद हैं। कार्टन उप बीजगणित के सामान्य आयाम को तब बीजगणित के लाइ बीजगणित की कोटि कहा जाता है।

एक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-सरल असत्य बीजगणित के लिए कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप के अस्तित्व को मानते हुए, कार्टन उप बीजगणित का अस्तित्व स्थापित करना बहुत सरल है। उस स्थिति में, ${\mathfrak {h}}$ कॉम्पैक्ट समूह के अधिकतम टोरस के लाई बीजगणित की जटिलता के रूप में लिया जा सकता है।

यदि ${\mathfrak {g}}$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर रेखीय असत्य बीजगणित अर्ताथ एक परिमित-आयामी सदिश स्थान V के एंडोमोर्फिज्म के असत्य बीजगणित का असत्या उप बीजगणित है, फिर कोई कार्टन उप बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ के अधिक से अधिक तोरल लाई बीजगणित का केंद्रक ${\mathfrak {g}}$ के रूप में प्रकट होता है, यदि ${\mathfrak {g}}$ सेमीसिम्पल है और क्षेत्र में विशेषता शून्य है, तो इस प्रकार अधिकतम टोरल उप बीजगणित स्व-सामान्यीकरण है, और इसलिए संबंधित कार्टन उप बीजगणित के बराबर माना जाता है। यदि इसके अतिरिक्त ${\mathfrak {g}}$ सेमीसिंपल है, तो लाइ समूह का संलग्न प्रतिनिधित्व ${\mathfrak {g}}$ द्वारा प्रस्तुत होता है, इस स्थिति में रेखीय असत्य बीजगणित के रूप में, जिससे कि उप बीजगणित का कार्टन ${\mathfrak {g}}$ है यदि यह अधिकतम टोरल उप बीजगणित है।

उदाहरण

• कोई भी निलपोटेंट लाई बीजगणित उसका अपना कार्टन उप बीजगणित होता है।
• कार्टन उप बीजगणित ${\mathfrak {gl}}_{n}$, वर्ग आव्यूह का असत्या बीजगणित या $n\times n$ क्षेत्र पर आव्यूह, सभी विकर्ण आव्यूहों का बीजगणित है।
• ट्रेसलेस के विशेष लाई बीजगणित के लिए $n\times n$ आव्यूह ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$, इसमें कार्टन उप बीजगणित है।
  $${\mathfrak {h}}=\left\{d(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {C} {\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}$$
  जहाँ
  $$d(a_{1},\ldots ,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}$$
  उदाहरण के लिए, में ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ कार्टन उप बीजगणित आव्यूह का उप बीजगणित है
  $${\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&-a\end{pmatrix}}:a\in \mathbb {C} \right\}$$
  आव्यूह कम्यूटेटर द्वारा दिए गए लेट ब्रैकेट के साथ किया जाता हैं।
• असत्य बीजगणित ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )$ का $2$ द्वारा $2$ ट्रेस के आव्यूह $0$ दो गैर-संयुग्मित कार्टन उप बीजगणित हैं।
• कार्टन उप बीजगणित का आयाम सामान्य रूप से एबेलियन उप बीजगणित का अधिकतम आयाम नहीं है, यहां तक ​​कि जटिल सरल ले बीजगणित के लिए भी उपयोगी हैं। उदाहरण के लिए, असत्य बीजगणित ${\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )$का मान $2n$ द्वारा $2n$ ट्रेस के आव्यूह $0$ रैंक का कार्टन उप बीजगणित $2n-1$ मान प्रदान करता है, किन्तु इस प्रकार आयाम का अधिकतम एबेलियन उप बीजगणित $n^{2}$ है, जिसमें फॉर्म के सभी आव्यूह से मिलकर ${\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}$ साथ $A$ कोई $n$ द्वारा $n$ आव्यूह। कोई सीधे देख सकता है कि यह एबेलियन उप बीजगणित कार्टन उप बीजगणित नहीं है, क्योंकि यह कठोरता से ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह के निलपोटेंट बीजगणित में समाहित होता हैं (या, चूंकि यह विकर्ण आव्यूह द्वारा सामान्यीकृत है)।

अर्ध-सरल असत्य बीजगणित कार्टन उप बीजगणित

See also: अर्धसरल असत्य बीजगणित § संरचना

परिमित-विम अर्धसरल के लिए बीजगणित का मान ${\mathfrak {g}}$ लीजिए इस प्रकार विशेष रूप में 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, कार्टन उप बीजगणित ${\mathfrak {h}}$ के निम्नलिखित गुण हैं:

• ${\mathfrak {h}}$ एबेलियन ले बीजगणित है,
• आसन्न प्रतिनिधित्व के लिए $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$, छवि $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ सेमीसिम्पल ऑपरेटर्स (अर्ताथ, विकर्ण योग्य आव्यूह) होते हैं।

(जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, कार्टन उप बीजगणित को वास्तव में उप बीजगणित के रूप में चित्रित किया जा सकता है जो इस प्रकार उपरोक्त दो गुणों वाले लोगों में अधिकतम है।)

इन दो गुणों का कहना है कि ऑपरेटरों में $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ साथ विकर्णीय हैं और इसका प्रत्यक्ष योग ${\mathfrak {g}}$ अपघटन है, इस प्रकार

${\mathfrak {g}}=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\lambda }$

जहाँ

${\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:{\text{ad}}(h)x=\lambda (h)x,{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}$.

इस प्रकार $\Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}$. तब $\Phi$ मूल प्रक्रिया है और, इसके अतिरिक्त ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}$ अर्ताथ, इसका केंद्रीकरण ${\mathfrak {h}}$ के साथ मेल खाता है, उपरोक्त ${\mathfrak {h}}$ के अपघटन को तब इस प्रकार लिखा जा सकता है:

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{\lambda \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\lambda }\right)$

जैसा कि यह इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता हैं कि प्रत्येक $\lambda \in \Phi$ के लिए ${\mathfrak {g}}_{\lambda }$ आयाम है जिसे उक्त समीकरण से प्रदर्शित किया जा सकता हैं:

$\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi$.

अधिक जानकारी के लिए सेमीसिंपल लाई बीजगणित संरचना भी देखें।

दोहरे कार्टन उप बीजगणित के साथ प्रतिनिधित्व को विघटित करना

एक असत्य बीजगणित दिया ${\mathfrak {g}}$ विशेषता के क्षेत्र पर $0$, और असत्य बीजगणित प्रतिनिधित्व को इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं।

$$\sigma :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$$

इस प्रकार इसके कार्टन उप बीजगणित से लाई बीजगणित के अपघटन से संबंधित अपघटन है। यदि हम इसे इस प्रकार सेट कर सकते हैं-

$$V_{\lambda }=\{v\in V:(\sigma (h))(v)=\lambda (h)v{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}$$

इसके साथ $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$इस भार के लिए इसके स्थान को $\lambda$ कहा जाता है, इस भार स्थानों के संदर्भ में प्रतिनिधित्व का अपघटन होता है

$$V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }$$

इसके अतिरिक्त जब भी $V_{\lambda }\neq \{0\}$ हम बुलाते है $\lambda$ का भार ${\mathfrak {g}}$-प्रतिनिधित्व $V$.

वज़न का उपयोग करके अलघुकरणीय अभ्यावेदन का वर्गीकरण

Main article: उच्चतम भार का प्रमेय

किन्तु, यह पता चला है कि इन भारों का उपयोग लाई बीजगणित के अलघुकरणीय अभ्यावेदन को वर्गीकृत करने के लिए ${\mathfrak {g}}$ द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, इस प्रकार परिमित आयामी अलघुकरणीय ${\mathfrak {g}}$ के लिए प्रतिनिधित्व $V$, अनूठा भार सम्मिलित $\lambda \in \Phi$ है जिसके आंशिक आदेश देने के संबंध में ${\mathfrak {h}}^{*}$ इसके अतिरिक्त $\lambda \in \Phi$ मान देता हैं, इस प्रकार इस कारण $\langle \alpha ,\lambda \rangle \in \mathbb {N}$ हर धनात्मक मूल के लिए $\alpha \in \Phi ^{+}$, अद्वितीय अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व $L^{+}(\lambda )$. सम्मिलित है, इसका मतलब मूल प्रणाली है, जिसमें $\Phi$ के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बारे में सभी जानकारी ${\mathfrak {g}}$.^{pg 240} में सम्मिलित है।

कार्टन उप बीजगणित को विभाजित करना

Main article: कार्टन सबलजेब्रा को विभाजित करना

गैर-बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर सभी कार्टन उप बीजगणित संयुग्मी नहीं होते हैं। महत्वपूर्ण वर्ग कार्टन उप बीजगणित को विभाजित कर रहा है: यदि कोई इस बीजगणित को विभाजित कर कार्टन उप बीजगणित ${\mathfrak {h}}$ को स्वीकार करता है, इस स्थिति में इसे स्प्लिटेबल और संयुग्म $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ कहा जाता है, इस कारण इसे स्प्लिट लाइ बीजगणित कहा जाता है, इस बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक अर्ध-सरल लाई बीजगणित विभाजित करने योग्य है। कोई भी दो भाग करने पर कार्टन बीजगणित संयुग्मित होते हैं, और इस प्रकार वे बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर अर्ध-सरल लाई बीजगणित में कार्टन बीजगणित के समान कार्य को पूरा करते हैं, इसलिए विभाजित अर्ध-सरल लाई बीजगणित (वास्तव में, विभाजन रिडक्टिव लाइ बीजगणित) बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर अर्ध-सरल लाई बीजगणित के साथ कई गुण साझा करते हैं .

चूंकि, गैर-बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक अर्ध-सरल लाई बीजगणित विभाजित करने योग्य नहीं है।

कार्टन उपसमूह

For रैखिक बीजगणितीय समूह का कार्टन उपसमूह, see कार्टन उपसमूह.

लाई समूह का कार्टन उपसमूह उन उपसमूहों में से है जिसका लाई बीजगणित कार्टन उपलजेब्रा है। इस प्रकार उपसमूह के पहचान घटक में समान असत्य बीजगणित होता है। कोई मानक परिपाटी नहीं है जिसके लिए इस गुण वाले उपसमूहों में से किसी को द कार्टन उपसमूह कहा जाता है, विशेष रूप से डिस्कनेक्ट किए गए समूहों के स्थिति में किया जाता हैं। इस प्रकार कॉम्पैक्ट कनेक्टेड लाई समूह का कार्टन उपसमूह अधिकतम जुड़ा हुआ एबेलियन उपसमूह (एक अधिकतम टोरस) है। इसका असत्य बीजगणित कार्टन उप बीजगणित है।

डिस्कनेक्ट किए गए कॉम्पैक्ट लाई समूहों के लिए कार्टन उपसमूह की कई असमान परिभाषाएँ हैं। डेविड वोगन द्वारा दिया गया सबसे सरलता से प्रतीत होता है, जो कार्टन उपसमूह को तत्वों के समूह के रूप में परिभाषित करता है जो निश्चित अधिकतम टोरस को सामान्य करता है और मौलिक वेइल कक्ष को ठीक करता है। इस प्रकार इसे कभी-कभी बड़ा कार्टन उपसमूह कहा जाता है। इससे छोटे कार्टन उपसमूह भी होते है, जिसे अधिकतम टोरस के केंद्रक के रूप में परिभाषित किया गया है। इन कार्टन उपसमूहों को सामान्य रूप से एबेलियन होने की आवश्यकता नहीं होती है।

कार्टन उपसमूहों के उदाहरण

• GL₂(R) में उपसमूह विकर्ण मैट्रिसेस से मिलकर।

संदर्भ

टिप्पणियाँ

• Lie algebras and their Representations
• Infinite-dimensional Lie algebras

संदर्भ

• Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 126 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Jacobson, Nathan (1979), Lie algebras, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-63832-4, MR 0559927
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7
• Popov, V.L. (2001) [1994], "Cartan subalgebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Anthony William Knapp; David A. Vogan (1995). कोहोमोलॉजिकल इंडक्शन और एकात्मक प्रतिनिधित्व. ISBN 978-0-691-03756-1.

श्रेणी:असत्ये बीजगणित