नियमित श्रेणी

श्रेणी सिद्धांत में, एक नियमित श्रेणी सीमा (श्रेणी सिद्धांत) के साथ एक श्रेणी है और कुछ 'सटीकता' की शर्तों को पूरा करने वाले कर्नेल जोड़े कहलाने वाले आकारिकी की एक जोड़ी के समतुल्य हैं। इस तरह, नियमित श्रेणियां एबेलियन श्रेणियों के कई गुणों को पुनः प्राप्त करती हैं, जैसे कि 'छवियों' का अस्तित्व, बिना किसी अतिरिक्तता की आवश्यकता के। उसी समय, नियमित श्रेणियां प्रथम-क्रम तर्क के एक टुकड़े के अध्ययन के लिए एक आधार प्रदान करती हैं, जिसे नियमित तर्क के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा

एक श्रेणी सी को 'नियमित' कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित तीन गुणों को पूरा करती है:

• सी पूरी तरह से पूर्ण श्रेणी है।
• यदि f : X → Y, C में एक रूपवाद है, और

एक पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) है, तो p का समतुल्य है₀, पी₁ मौजूद। जोड़ी (p₀, पी₁) f का कर्नेल युग्म कहलाता है। पुलबैक होने के नाते, कर्नेल जोड़ी अद्वितीय समरूपता तक अद्वितीय है।

• यदि f : X → Y C में एक रूपवाद है, और

एक पुलबैक है, और यदि f एक नियमित अधिरूपता है, तो g एक नियमित एपिमोर्फिज्म भी है। एक 'नियमित एपिमोर्फिज्म' एक एपिमोर्फिज्म है जो आकारिकी के कुछ जोड़े के समतुल्य के रूप में प्रकट होता है।

उदाहरण

नियमित श्रेणियों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• सेट की श्रेणी, सेट के बीच सेट (गणित) और फ़ंक्शन (गणित) की श्रेणी
• अधिक आम तौर पर, हर प्राथमिक टोपोज़
• समूहों की श्रेणी, समूह की श्रेणी (गणित) और समूह समरूपता
• वलय (गणित) और वलय समरूपता की श्रेणी
• अधिक आम तौर पर, किसी भी किस्म के मॉडल की श्रेणी (सार्वभौमिक बीजगणित)
• हर अर्ध-जाली | बाउंड मीट-सेमिलैटिस, ऑर्डर रिलेशन द्वारा दिए गए आकारिकी के साथ
• हर एबेलियन श्रेणियां

निम्नलिखित श्रेणियां नहीं नियमित हैं:

• टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी, टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी और निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) ।
• छोटी श्रेणियों की श्रेणी, छोटी श्रेणी और मज़दूरों की श्रेणी

एपी-मोनो कारककरण

एक नियमित श्रेणी में, नियमित-एपिमॉर्फिज्म और एकरूपता एक गुणनखंड प्रणाली बनाते हैं। प्रत्येक आकारिकी f:X→Y को एक नियमित अधिरूपता e:X→E के बाद एक मोनोमोर्फिज्म m:E→Y में विभाजित किया जा सकता है, ताकि f=me। गुणनखंड इस अर्थ में अद्वितीय है कि यदि e':X→E' एक और नियमित एपिमोर्फिज्म है और m':E'→Y एक अन्य मोनोमोर्फिज्म है जैसे कि f=m'e', तो एक श्रेणी (गणित) # प्रकार मौजूद है रूपों की संख्या h:E→E' जैसे कि he=e' और m'h=m. मोनोमोर्फिज्म m को f का 'इमेज' कहा जाता है।

सटीक अनुक्रम और नियमित फ़ैक्टर

एक नियमित श्रेणी में, प्रपत्र का आरेख $R\rightrightarrows X\to Y$ एक सटीक अनुक्रम कहा जाता है यदि यह एक समतुल्य और कर्नेल जोड़ी दोनों है। शब्दावली होमोलॉजिकल बीजगणित में सटीक अनुक्रमों का सामान्यीकरण है: एबेलियन श्रेणी में, एक आरेख

$R\;{\overset {r}{\underset {s}{\rightrightarrows }}}\;X\xrightarrow {f} Y$

इस अर्थ में सटीक है अगर और केवल अगर $0\to R\xrightarrow {(r,s)} X\oplus X\xrightarrow {(f,-f)} Y\to 0$ सामान्य अर्थों में एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है।

नियमित श्रेणियों के बीच एक फ़ंक्टर को नियमित कहा जाता है, अगर यह परिमित सीमा और कर्नेल जोड़े के समतुल्य को संरक्षित करता है। एक मज़ेदार नियमित होता है अगर और केवल अगर यह सीमित सीमाओं और सटीक अनुक्रमों को संरक्षित करता है। इस कारण से, नियमित फ़ैक्टरों को कभी-कभी सटीक फ़ैक्टर्स कहा जाता है। फ़ैक्टर जो परिमित सीमा को संरक्षित करते हैं उन्हें अक्सर सटीक छोड़ दिया जाता है।

नियमित तर्क और नियमित श्रेणियां

नियमित तर्क पहले क्रम के तर्क का खंड है जो प्रपत्र के कथनों को व्यक्त कर सकता है

$\forall x(\phi (x)\to \psi (x))$,

कहाँ $\phi$ और $\psi$ नियमित सूत्र हैं (गणितीय तर्क) यानी परमाणु सूत्रों से निर्मित सूत्र, सत्य स्थिरांक, बाइनरी मीट (गणित) (संयोजन) और अस्तित्वगत मात्रा का ठहराव। ऐसे सूत्रों की नियमित श्रेणी में व्याख्या की जा सकती है, और व्याख्या अनुक्रम का एक मॉडल है $\forall x(\phi (x)\to \psi (x))$, अगर की व्याख्या $\phi$ की व्याख्या के माध्यम से कारक $\psi$. यह प्रत्येक सिद्धांत (अनुक्रमों का सेट) टी और प्रत्येक नियमित श्रेणी सी के लिए सी में टी के मॉडल के 'मॉड' (टी, सी) श्रेणी के लिए देता है। यह निर्माण एक मज़ेदार 'मॉड' (टी, -) देता है: 'RegCat '→'कैट' श्रेणी 'RegCat' से छोटी श्रेणी की नियमित श्रेणियां और छोटी श्रेणियों के लिए नियमित फ़ैक्टर। यह एक महत्वपूर्ण परिणाम है कि प्रत्येक सिद्धांत टी के लिए एक नियमित श्रेणी आर (टी) है, जैसे कि प्रत्येक नियमित श्रेणी सी के लिए श्रेणियों की समतुल्यता है

$\mathbf {Mod} (T,C)\cong \mathbf {RegCat} (R(T),C)$,

जो सी में स्वाभाविक है। यहां, आर (टी) को नियमित सिद्धांत टी की वर्गीकरण श्रेणी कहा जाता है। समानता तक कोई भी छोटी नियमित श्रेणी इस तरह से कुछ नियमित सिद्धांत की वर्गीकरण श्रेणी के रूप में उत्पन्न होती है।

सटीक (प्रभावी) श्रेणियां

तुल्यता संबंधों का सिद्धांत एक नियमित सिद्धांत है। किसी वस्तु पर एक तुल्यता संबंध $X$ एक नियमित श्रेणी का एक मोनोमोर्फिज्म है $X\times X$ जो रिफ्लेक्सिविटी, समरूपता और ट्रांज़िटिविटी के लिए शर्तों की व्याख्या को संतुष्ट करता है।

हर कर्नेल जोड़ी $p_{0},p_{1}:R\rightarrow X$ तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है $R\rightarrow X\times X$. इसके विपरीत, एक तुल्यता संबंध को प्रभावी कहा जाता है यदि यह कर्नेल जोड़ी के रूप में उत्पन्न होता है। एक तुल्यता संबंध प्रभावी होता है यदि और केवल तभी जब इसमें एक तुल्यकारक होता है और यह इसका कर्नेल युग्म होता है।

माइकल बर्र (गणितज्ञ) के अर्थ में एक नियमित श्रेणी को सटीक, या सटीक कहा जाता है, या प्रभावी नियमित, यदि प्रत्येक तुल्यता संबंध प्रभावी है। (ध्यान दें कि सटीक श्रेणी के लिए शब्द सटीक श्रेणी का भी अलग-अलग उपयोग किया जाता है।)

सटीक श्रेणियों के उदाहरण

• सेट की श्रेणी इस अर्थ में सटीक है, और इसलिए कोई भी (प्राथमिक) टोपोस है। प्रत्येक तुल्यता संबंध में एक तुल्यकारक होता है, जो तुल्यता वर्ग लेकर पाया जाता है।
• हर एबेलियन श्रेणी सटीक है।
• सेट की श्रेणी के ऊपर हर श्रेणी जो मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) है, सटीक है।
• पत्थर की जगह की श्रेणी नियमित है, लेकिन सटीक नहीं है।

यह भी देखें

• रूपक (श्रेणी सिद्धांत)
• टोपोस
• सटीक पूर्णता

संदर्भ

• Barr, Michael; Grillet, Pierre A.; van Osdol, Donovan H. (2006) [1971]. Exact Categories and Categories of Sheaves. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 236. Springer. ISBN 978-3-540-36999-8.
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