शुबर्ट कैलकुलस

गणित में, शुबर्ट कैलकुलस बीजगणितीय ज्यामिति की एक शाखा है, जिसे उन्नीसवीं शताब्दी में हरमन शुबर्ट द्वारा पेश किया गया था, ताकि प्रक्षेपी ज्यामिति (गणना ज्यामिति का हिस्सा) की विभिन्न गिनती की समस्याओं को हल किया जा सके। यह कई और आधुनिक सिद्धांतों का अग्रदूत था, उदाहरण के लिए विशेषता वर्ग, और विशेष रूप से इसके एल्गोरिथम पहलू अभी भी वर्तमान रुचि के हैं। शूबर्ट कैलकुलस वाक्यांश का प्रयोग कभी-कभी रेखीय उप-स्थानों की गणनात्मक ज्यामिति के अर्थ के लिए किया जाता है, जो मोटे तौर पर ग्रासमैनियनों की कोहोलॉजी रिंग का वर्णन करने के बराबर होता है, और कभी-कभी गैर-रैखिक किस्मों के अधिक सामान्य गणनात्मक ज्यामिति का अर्थ होता है। इससे भी अधिक आम तौर पर, शूबर्ट कैलकुलस को अक्सर सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांतों में समान प्रश्नों के अध्ययन को शामिल करने के लिए समझा जाता है।

Schubert द्वारा पेश की गई वस्तुएँ Schubert कोशिकाएँ हैं, जो किसी दिए गए फ़्लैग (रैखिक बीजगणित) के साथ प्रोजेक्टिव स्पेस में एक रेखीय उप-स्थान की घटना (ज्यामिति) की स्थितियों द्वारा परिभाषित ग्रासमैनियन में स्थानीय रूप से बंद सेट हैं। विवरण के लिए शुबर्ट किस्म देखें।

इन कोशिकाओं का प्रतिच्छेदन सिद्धांत, जिसे संबंधित कोहोलॉजी वर्गों के ग्रासमैनियन के कोहोलॉजी रिंग में उत्पाद संरचना के रूप में देखा जा सकता है, सिद्धांत रूप में उन मामलों की भविष्यवाणी की अनुमति देता है जहां कोशिकाओं के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप बिंदुओं का एक परिमित सेट होता है, जो संभावित रूप से गणनात्मक प्रश्नों के ठोस उत्तर। एक सहायक सैद्धांतिक परिणाम यह है कि शुबर्ट कोशिकाएं (या बल्कि, उनकी कक्षाएं) पूरे कोहोलॉजी रिंग को फैलाती हैं।

जैसे ही कोशिकाओं को अनुक्रमित किया जाना है, विस्तृत गणनाओं में संयोजी पहलुओं को दर्ज किया जाता है। ग्रासमानियन से उठाया गया, जो एक सजातीय स्थान है, उस पर कार्य करने वाले सामान्य रैखिक समूह के लिए, इसी तरह के प्रश्न ब्रुहाट अपघटन और परवलयिक उपसमूहों (ब्लॉक मैट्रिक्स द्वारा) के वर्गीकरण में शामिल हैं।

हिल्बर्ट की पन्द्रहवीं समस्या शुबर्ट की प्रणाली को एक कठोर आधार पर स्थापित करना है।

निर्माण

शूबर्ट कैलकुलस का निर्माण ग्रासमानियन के चाउ रिंग का उपयोग करके किया जा सकता है जहां ज्यामितीय रूप से सार्थक डेटा द्वारा उत्पन्न चक्रों का प्रतिनिधित्व किया जाता है। निरूपित $G(k,V)$ ग्रासमैनियन के रूप में $k$-एक निश्चित में विमान $n$-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष $V$, और $A^{*}(G(k,V))$ इसकी चाउ रिंग; ध्यान दें कि कभी-कभी ग्रासमानियन को इस रूप में दर्शाया जाता है $G(k,n)$ यदि सदिश स्थान स्पष्ट रूप से नहीं दिया गया है। मनमाने ढंग से पूर्ण ध्वज से संबद्ध ${\mathcal {V}}$<ब्लॉककोट>$0\subset V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$और एक घटता हुआ $k$-पूर्णांकों का समूह $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})$ जहां <ब्लॉककोट>$n-k\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0$च्यूबर्ट चक्र हैं (जिन्हें चाउ रिंग के बजाय सेलुलर होमोलॉजी पर विचार करते समय शुबर्ट सेल कहा जाता है) $\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset G(k,V)$ <ब्लॉककोट> के रूप में परिभाषित किया गया है$\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{\Lambda \in G(k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap \Lambda )\geq i{\text{ for all }}i\geq 1\}$कक्षा के बाद से $[\Sigma _{\mathbb {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(G(k,V))$ पूर्ण ध्वज पर निर्भर नहीं है, वर्ग को <ब्लॉककोट> के रूप में लिखा जा सकता है$\sigma _{\mathbb {a} }:=[\Sigma _{\mathbb {a} }]\in A^{*}(G(k,V))$जिन्हें शूबर्ट क्लास कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि ये वर्ग चाउ रिंग उत्पन्न करते हैं, और संबद्ध प्रतिच्छेदन सिद्धांत को शूबर्ट कैलकुलस कहा जाता है। नोट एक क्रम दिया $\mathbb {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)$ शुबर्ट वर्ग $\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$ सामान्य रूप से न्यायसंगत के रूप में निरूपित किया जाता है $\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}$. साथ ही, एक पूर्णांक द्वारा दी गई शुबर्ट कक्षाएं, $\sigma _{a_{1}}$, विशेष वर्ग कहलाते हैं। नीचे गिआम्बेली सूत्र का उपयोग करके, इन विशेष वर्गों से सभी शुबर्ट वर्ग उत्पन्न किए जा सकते हैं।

स्पष्टीकरण

परिभाषा की व्याख्या करने के लिए, एक सामान्य पर विचार करें $k$-विमान $\Lambda \subset V$: इसके साथ केवल एक शून्य चौराहा होगा $V_{j}$ के लिए $j\leq n-k$, जबकि $\dim(V_{j}\cap \Lambda )=i$ के लिए $j=n-k+i\geq n-k$. उदाहरण के लिए, में $G(4,9)$, ए $4$-विमान $\Lambda$ पांच स्वतंत्र सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान स्थान है। उप-स्थान तक सीमित होने पर ये समीकरण सामान्य रूप से विस्तारित होंगे $V_{j}$ साथ $j=\dim V_{j}\leq 5=9-4$, जिस स्थिति में समाधान स्थान (का प्रतिच्छेदन $V_{j}$ साथ $\Lambda$) में केवल शून्य वेक्टर शामिल होगा। हालाँकि, एक बार $\dim(V_{j})+\dim(\Lambda )>n=9$, तब $V_{j}$ और $\Lambda$ आवश्यक रूप से अशून्य चौराहा होगा। उदाहरण के लिए, प्रतिच्छेदन का अपेक्षित आयाम $V_{6}$ और $\Lambda$ है $1$, का चौराहा $V_{7}$ और $\Lambda$ अपेक्षित आयाम है $2$, और इसी तरह।

शूबर्ट चक्र की परिभाषा बताती है कि का पहला मान $j$ साथ $\dim(V_{j}\cap \Lambda )\geq i$ अपेक्षित मूल्य से सामान्य रूप से छोटा है $n-k+i$ पैरामीटर द्वारा $a_{i}$. $k$वें>-विमान $\Lambda \subset V$ इन बाधाओं द्वारा दिए गए तो की विशेष उप-किस्मों को परिभाषित करें $G(k,n)$.

गुण

समावेशन

सभी पर आंशिक आदेश है $k$-tuples कहाँ $\mathbb {a} \geq \mathbb {b}$ अगर $a_{i}\geq b_{i}$ हरएक के लिए $i$. यह Schubert cycles

का समावेश देता है$\Sigma _{\mathbb {a} }\subset \Sigma _{\mathbb {b} }\iff a\geq b$

सूचकांकों में वृद्धि दिखाना उप-किस्मों के और भी अधिक विशेषज्ञता के अनुरूप है।

कोडिमेंशन फॉर्मूला

शुबर्ट चक्र $\Sigma _{\mathbb {a} }$ कोडिमेंशन <ब्लॉककोट> है$\sum a_{i}$जो ग्रासमानियन के समावेशन के तहत स्थिर है। यानी समावेशन <ब्लॉककोट>$i:G(k,n)\hookrightarrow G(k+1,n+1)$अतिरिक्त आधार तत्व जोड़कर दिया गया है $e_{n+1}$ प्रत्येक के लिए $k$-विमान, दे रहा है $(k+1)$-प्लेन, के पास <ब्लॉकक्वोट> का गुण होता है$i^{*}(\sigma _{\mathbb {a} })=\sigma _{\mathbb {a} }$इसके अलावा, समावेशन

$j:G(k,n)\hookrightarrow G(k,n+1)$

को शामिल करके दिया गया है $k$-प्लेन में एक ही पुलबैक गुण होता है।

चौराहा उत्पाद

प्रतिच्छेदन उत्पाद को सबसे पहले पियरी और गियाम्बेली फ़ार्मुलों का उपयोग करके स्थापित किया गया था।

पियरी सूत्र

विशेष मामले में $\mathbb {b} =(b,0,\ldots ,0)$, के उत्पाद का एक स्पष्ट सूत्र है $\sigma _{b}$ एक मनमाना Schubert वर्ग के साथ $\sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}$ <ब्लॉककोट> द्वारा दिया गया$\sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}|c|=|a|+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbb {c} }$ध्यान दें $|\mathbb {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}$. इस सूत्र को पियरी सूत्र कहा जाता है और गिआम्बेली सूत्र के साथ संयुक्त होने पर किसी भी दो शूबर्ट वर्गों के प्रतिच्छेदन उत्पाद को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए <ब्लॉककोट>$\sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}$</ब्लॉककोट>और<ब्लॉककोट>$\sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}$</ब्लॉककोट>

गिआम्बेली सूत्र

दो या दो से अधिक लंबाई वाले टुपल्स वाले शुबर्ट वर्गों को केवल एक टपल की कक्षाओं का उपयोग करके एक निर्धारक समीकरण के रूप में वर्णित किया जा सकता है। Giambelli सूत्र को समीकरण

के रूप में पढ़ा जाता है$\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}$

के निर्धारक द्वारा दिया गया $(k,k)$-आव्यूह। उदाहरण के लिए, <ब्लॉककोट>$\sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}$</ब्लॉककोट>और<ब्लॉककोट>$\sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}$</ब्लॉककोट>

चेर्न कक्षाओं के साथ संबंध

ग्रासमैनियन के ऊपर दो प्राकृतिक वेक्टर बंडलों के चेर्न वर्गों का उपयोग करते हुए ग्रासमैनियन के कोहोलॉजी रिंग, या चाउ रिंग का एक आसान विवरण है। $G(k,n)$. वेक्टर बंडलों <ब्लॉककोट> का एक क्रम है$0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0$कहाँ ${\underline {V}}$ रैंक का तुच्छ वेक्टर बंडल है $n$, का फाइबर $T$ ऊपर $\Lambda \in G(k,n)$ उपक्षेत्र है $\Lambda \subset V$, और $Q$ भागफल सदिश बंडल है (जो प्रत्येक तंतुओं पर रैंक स्थिर होने के बाद से मौजूद है)। इन दो संबद्ध बंडलों की चेर्न क्लास <ब्लॉककोट> हैं$c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1,\ldots ,1)}$कहाँ $(1,\ldots ,1)$ एक $i$-टुपल और <ब्लॉककोट>$c_{i}(Q)=\sigma _{i}$टॉटोलॉजिकल सीक्वेंस तब चाउ रिंग की प्रस्तुति <ब्लॉककोट> के रूप में देता है$A^{*}(G(k,n))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T),c_{1}(Q),\ldots ,c_{n-k}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}$</ब्लॉककोट>

जी (2,4)

विश्लेषण किए गए शास्त्रीय उदाहरणों में से एक ग्रासमैनियन है $G(2,4)$ चूंकि यह लाइनों को पैरामीटर करता है $\mathbb {P} ^{3}$. घन सतह पर रेखाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए शूबर्ट कैलकुलस का उपयोग किया जा सकता है।

चाउ रिंग

चाउ रिंग में प्रस्तुति <ब्लॉककोट> है $A^{*}(G(2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}$</ब्लॉककोट> और एक ग्रेडेड एबेलियन समूह के रूप में इसे <ब्लॉककोट> द्वारा दिया गया है${\begin{aligned}A^{0}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}$</ब्लॉककोट>

एक घन सतह पर रेखाएं

इस चाउ रिंग का उपयोग क्यूबिक सतह पर लाइनों की संख्या की गणना करने के लिए किया जा सकता है।में एक पंक्ति याद करें $\mathbb {P} ^{3}$ की दो उपसमष्टि देता है $\mathbb {A} ^{4}$, इस तरह $\mathbb {G} (1,3)\cong G(2,4)$. साथ ही, एक रेखा के समीकरण को एक खंड के रूप में दिया जा सकता है $\Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})$. एक घन सतह के बाद से $X$ एक सामान्य सजातीय घन बहुपद के रूप में दिया जाता है, यह एक सामान्य खंड के रूप में दिया जाता है $s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))$. फिर, एक पंक्ति $L\subset \mathbb {P} ^{3}$ की एक उप-प्रजाति है $X$ अगर और केवल अगर अनुभाग गायब हो जाता है $[L]\in \mathbb {G} (1,3)$. इसलिए, का यूलर वर्ग ${\text{Sym}}^{3}(T^{*})$ पर एकीकृत किया जा सकता है $\mathbb {G} (1,3)$ उन बिंदुओं की संख्या प्राप्त करने के लिए जहां सामान्य अनुभाग गायब हो जाता है $\mathbb {G} (1,3)$. यूलर वर्ग प्राप्त करने के लिए, चेर्न का कुल वर्ग $T^{*}$ गणना की जानी चाहिए, जिसे <ब्लॉककोट> के रूप में दिया गया है$c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}$फिर, विभाजन सूत्र को औपचारिक समीकरण

के रूप में पढ़ा जाता है${\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}}$

कहाँ $c({\mathcal {L}})=1+\alpha$ और $c({\mathcal {M}})=1+\beta$ औपचारिक लाइन बंडलों के लिए ${\mathcal {L}},{\mathcal {M}}$. बंटवारे का समीकरण संबंध <ब्लॉककोट> देता है$\sigma _{1}=\alpha +\beta$ और $\sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta$.चूंकि ${\text{Sym}}^{3}(T^{*})$ औपचारिक वेक्टर बंडलों के प्रत्यक्ष योग के रूप में पढ़ा जा सकता है

${\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}$

जिसकी कुल चेर्न क्लास

है$c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta )$

इसलिए

${\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\end{aligned}}$

तथ्य का उपयोग करके

$\sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}$ और $\sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}$

फिर, इंटीग्रल है

$\int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27$

चूंकि $\sigma _{2,2}$ शीर्ष वर्ग है। इसलिए हैं $27$ एक घन सतह पर रेखाएँ।

यह भी देखें

• संख्यात्मक ज्यामिति
• चाउ रिंग
• प्रतिच्छेदन सिद्धांत
• ग्रासमैनियन
• गियाम्बेली का सूत्र
• पियरी का सूत्र
• चेर्न वर्ग
• पंचक तिगुना
• दर्पण समरूपता अनुमान

संदर्भ

• Summer school notes http://homepages.math.uic.edu/~coskun/poland.html
• Phillip Griffiths and Joseph Harris (1978), Principles of Algebraic Geometry, Chapter 1.5
• Kleiman, Steven (1976). "Rigorous foundations of Schubert's enumerative calculus". In Felix E. Browder (ed.). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. XXVIII.2. American Mathematical Society. pp. 445–482. ISBN 0-8218-1428-1.
• Steven Kleiman and Dan Laksov (1972). "Schubert calculus" (PDF). American Mathematical Monthly. 79: 1061–1082. doi:10.2307/2317421.
• Sottile, Frank (2001) [1994], "शुबर्ट कैलकुलस", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• David Eisenbud and Joseph Harris (2016), "3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry".