सामान्यीकृत सममित समूह

गणित में, सामान्यीकृत सममित समूह पुष्पांजलि उत्पाद है $S(m,n):=Z_{m}\wr S_{n}$ ऑर्डर एम के चक्रीय समूह और ऑर्डर एन के सममित समूह का।

उदाहरण

• के लिए $m=1,$ सामान्यीकृत सममित समूह बिल्कुल साधारण सममित समूह है: $S(1,n)=S_{n}.$
• के लिए $m=2,$ कोई क्रम 2 के चक्रीय समूह को सकारात्मक और नकारात्मक मान सकता है ($Z_{2}\cong \{\pm 1\}$) और सामान्यीकृत सममित समूह की पहचान करें $S(2,n)$ हस्ताक्षरित सममित समूह के साथ।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

के तत्वों का स्वाभाविक प्रतिनिधित्व है $S(m,n)$ सामान्यीकृत क्रमचय मैट्रिसेस के रूप में, जहां गैर-शून्य प्रविष्टियां एकता की एम-वें जड़ें हैं: $Z_{m}\cong \mu _{m}.$ प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बाद से अध्ययन किया गया है (Osima 1954); में संदर्भ देखें (Can 1996). जैसा कि सममित समूह के साथ होता है, कठफोड़वा मॉड्यूल के संदर्भ में प्रतिनिधित्व का निर्माण किया जा सकता है; देखना (Can 1996).

होमोलॉजी

पहला समूह समरूपता समूह (ठोस रूप से, abelianization ) है $Z_{m}\times Z_{2}$ (एम विषम के लिए यह आइसोमॉर्फिक है $Z_{2m}$): द $Z_{m}$ कारक (जो सभी संयुग्मी हैं, इसलिए एक एबेलियन समूह में समान रूप से मैप करना चाहिए, क्योंकि एक एबेलियन समूह में संयुग्मन तुच्छ है) को मैप किया जा सकता है $Z_{m}$ (ठोस रूप से, सभी का उत्पाद लेकर $Z_{m}$ मान), जबकि सममित समूह पर साइन मैप उपज देता है $Z_{2}.$ ये स्वतंत्र हैं, और समूह उत्पन्न करते हैं, इसलिए यह अपभ्रंश हैं।

दूसरा समरूपता समूह (शास्त्रीय शब्दों में, शूर गुणक) द्वारा दिया गया है (Davies & Morris 1974):

$H_{2}(S(2k+1,n))={\begin{cases}1&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}$

$H_{2}(S(2k+2,n))={\begin{cases}1&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4.\end{cases}}$

ध्यान दें कि यह n और m की समता पर निर्भर करता है: $H_{2}(S(2k+1,n))\approx H_{2}(S(1,n))$ और $H_{2}(S(2k+2,n))\approx H_{2}(S(2,n)),$ जो सममित समूह और हस्ताक्षरित सममित समूह के शूर गुणक हैं।

संदर्भ

• Davies, J. W.; Morris, A. O. (1974), "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", J. London Math. Soc., 2, 8 (4): 615–620, doi:10.1112/jlms/s2-8.4.615
• Can, Himmet (1996), "Representations of the Generalized Symmetric Groups", Contributions to Algebra and Geometry, 37 (2): 289–307, CiteSeerX 10.1.1.11.9053
• Osima, M. (1954), "On the representations of the generalized symmetric group", Math. J. Okayama Univ., 4: 39–54