भागफल मॉड्यूल

बीजगणित में, एक मॉड्यूल (गणित) और एक submodule दिए जाने पर, कोई उनके भागफल मॉड्यूल का निर्माण कर सकता है। नीचे वर्णित यह रचना भागफल सदिश समष्टि के समान है। यह रिंग (गणित) और समूह (गणित) के अनुरूप भागफल निर्माण से इस तथ्य से भिन्न है कि इन मामलों में, भागफल को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला उप-स्थान परिवेश स्थान (अर्थात, भागफल वलय) के समान प्रकृति का नहीं है। एक आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) द्वारा रिंग का भागफल है, न कि एक सबरिंग, और एक भागफल समूह एक [[सामान्य उपसमूह]] द्वारा समूह का भागफल है, सामान्य उपसमूह द्वारा नहीं)।

एक मॉड्यूल दिया A रिंग के ऊपर R, और एक सबमॉड्यूल B का A, भागफल स्थान (टोपोलॉजी) A/B तुल्यता संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है

$a\sim b$ अगर और केवल अगर $b-a\in B,$

किसी के लिए a, b में A. के तत्व A/B तुल्यता वर्ग हैं $[a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.$ समारोह (गणित) $\pi :A\to A/B$ भेजना a में A इसके समकक्ष वर्ग के लिए a + B भागफल नक्शा या प्रक्षेपण नक्शा कहा जाता है, और एक मॉड्यूल समरूपता है।

जोड़ने का कार्य चालू है A/B को दो तुल्यता वर्गों के लिए इन वर्गों के दो प्रतिनिधियों के योग के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है; और के तत्वों का अदिश गुणन A/B के तत्वों द्वारा R इसी तरह परिभाषित किया गया है। ध्यान दें कि यह दिखाना होगा कि ये ऑपरेशन अच्छी तरह से परिभाषित हैं। तब A/B स्वयं एक बन जाता है R-मॉड्यूल, भागफल मॉड्यूल कहा जाता है। प्रतीकों में, सभी के लिए a, b में A और r में R:

${\begin{aligned}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{aligned}}$

उदाहरण

अंगूठी पर विचार करें $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का, और $\mathbb {R}$-मापांक $A=\mathbb {R} [X],$ वह वास्तविक गुणांकों वाला बहुपद वलय है। सबमॉड्यूल पर विचार करें

$B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]$

का A, यानी सभी बहुपदों का सबमॉड्यूल जिसके द्वारा विभाज्य है X ² + 1. यह इस प्रकार है कि इस मॉड्यूल द्वारा निर्धारित तुल्यता संबंध होगा

P(X) ~ Q(X) अगर और केवल अगर P(X) और Q(X) से विभाजित करने पर समान शेषफल दें X ² + 1.

इसलिए, भागफल मॉड्यूल में A/B, X ² + 1 0 के समान है; तो कोई देख सकता है A/B से प्राप्त किया गया $\mathbb {R} [X]$ व्यवस्थित करके X ² + 1 = 0. यह भागफल मॉड्यूल जटिल संख्याओं के लिए समरूप है, वास्तविक संख्याओं पर एक मॉड्यूल के रूप में देखा जाता है $\mathbb {R} .$

यह भी देखें

• गुणक समूह
• भागफल की अंगूठी
• भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित)