अर्ध-विश्लेषणात्मक फलन

गणित में, कार्यों का एक अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग निम्नलिखित तथ्यों पर आधारित वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों के वर्ग का एक सामान्यीकरण है: यदि f एक अंतराल पर एक विश्लेषणात्मक कार्य है [a,b' '] ⊂ R, और किसी बिंदु पर f और इसके सभी डेरिवेटिव शून्य हैं, तो f समान रूप से सभी [a,b] पर शून्य है। अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग कार्यों के व्यापक वर्ग हैं जिनके लिए यह कथन अभी भी सत्य है।

परिभाषाएँ

होने देना $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम हो। फिर डेनजॉय-कार्लमैन कार्यों का वर्ग सी^M([a,b]) को उन f ∈ C के रूप में परिभाषित किया गया है^∞([a,b]) जो संतुष्ट करते हैं

$\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq A^{k+1}k!M_{k}$

सभी x ∈ [a,b], कुछ स्थिर A, और सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k के लिए। अगर एम_k= 1 यह वास्तव में [ए, बी] पर वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों का वर्ग है।

कक्षा सी^M([a,b]) अर्ध-विश्लेषणात्मक कहा जाता है यदि जब भी f ∈ C^एम([ए, बी]) और

${\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$

किसी बिंदु x ∈ [a,b] और सभी k के लिए, फिर f समान रूप से शून्य के बराबर है।

एक फ़ंक्शन f को अर्ध-विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन कहा जाता है यदि f कुछ अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग में है।

कई चर के अर्ध-विश्लेषणात्मक कार्य

एक समारोह के लिए $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ और बहु-सूचकांक $j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$, निरूपित करें $|j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}$, और

$D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}$

$j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!$

और

$x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.$

तब $f$ खुले सेट पर अर्ध-विश्लेषणात्मक कहा जाता है $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ अगर हर कॉम्पैक्ट के लिए $K\subset U$ एक स्थिर है $A$ ऐसा है कि

$\left|D^{j}f(x)\right|\leq A^{|j|+1}j!M_{|j|}$

सभी मल्टी-इंडेक्स के लिए $j\in \mathbb {N} ^{n}$ और सभी बिंदु $x\in K$.

डेनजॉय-कार्लमैन के कार्यों का वर्ग $n$ अनुक्रम के संबंध में चर $M$ मंच पर $U$ निरूपित किया जा सकता है $C_{n}^{M}(U)$, हालांकि अन्य नोटेशन लाजिमी है।

डेनजॉय-कार्लमैन वर्ग $C_{n}^{M}(U)$ अर्ध-विश्लेषणात्मक कहा जाता है जब इसमें एकमात्र फ़ंक्शन जिसके सभी आंशिक डेरिवेटिव एक बिंदु पर शून्य के बराबर होते हैं, फ़ंक्शन समान रूप से शून्य के बराबर होता है।

कई चर के एक समारोह को अर्ध-विश्लेषणात्मक कहा जाता है जब यह अर्ध-विश्लेषणात्मक डेन्जॉय-कार्लेमैन वर्ग से संबंधित होता है।

लघुगणकीय रूप से उत्तल अनुक्रमों के संबंध में अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग

उपरोक्त परिभाषाओं में यह मान लेना संभव है $M_{1}=1$ और वह क्रम $M_{k}$ घटता नहीं है।

क्रम $M_{k}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल कहा जाता है, यदि

$M_{k+1}/M_{k}$ यह बढ़ रहा है।

कब $M_{k}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है, तब $(M_{k})^{1/k}$ बढ़ रहा है और

$M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}$ सभी के लिए $(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}$.

अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग $C_{n}^{M}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल अनुक्रम के संबंध में $M$ संतुष्ट:

• $C_{n}^{M}$ एक अंगूठी है। विशेष रूप से यह गुणा के तहत बंद है।
• $C_{n}^{M}$ रचना के तहत बंद है। विशेष रूप से, अगर $f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}$ और $g\in C_{p}^{M}$, तब $g\circ f\in C_{n}^{M}$.

डेनजॉय-कार्लमैन प्रमेय

डेनजॉय-कार्लमैन प्रमेय, द्वारा सिद्ध किया गया Carleman (1926) बाद Denjoy (1921) ने कुछ आंशिक परिणाम दिए, अनुक्रम एम पर मानदंड देता है जिसके तहत सी^M([a,b]) एक अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग है। यह बताता है कि निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:

• सी^M([a,b]) अर्ध-विश्लेषणात्मक है।
• $\sum 1/L_{j}=\infty$ कहाँ $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$.
• $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$, जहां एम_j^* ऊपर M से घिरा सबसे बड़ा लॉग उत्तल अनुक्रम है_j.
• $\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$

सबूत है कि पिछली दो स्थितियां दूसरी इस्तेमाल की गई कार्लमैन असमानता के बराबर हैं। उदाहरण: Denjoy (1921) ने इंगित किया कि यदि एम_n अनुक्रमों में से एक द्वारा दिया गया है

$1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,$

तो संबंधित वर्ग अर्ध-विश्लेषणात्मक है। पहला अनुक्रम विश्लेषणात्मक कार्य देता है।

अतिरिक्त गुण

लघुगणकीय रूप से उत्तल अनुक्रम के लिए $M$ कार्यों के संगत वर्ग के निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

• $C^{M}$ विश्लेषणात्मक कार्य शामिल हैं, और यह इसके बराबर है अगर और केवल अगर $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$
• अगर $N$ एक अन्य लघुगणक उत्तल अनुक्रम है, साथ में $M_{j}\leq C^{j}N_{j}$ कुछ स्थिर के लिए $C$, तब $C^{M}\subset C^{N}$.
• $C^{M}$ भेदभाव के तहत स्थिर है अगर और केवल अगर $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$.
• किसी भी असीम रूप से भिन्न कार्य के लिए $f$ अर्ध-विश्लेषणात्मक छल्ले हैं $C^{M}$ और $C^{N}$ और तत्व $g\in C^{M}$, और $h\in C^{N}$, ऐसा है कि $f=g+h$.

वीयरस्ट्रैस डिवीजन

एक समारोह $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ नियमानुसार कहा गया है $d$ इसके संबंध में $x_{n}$अगर $g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}$ और $h(0)\neq 0$. दिया गया $g$ आदेश का नियमित $d$ इसके संबंध में $x_{n}$, एक अंगूठी $A_{n}$ के वास्तविक या जटिल कार्यों की $n$ वेरिएबल्स के संबंध में वीयरस्ट्रैस डिवीजन को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है $g$यदि प्रत्येक के लिए $f\in A_{n}$ वहाँ है $q\in A$, और $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ ऐसा है कि

$f=gq+h$ साथ $h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}$.

जबकि विश्लेषणात्मक कार्यों की अंगूठी और औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी दोनों वीयरस्ट्रैस डिवीजन संपत्ति को संतुष्ट करते हैं, वही अन्य अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्गों के लिए सही नहीं है।

अगर $M$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है और $C^{M}$ विश्लेषणात्मक कार्य के वर्ग के बराबर नहीं है, तब $C^{M}$ Weierstrass डिवीजन संपत्ति के संबंध में संतुष्ट नहीं है $g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}$.

संदर्भ

• Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques, Gauthier-Villars
• Cohen, Paul J. (1968), "A simple proof of the Denjoy-Carleman theorem", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 75 (1): 26–31, doi:10.2307/2315100, ISSN 0002-9890, JSTOR 2315100, MR 0225957
• Denjoy, A. (1921), "Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle", C. R. Acad. Sci. Paris, 173: 1329–1331
• Hörmander, Lars (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
• Leont'ev, A.F. (2001) [1994], "Quasi-analytic class", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Carleman theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press