अर्ध-विश्लेषणात्मक फलन

गणित में, फलन का अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग निम्नलिखित तथ्यों पर आधारित वास्तविक विश्लेषणात्मक फलन के वर्ग का सामान्यीकरण है: यदि f अंतराल पर एक विश्लेषणात्मक फलन [a,b' '] ⊂ R है, और किसी बिंदु पर f और इसके सभी अवकलन शून्य हैं, तो f समान रूप से सभी [a,b] पर शून्य है। अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग फलन के व्यापक वर्ग हैं जिनके लिए यह कथन अभी भी सत्य है।

$M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं का क्रम है। फिर डेनजॉय-कार्लमैन फलन का वर्ग c^M([a,b]) को उन f ∈ C^∞ के रूप में परिभाषित किया गया है([a,b]) जो संतुष्ट करते हैं

$\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq A^{k+1}k!M_{k}$

सभी x ∈ [a,b], कुछ स्थिर A, और सभी अऋणात्मक पूर्णांक k के लिए है। यदि M_k= 1 यह वास्तव में [a,b] पर वास्तविक विश्लेषणात्मक फलन का वर्ग है।

कक्षा c^M([a,b]) अर्ध-विश्लेषणात्मक कहा जाता है यदि जब भी f ∈ C^M([a,b]) और

${\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$

किसी बिंदु x ∈ [a,b] और सभी k के लिए, फिर f समान रूप से शून्य के बराबर है।

फलन f को अर्ध-विश्लेषणात्मक फलन कहा जाता है यदि f कुछ अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग में है।

कई चर के अर्ध-विश्लेषणात्मक कार्य

फलन के लिए $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ और बहु-सूचकांक $j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$, निरूपित करें $|j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}$, और

$D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}$

$j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!$

और

$x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.$

तब $f$ खुले समूह पर $U\subset \mathbb {R} ^{n}$अर्ध-विश्लेषणात्मक कहा जाता है यदि सभी सघन $K\subset U$ के लिए स्थिर है $A$ ऐसा है कि

$\left|D^{j}f(x)\right|\leq A^{|j|+1}j!M_{|j|}$

सभी बहु सूचकांक $j\in \mathbb {N} ^{n}$ के लिए और सभी बिंदु $x\in K$ है।

डेनजॉय-कार्लमैन के फलन का वर्ग $n$ अनुक्रम के संबंध में चर $M$ समूह पर $U$ को $C_{n}^{M}(U)$ निरूपित किया जा सकता है, चूँकि अन्य अंकन स्वाभाविक है।

डेनजॉय-कार्लमैन वर्ग $C_{n}^{M}(U)$ अर्ध-विश्लेषणात्मक कहा जाता है जब इसमें एकमात्र फ़ंक्शन जिसके सभी आंशिक अवकलन एक बिंदु पर शून्य के बराबर होते हैं, फ़ंक्शन समान रूप से शून्य के बराबर होता है।

कई चर के फलन को अर्ध-विश्लेषणात्मक कहा जाता है जब यह अर्ध-विश्लेषणात्मक डेन्जॉय-कार्लेमैन वर्ग से संबंधित होता है।

लघुगणकीय रूप से उत्तल अनुक्रमों के संबंध में अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग

उपरोक्त परिभाषाओं में $M_{1}=1$ यह मान लेना संभव है और वह क्रम $M_{k}$ घटता नहीं है।

क्रम $M_{k}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल कहा जाता है, यदि

$M_{k+1}/M_{k}$ यह बढ़ रहा है।

जब $M_{k}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है, तब $(M_{k})^{1/k}$ बढ़ रहा है और

$M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}$ सभी $(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}$के लिए है।

अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग $C_{n}^{M}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल अनुक्रम के संबंध में $M$ संतुष्ट:

• $C_{n}^{M}$ छल्ला है। विशेष रूप से यह गुणा के अनुसार बंद है।
• $C_{n}^{M}$ रचना के अनुसार बंद है। विशेष रूप से, यदि $f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}$ और $g\in C_{p}^{M}$, तब $g\circ f\in C_{n}^{M}$.

डेनजॉय-कार्लमैन प्रमेय

डेनजॉय-कार्लमैन प्रमेय, द्वारा सिद्ध किया गया कार्लमन (1926) बाद डेन्जोय (1921) ने कुछ आंशिक परिणाम दिए, अनुक्रम M पर मानदंड देता है जिसके अनुसार c^M([a,b]) अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्ग है। यह बताता है कि निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:

• C^M([a,b]) अर्ध-विश्लेषणात्मक है।
• $\sum 1/L_{j}=\infty$ जहाँ $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$है।
• $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$, जहां M_j^* ऊपर M से घिरा सबसे बड़ा लॉग उत्तल अनुक्रम है_j.
• $\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$

प्रमाण है कि पिछली दो स्थितियां दूसरी उपयोग की गई कार्लमैन असमानता के बराबर हैं। उदाहरण: डेन्जोय (1921) ने इंगित किया कि यदि M_n अनुक्रमों में से दिया गया है

$1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,$

तो संबंधित वर्ग अर्ध-विश्लेषणात्मक है। पहला अनुक्रम विश्लेषणात्मक फलन देता है।

अतिरिक्त गुण

लघुगणकीय रूप से उत्तल अनुक्रम के लिए $M$ फलन के संगत वर्ग के निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

• $C^{M}$ विश्लेषणात्मक फलन सम्मिलित हैं, और यह इसके बराबर है यदि $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$ है।
• यदि $N$ अन्य लघुगणक उत्तल अनुक्रम है, साथ में $M_{j}\leq C^{j}N_{j}$ कुछ स्थिर $C$ के लिए, तब $C^{M}\subset C^{N}$होता है।
• $C^{M}$अवकलन के अनुसार नियत होता है यदि केवल $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ है।
• किसी भी असीम रूप से भिन्न फलन $f$ के लिए अर्ध-विश्लेषणात्मक $C^{M}$ और $C^{N}$छल्ले हैं और अवयव $g\in C^{M}$, और $h\in C^{N}$, ऐसा है कि $f=g+h$.

वीयरस्ट्रैस विभाजन

फलन $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ नियमानुसार कहा गया है $d$ इसके संबंध में $x_{n}$यदि $g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}$ और $h(0)\neq 0$ है।  दिया गया $g$ आदेश का नियमित $d$ इसके संबंध में $x_{n}$, छल्ला $A_{n}$ के वास्तविक या जटिल फलन की $n$ चरों के संबंध में वीयरस्ट्रैस विभाजन को संतुष्ट करने के लिए $g$ कहा जाता है | यदि प्रत्येक $f\in A_{n}$के लिए है। वहाँ $q\in A$, और $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ऐसा है कि

$f=gq+h$ साथ $h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}$ होता है।

जबकि विश्लेषणात्मक फलन की छल्लों और औपचारिक घात श्रृंखला की छल्लों दोनों वीयरस्ट्रैस विभाजन गुण को संतुष्ट करते हैं, वही अन्य अर्ध-विश्लेषणात्मक वर्गों के लिए सही नहीं है।

यदि $M$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है और $C^{M}$ विश्लेषणात्मक फलन के वर्ग के बराबर नहीं है, तब $C^{M}$वीयरस्ट्रैस विभाजन गुण के संबंध में संतुष्ट नहीं है $g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}$ होता है।

संदर्भ

• Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques, Gauthier-Villars
• Cohen, Paul J. (1968), "A simple proof of the Denjoy-Carleman theorem", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 75 (1): 26–31, doi:10.2307/2315100, ISSN 0002-9890, JSTOR 2315100, MR 0225957
• Denjoy, A. (1921), "Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle", C. R. Acad. Sci. Paris, 173: 1329–1331
• Hörmander, Lars (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
• Leont'ev, A.F. (2001) [1994], "Quasi-analytic class", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Carleman theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press