असाधारण समरूपता

गणित में, एक असाधारण समरूपता, जिसे आकस्मिक समरूपता भी कहा जाता है, गणितीय वस्तुओं के दो सदस्यों, (समान्यतः अनंत) के सदस्यों ai और bj के बीच एक समरूपता है, जो आकस्मिक है, क्योंकि यह इस तरह के समरूपता के सामान्य पतिरूप का उदाहरण नहीं है। इन संयोगों को कभी-कभी सामान्य ज्ञान की स्थिति माना जाता है,लेकिन अन्य स्थितियों में वे असाधारण वस्तुओं जैसे परिणामी घटनाओं को जन्म दे सकते हैं।निम्नलिखित में, संयोग उन संरचनाओं के अनुसार आयोजित किए जाते हैं जहाँ वे घटित होते हैं।

समूह

परिमित सरल समूह

परिमित सरल समूहों की श्रृंखला के बीच असाधारण समरूपता में ज्यादातर प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह और वैकल्पिक समूह समिलित होते हैं, और ये हैं:

• $\operatorname {PSL} _{2}(4)\cong \operatorname {PSL} _{2}(5)\cong A_{5},$ सबसे छोटा गैर-अबेलियन सरल समूह (आदेश 60) - आईकोसाहेड्रल समरूपता;
• $\operatorname {PSL} _{2}(7)\cong \operatorname {PSL} _{3}(2),$ दूसरा सबसे छोटा गैर-अबेलियन सरल समूह (आदेश 168) - पीएसएल (2,7);
• $\operatorname {PSL} _{2}(9)\cong A_{6};$
• $\operatorname {PSL} _{4}(2)\cong A_{8};$
• $\operatorname {PSU} _{4}(2)\cong \operatorname {PSp} _{4}(3),$ प्रक्षेपी विशेष ओर्थोगोनल समूह और प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह के बीच।

वैकल्पिक समूह और सममित समूह

See also: The exceptional outer automorphism of S6

पाँच टेट्राहेड्रा का यौगिक इकोसहेड्रल समूह और पाँच अक्षरों पर वैकल्पिक समूह के बीच असाधारण समरूपता को व्यक्त करता है।

सममित/वैकल्पिक समूहों और झूठ प्रकार/पॉलीहेड्रल समूहों के छोटे समूहों के बीच संयोग हैं:

• $S_{3}\cong \operatorname {PSL} _{2}(2)\cong {}$ ऑर्डर 6 का डायहेड्रल समूह,
• $A_{4}\cong \operatorname {PSL} _{2}(3)\cong {}$ टेट्राहेड्रल समूह,
• $S_{4}\cong \operatorname {PGL} _{2}(3)\cong \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} /4)\cong {}$ टेट्राहेड्रल समूह $\cong$ अष्टफलकीय समूह,
• $A_{5}\cong \operatorname {PSL} _{2}(4)\cong \operatorname {PSL} _{2}(5)\cong {}$ इकोसाहेड्रल समूह,
• $S_{5}\cong \operatorname {P\Gamma L} _{2}(4)\cong \operatorname {PGL} _{2}(5)$,
• $A_{6}\cong \operatorname {PSL} _{2}(9)\cong \operatorname {Sp} _{4}(2)',$
• $S_{6}\cong \operatorname {Sp} _{4}(2),$
• $A_{8}\cong \operatorname {PSL} _{4}(2)\cong \operatorname {O} _{6}^{+}(2)',$
• $S_{8}\cong \operatorname {O} _{6}^{+}(2).$

इन सभी को रैखिक बीजगणित (और की क्रिया) का उपयोग करके एक व्यवस्थित तरीके से समझाया जा सकता है $S_{n}$ पर $n$-स्पेस) दाईं ओर से बाईं ओर जाने वाली समरूपता को परिभाषित करने के लिए। (उपरोक्त समरूपता के लिए $A_{8}$ और $S_{8}$ असाधारण समरूपता के माध्यम से जुड़े हुए हैं $\operatorname {SL} _{4}/\mu _{2}\cong \operatorname {SO} _{6}$.)

नियमित पॉलीहेड्रा की समरूपता के साथ कुछ संयोग भी हैं: वैकल्पिक समूह ए₅ आइकोसाहेड्रल समूह (स्वयं एक असाधारण वस्तु), और वैकल्पिक समूह ए के वैकल्पिक और सममित समूहों के कवरिंग समूहों से सहमत है₅ बाइनरी इकोसाहेड्रल समूह है।

तुच्छ समूह

तुच्छ समूह कई तरह से उत्पन्न होता है। तुच्छ समूह को प्रायः शास्त्रीय परिवार की शुरुआत से छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए:

• $C_{1}$, ऑर्डर 1 का चक्रीय समूह;
• $A_{0}\cong A_{1}\cong A_{2}$, 0, 1, या 2 अक्षरों पर वैकल्पिक समूह;
• $S_{0}\cong S_{1}$, 0 या 1 अक्षरों पर सममित समूह;
• $\operatorname {GL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {SL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PGL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PSL} (0,\mathbb {K} )$, 0-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के रैखिक समूह;
• $\operatorname {SL} (1,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PGL} (1,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PSL} (1,\mathbb {K} )$, 1-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के रैखिक समूह
• गंभीर प्रयास।

क्षेत्र

गोले एस⁰, एस¹, और एस³ समूह संरचनाओं को स्वीकार करते हैं, जिन्हें कई तरह से वर्णित किया जा सकता है:

• $S^{0}\cong \operatorname {Spin} (1)\cong \operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} ^{\times }$, अंतिम पूर्णांकों की इकाइयों का समूह है;
• $S^{1}\cong \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong {}$ वृत्त समूह;
• $S^{3}\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong {}$ आपूर्ति

स्पिन समूह

निम्न के अतिरिक्त $\operatorname {Spin} (1)$, $\operatorname {Spin} (2)$ और $\operatorname {Spin} (3)$ ऊपर, उच्च आयामी स्पिन समूहों के लिए समरूपताएं हैं:

• $\operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {Sp} (1)\times \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)$
• $\operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {Sp} (2)$
• $\operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)$

इसके अतिरिक्त, स्पिन(8) (8) में एक असाधारण क्रम 3 परीक्षण ऑटोमोर्फिज्म है।

कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख

See also: Klein correspondence

डायनकिन डायग्राम#आइसोमॉर्फिज़्म के कुछ असाधारण आइसोमोर्फिज़्म हैं, समरूपता को साकार करने वाले संबंधित कॉक्सेटर समूहों और पॉलीटोप्स के आइसोमोर्फिज़्म, साथ ही लाई बीजगणित के आइसोमोर्फिज़्म, जिनकी रूट सिस्टम समान आरेखों द्वारा वर्णित हैं। ये:

Diagram	Dynkin classification	Lie algebra	Polytope
	A1 = B1 = C1	${\mathfrak {sl}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}$	-
$\cong$	A2 = I2(2)	-	2-simplex is regular 3-gon (equilateral triangle)
	BC2 = I2(4)	${\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}$	2-cube is 2-cross polytope is regular 4-gon (square)
$\cong$	A1 × A1 = D2	${\mathfrak {sl}}_{2}\oplus {\mathfrak {sl}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{4}$	-
$\cong$	A3 = D3	${\mathfrak {sl}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}$	3-simplex is 3-demihypercube (regular tetrahedron)

यह भी देखें

• असाधारण वस्तु
• गणितीय संयोग, संख्यात्मक संयोगों के लिए