दीर्घवृत्तीय संक्रियक

एनुलस (गणित) पर परिभाषित लाप्लास के समीकरण का समाधान। लाप्लास ऑपरेटर एक अण्डाकार ऑपरेटर का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है।

आंशिक विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में, अण्डाकार संकारक अवकल संकारक होते हैं जो लाप्लास प्रचालक का सामान्यीकरण करते हैं। उन्हें इस शर्त से परिभाषित किया जाता है कि उच्चतम क्रम के डेरिवेटिव के गुणांक सकारात्मक होते हैं, जो कि मुख्य संपत्ति का तात्पर्य है कि मुख्य प्रतीक उलटा है, या समकक्ष है कि विशेषताओं के निर्देशों का कोई वास्तविक तरीका नहीं है।

अण्डाकार संचालक संभावित सिद्धांत के विशिष्ट हैं, और वे अक्सर इलेक्ट्रोस्टाटिक्स और सातत्य यांत्रिकी में दिखाई देते हैं। अण्डाकार नियमितता का अर्थ है कि उनके समाधान सुचारू कार्य करते हैं (यदि ऑपरेटर में गुणांक सुचारू हैं)। [[अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण]] और परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण के स्थिर-राज्य समाधान आम तौर पर दीर्घवृत्तीय समीकरणों को हल करते हैं।

परिभाषाएँ

होने देना $L$ किसी डोमेन पर क्रम m का अवकल संकारक हो $\Omega$ आर मेंⁿ द्वारा दिया गया

$$Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }u$$

कहाँ $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ मल्टी-इंडेक्स नोटेशन | मल्टी-इंडेक्स, और को दर्शाता है $\partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}u$ आदेश के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है $\alpha _{i}$ में $x_{i}$.

तब $L$ अण्डाकार कहा जाता है अगर हर एक्स के लिए $\Omega$ और हर गैर शून्य $\xi$ आर में^एन,

$$\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,$$

कहाँ $\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}$.

कई अनुप्रयोगों में, यह स्थिति पर्याप्त मजबूत नहीं है, और इसके बजाय क्रम m = 2k के ऑपरेटरों के लिए एक समान दीर्घवृत्तीय स्थिति लागू की जा सकती है:

$$(-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},$$

जहाँ C एक धनात्मक स्थिरांक है। ध्यान दें कि दीर्घवृत्तीयता केवल एक विभेदक ऑपरेटर के प्रतीक पर निर्भर करती है। उच्चतम-क्रम की शर्तें। एक नॉनलाइनियर ऑपरेटर

$$L(u)=F\left(x,u,\left(\partial ^{\alpha }u\right)_{|\alpha |\leq m}\right)$$

अण्डाकार है यदि इसका रैखिककरण है; यानी किसी भी बिंदु के बारे में यू और इसके डेरिवेटिव के संबंध में पहला ऑर्डर टेलर विस्तार एक अंडाकार ऑपरेटर है।

उदाहरण 1

'आर' में लाप्लासियन का ऋणात्मक^d द्वारा दिया गया

$$-\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u$$

एक समान रूप से अण्डाकार ऑपरेटर है। लाप्लास ऑपरेटर अक्सर इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में होता है। यदि ρ किसी क्षेत्र Ω के भीतर चार्ज घनत्व है, तो संभावित Φ को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

$$-\Delta \Phi =4\pi \rho .$$

उदाहरण 2

एक मैट्रिक्स-मूल्यवान फ़ंक्शन ए (एक्स) दिया गया है जो प्रत्येक एक्स के लिए सममित और सकारात्मक निश्चित है, जिसमें घटक हैं^आईजे, ऑपरेटर

$$Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}(x)\partial _{j}u\right)+b^{j}(x)\partial _{j}u+cu$$

अण्डाकार है। यह एक दूसरे क्रम के विचलन रूप का सबसे सामान्य रूप है रैखिक अण्डाकार अंतर ऑपरेटर। लाप्लास संकारक को A = I लेकर प्राप्त किया जाता है। ये संकारक ध्रुवीकृत मीडिया में स्थिर वैद्युतिकी में भी पाए जाते हैं।

उदाहरण 3

p एक गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए, p-लैप्लासियन एक अरैखिक दीर्घवृत्तीय संकारक है जिसे परिभाषित किया गया है

$$L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).$$

एक समान नॉनलाइनियर ऑपरेटर बर्फ की चादर की गतिशीलता में होता है। ग्लेन के प्रवाह नियम के अनुसार, बर्फ का कॉशी तनाव टेंसर किसके द्वारा दिया जाता है

$$\tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)$$

कुछ स्थिर बी के लिए। स्थिर अवस्था में एक बर्फ की चादर का वेग तब अरेखीय अण्डाकार प्रणाली को हल करेगा

$$\sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,$$

जहां ρ बर्फ का घनत्व है, g गुरुत्वाकर्षण त्वरण वेक्टर है, p दबाव है और Q एक फोर्सिंग टर्म है।

अण्डाकार नियमितता प्रमेय

एल को 2k निरंतर डेरिवेटिव वाले गुणांक वाले ऑर्डर 2k के अंडाकार ऑपरेटर होने दें। एल के लिए डिरिचलेट समस्या एक फ़ंक्शन यू खोजने के लिए है, एक फ़ंक्शन एफ और कुछ उचित सीमा मान दिए गए हैं, जैसे कि लू = एफ और यू के पास उपयुक्त सीमा मान और सामान्य डेरिवेटिव हैं। गर्डिंग की असमानता और लक्स-मिल्ग्राम लेम्मा का उपयोग करते हुए अंडाकार ऑपरेटरों के लिए अस्तित्व सिद्धांत, केवल गारंटी देता है कि एक कमजोर समाधान यू सोबोलेव स्पेस एच में मौजूद है^{क</सुप>.}

यह स्थिति अंततः असंतोषजनक है, क्योंकि कमजोर समाधान यू के पास शास्त्रीय अर्थों में अच्छी तरह से परिभाषित होने के लिए अभिव्यक्ति लू के लिए पर्याप्त डेरिवेटिव नहीं हो सकता है।

दीर्घवृत्तीय नियमितता प्रमेय गारंटी देता है कि, बशर्ते f वर्ग-अभिन्नीकरणीय हो, तो वास्तव में आपके पास 2k वर्ग-समाकलन योग्य कमजोर डेरिवेटिव होंगे। विशेष रूप से, यदि f अपरिमित-अक्सर अवकलनीय है, तो u भी है।

इस संपत्ति को प्रदर्शित करने वाले किसी भी विभेदक ऑपरेटर को हाइपोएलिप्टिक ऑपरेटर कहा जाता है; इस प्रकार, प्रत्येक अण्डाकार ऑपरेटर हाइपोएलिप्टिक है। संपत्ति का यह भी अर्थ है कि एक अण्डाकार संकारक का प्रत्येक मौलिक समाधान किसी भी पड़ोस में असीम रूप से भिन्न होता है जिसमें 0 नहीं होता है।

एक आवेदन के रूप में, एक समारोह मान लीजिए $f$ कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है। चूंकि कॉची-रिमैन समीकरण एक दीर्घवृत्त संकारक बनाते हैं, यह उसी का अनुसरण करता है $f$ चिकना है।

सामान्य परिभाषा

होने देना $D$ किसी भी रैंक के वेक्टर बंडलों के बीच एक (संभवतः गैर-रैखिक) अंतर ऑपरेटर बनें। एक अंतर संकारक का इसका प्रतीक लें $\sigma _{\xi }(D)$ एक रूप के संबंध में $\xi$. (असल में, हम जो कर रहे हैं वह उच्चतम क्रम सहसंयोजक डेरिवेटिव की जगह ले रहा है $\nabla$ वेक्टर क्षेत्रों द्वारा $\xi$.)

हम कहते हैं $D$ कमजोर रूप से अण्डाकार है अगर $\sigma _{\xi }(D)$ प्रत्येक अशून्य के लिए एक रेखीय तुल्याकारिता है $\xi$.

हम कहते हैं $D$ कुछ स्थिर होने पर (समान रूप से) दृढ़ता से अण्डाकार है $c>0$,

$$\left([\sigma _{\xi }(D)](v),v\right)\geq c\|v\|^{2}$$

सभी के लिए $\|\xi \|=1$ और सभी $v$. यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि लेख के पिछले भाग में दीर्घवृत्त की परिभाषा मजबूत अण्डाकार है। यहाँ $(\cdot ,\cdot )$ एक आंतरिक उत्पाद है। ध्यान दें कि $\xi$ कोवेक्टर फील्ड या वन-फॉर्म हैं, लेकिन $v$ वेक्टर बंडल के तत्व हैं जिन पर $D$ कार्य करता है।

एक (दृढ़ता से) अण्डाकार ऑपरेटर का सर्वोत्कृष्ट उदाहरण लाप्लासियन (या इसके नकारात्मक, सम्मेलन के आधार पर) है। यह देखना कठिन नहीं है $D$ एक विकल्प होने के लिए मजबूत दीर्घवृत्तीयता के लिए समान क्रम की आवश्यकता है। अन्यथा, दोनों में प्लगिंग पर विचार करें $\xi$ और इसका नकारात्मक। दूसरी ओर, एक कमजोर दीर्घवृत्तीय प्रथम-क्रम संचालिका, जैसे कि डायराक संचालिका, लाप्लासियन जैसे प्रबल अण्डाकार संचालिका बनने के लिए वर्गाकार हो सकती है। कमजोर अण्डाकार ऑपरेटरों की संरचना कमजोर अण्डाकार है।

कमजोर अण्डाकारता फिर भी फ्रेडहोम विकल्प, शाउडर अनुमान और अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय के लिए पर्याप्त मजबूत है। दूसरी ओर, हमें अधिकतम सिद्धांत के लिए मजबूत दीर्घवृत्तीयता की आवश्यकता है, और यह गारंटी देने के लिए कि eigenvalues ​​असतत हैं, और उनका एकमात्र सीमा बिंदु अनंत है।

यह भी देखें

• अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण
• अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण
• परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण
• हॉफ अधिकतम सिद्धांत
• अण्डाकार परिसर
• अल्ट्राहाइपरबोलिक तरंग समीकरण
• अर्ध-अण्डाकार ऑपरेटर
• वेइल की लेम्मा (लाप्लास समीकरण) | वेइल की लेम्मा

संदर्भ

• Evans, L. C. (2010) [1998], Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19 (2nd ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943
  Review:
  Rauch, J. (2000). "Partial differential equations, by L. C. Evans" (PDF). Journal of the American Mathematical Society. 37 (3): 363–367. doi:10.1090/s0273-0979-00-00868-5.
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. S. (1983) [1977], Elliptic partial differential equations of second order, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 224 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, MR 0737190
• Shubin, M. A. (2001) [1994], "Elliptic operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

बाहरी संबंध

• Linear Elliptic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Elliptic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.