पहचान प्रमेय

वास्तविक विश्लेषण और जटिल विश्लेषण में, गणित की शाखाएँ, विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए पहचान प्रमेय बताती हैं: दिए गए कार्य f और g विश्लेषणात्मक एक डोमेन पर (गणितीय विश्लेषण) D (खुला और जुड़ा हुआ सबसेट का $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$), अगर कुछ पर एफ = जी $S\subseteq D$, कहाँ $S$ एक संचय बिंदु है, तो डी पर एफ = जी।

इस प्रकार एक विश्लेषणात्मक कार्य पूरी तरह से डी में एक खुले पड़ोस, या यहां तक ​​​​कि डी के एक गणनीय उपसमुच्चय पर इसके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है (बशर्ते इसमें एक अभिसरण अनुक्रम शामिल हो)। यह सामान्य रूप से वास्तविक-विभेदी कार्यों के लिए सही नहीं है, यहाँ तक कि चिकनाई भी। असीम रूप से वास्तविक-भिन्न कार्यों के लिए। इसकी तुलना में, विश्लेषणात्मक कार्य बहुत अधिक कठोर धारणा हैं। अनौपचारिक रूप से, कभी-कभी यह कहकर प्रमेय को सारांशित करता है कि विश्लेषणात्मक कार्य कठिन हैं (जैसा कि कहते हैं, निरंतर कार्य जो नरम हैं)।

आधारभूत तथ्य जिससे प्रमेय स्थापित किया गया है, होलोमोर्फिक कार्यों की विश्लेषणात्मकता है।

डोमेन डी पर जुड़ाव की धारणा आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि D में दो असंयुक्त खुले सेट होते हैं, $f$ हो सकता है $0$ एक खुले सेट पर, और $1$ दूसरे पर, जबकि $g$ है $0$ एक पर, और $2$ किसी दूसरे पर।

लेम्मा

यदि दो होलोमोर्फिक कार्य करते हैं $f$ और $g$ एक डोमेन पर डी एक सेट एस पर सहमत होता है जिसमें एक संचय बिंदु होता है $c$ में $D$, तब $f=g$ एक डिस्क पर $D$ पर केंद्रित है $c$.

यह साबित करने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है $f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)$ सभी के लिए $n\geq 0$.

अगर ऐसा नहीं होता है, चलो $m$ के साथ सबसे छोटा गैर-नकारात्मक पूर्णांक बनें $f^{(m)}(c)\neq g^{(m)}(c)$. होलोमॉर्फी द्वारा, हमारे पास कुछ खुले पड़ोस यू में निम्नलिखित टेलर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व है $c$:

${\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot \left[{\frac {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{\frac {(z-c)\cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+\cdots \right]\\[6pt]&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z).\end{aligned}}$

निरंतरता से, $h$ कुछ छोटी खुली डिस्क में शून्य नहीं है $B$ आस-पास $c$. परन्तु फिर $f-g\neq 0$ पंक्चर सेट पर $B-\{c\}$. यह धारणा के विपरीत है कि $c$ का संचयन बिन्दु है $\{f=g\}$.

यह लेम्मा दिखाता है कि एक सम्मिश्र संख्या के लिए $a\in \mathbb {C}$, फाइबर (गणित) $f^{-1}(a)$ एक असतत (और इसलिए गणनीय) सेट है, जब तक $f\equiv a$.

प्रमाण

उस सेट को परिभाषित करें जिस पर $f$ और $g$ एक ही टेलर विस्तार है:

$$S=\left\{z\in D\mid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z){\text{ for all }}k\geq 0\right\}=\bigcap _{k=0}^{\infty }\left\{z\in D\mid \left(f^{(k)}-g^{(k)}\right)(z)=0\right\}.$$

हम दिखाएंगे $S$ खाली नहीं है, क्लोपेन सेट|खुला और बंद है। फिर जुड़ा हुआ स्थान द्वारा $D$, $S$ सभी होना चाहिए $D$, जो ये दर्शाता हे $f=g$ पर $S=D$.

लेम्मा द्वारा, $f=g$ पर केंद्रित डिस्क में $c$ में $D$, उनके पास एक ही टेलर श्रृंखला है $c$, इसलिए $c\in S$, $S$ खाली नहीं है।

जैसा $f$ और $g$ होलोमॉर्फिक हैं $D$, $\forall w\in S$, की टेलर श्रृंखला $f$ और $g$ पर $w$ अभिसरण की गैर-शून्य त्रिज्या है। इसलिए, खुली डिस्क $B_{r}(w)$ में भी है $S$ कुछ के लिए $r$. इसलिए $S$ खुला है।

की होलोमॉर्फी द्वारा $f$ और $g$, उनके पास होलोमोर्फिक डेरिवेटिव हैं, इसलिए सभी $f^{(n)},g^{(n)}$ निरंतर हैं। इस का मतलब है कि $\{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}$ सभी के लिए बंद है $k$. $S$ बंद सेटों का एक चौराहा है, इसलिए यह बंद है।

पूर्ण लक्षण वर्णन

चूंकि पहचान प्रमेय दो होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन की समानता से संबंधित है, इसलिए हम केवल अंतर पर विचार कर सकते हैं (जो होलोमोर्फिक रहता है) और जब एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन समान रूप से होता है तो केवल इसकी विशेषता हो सकती है ${\textstyle 0}$. निम्नलिखित परिणाम में पाया जा सकता है।

दावा

होने देना ${\textstyle G\subseteq \mathbb {C} }$ जटिल विमान के एक गैर-खाली, जुड़ाव वाले खुले उपसमुच्चय को निरूपित करें। के लिए ${\textstyle h:G\to \mathbb {C} }$ निम्नलिखित समकक्ष हैं।

1. ${\textstyle h\equiv 0}$ पर ${\textstyle G}$;
2. सेट ${\textstyle G_{0}=\{z\in G\mid h(z)=0\}}$ एक सेट का एक सीमा बिंदु होता है, ${\textstyle z_{0}}$;
3. सेट ${\textstyle G_{\ast }=\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{0}}G_{n}}$ खाली नहीं है, कहाँ ${\textstyle G_{n}:=\{z\in G\mid h^{(n)}(z)=0\}}$.

प्रमाण

निर्देश (1 ${\textstyle \Rightarrow }$ 2) और (1 ${\textstyle \Rightarrow }$ 3) तुच्छ रूप से पकड़ें।

3 के लिए ${\textstyle \Rightarrow }$ 1), की जुड़ाव से ${\textstyle G}$ यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि गैर-रिक्त उपसमुच्चय, ${\textstyle G_{\ast }\subseteq G}$, क्लोपेन है (चूंकि एक टोपोलॉजिकल स्पेस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर उसके पास कोई उचित क्लोपेन उपसमुच्चय नहीं है)। चूँकि होलोमॉर्फिक फलन असीम रूप से भिन्न होते हैं, अर्थात ${\textstyle h\in C^{\infty }(G)}$, यह स्पष्ट है कि ${\textstyle G_{\ast }}$ बन्द है। खुलापन दिखाने के लिए कुछ बातों पर गौर कीजिए ${\textstyle u\in G_{\ast }}$. एक खुली गेंद पर विचार करें ${\textstyle U\subseteq G}$ युक्त ${\textstyle u}$, जिसमें ${\textstyle h}$ पर केंद्रित एक अभिसरण टेलर-श्रृंखला विस्तार है ${\textstyle u}$. के आधार पर ${\textstyle u\in G_{\ast }}$, इस श्रृंखला के सभी गुणांक हैं ${\textstyle 0}$, कहाँ से ${\textstyle h\equiv 0}$ पर ${\textstyle U}$. यह सब इस प्रकार है ${\textstyle n}$-वें के डेरिवेटिव ${\textstyle h}$ हैं ${\textstyle 0}$ पर ${\textstyle U}$, कहाँ से ${\textstyle U\subseteq G_{\ast }}$. तो प्रत्येक ${\textstyle u\in G_{\ast }}$ के भीतरी भाग में स्थित है ${\textstyle G_{\ast }}$.

की ओर (2 ${\textstyle \Rightarrow }$ 3), एक संचय बिंदु को ठीक करें ${\textstyle z_{0}\in G_{0}}$. अब हम आगमन द्वारा सीधे सिद्ध करते हैं कि ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$ प्रत्येक के लिए ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$. इसके लिए चलो ${\textstyle r\in (0,\infty )}$ की शक्ति श्रृंखला विस्तार के अभिसरण त्रिज्या से सख्ती से छोटा हो ${\textstyle h}$ आस-पास ${\textstyle z_{0}}$, द्वारा दिए गए ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} _{0}}{\frac {h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{0})^{k}}$. अभी कुछ ठीक करो ${\textstyle n\geq 0}$ और मान लो ${\textstyle z_{0}\in G_{k}}$ सभी के लिए ${\textstyle k<n}$. फिर के लिए ${\textstyle z\in {\bar {B}}_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$ शक्ति श्रृंखला विस्तार पैदावार का हेरफेर

$$h^{(n)}(z_{0})=n!{\frac {h(z)}{(z-z_{0})^{n}}}-(z-z_{0})\underbrace {n!\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{0})^{k-(n+1)}} _{=:R(z)}.$$

(1)

ध्यान दें कि, चूंकि ${\textstyle r}$ शक्ति श्रृंखला की त्रिज्या से छोटा है, कोई भी उस शक्ति श्रृंखला को आसानी से प्राप्त कर सकता है ${\textstyle R(\cdot )}$ निरंतर है और इस प्रकार बंधा हुआ है ${\textstyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}$.

अब, चूंकि ${\textstyle z_{0}}$ में संचयन बिन्दु है ${\textstyle G_{0}}$, बिंदुओं का एक क्रम है ${\textstyle (z^{(i)})_{i}\subseteq G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$ के लिए अभिसरण ${\textstyle z_{0}}$. तब से ${\textstyle h\equiv 0}$ पर ${\textstyle G_{0}}$ और प्रत्येक के बाद से ${\textstyle z^{(i)}\in G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$, में अभिव्यक्ति (1) उपज

$$h^{(n)}(z_{0})=n!{\frac {h(z^{(i)})}{(z^{(i)}-z_{0})^{n}}}-(z^{(i)}-z_{0})R(z^{(i)})=0-\underbrace {(z^{(i)}-z_{0})} _{\longrightarrow _{i}0}R(z^{(i)}).$$

(2)

की सीमा से ${\textstyle R(\cdot )}$ पर ${\textstyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}$, यह इस प्रकार है कि ${\textstyle h^{(n)}(z_{0})=0}$, कहाँ से ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$. प्रेरण के माध्यम से दावा धारण करता है। Q.E.D.

यह भी देखें

• विश्लेषणात्मक निरंतरता
• रीमैन सतहों के लिए पहचान प्रमेय

संदर्भ

• Ablowitz, Mark J.; Fokas A. S. (1997). Complex variables: Introduction and applications (in English). Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 122. ISBN 0-521-48058-2.