विशेषण संख्या

विशेषण अंकन कोई भी अंक प्रणाली है जिसमें प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक को अंकों की परिमित स्ट्रिंग का उपयोग करके बिल्कुल एक तरह से दर्शाया जा सकता है। नाम उस आक्षेप (यानी एक-से-एक पत्राचार) को संदर्भित करता है जो इस मामले में गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के सेट और प्रतीकों के परिमित सेट (अंकों) का उपयोग करके परिमित तारों के सेट के बीच मौजूद है।

अधिकांश सामान्य अंक प्रणाली, जैसे कि सामान्य दशमलव प्रणाली, विशेषण नहीं हैं क्योंकि अंकों की एक से अधिक स्ट्रिंग एक ही सकारात्मक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं। विशेष रूप से, अग्रणी शून्य जोड़ने से प्रतिनिधित्व मूल्य नहीं बदलता है, इसलिए 1 , 01 और 001 सभी संख्या 1 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करते हैं। भले ही केवल पहला सामान्य है, तथ्य यह है कि अन्य संभव हैं इसका मतलब है कि दशमलव प्रणाली विशेषण नहीं है। हालांकि, केवल एक अंक के साथ यूनरी अंक प्रणाली, विशेषण है।

एक विशेषण मूलांक-k संख्या एक विशेषण स्थितिगत संकेतन है। यह प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक को एन्कोड करने के लिए सेट {1, 2, ..., k} (जहां k ≥ 1) से अंकों की एक स्ट्रिंग का उपयोग करता है; स्ट्रिंग में एक अंक की स्थिति इसके मान को k की शक्ति के गुणक के रूप में परिभाषित करती है। Smullyan (1961) इस संकेतन को k-adic कहता है, लेकिन इसे p-adic number|p-adic नंबर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए: विशेषण अंक गैर-शून्य अंकों के परिमित स्ट्रिंग्स द्वारा साधारण पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक प्रणाली है, जबकि p-adic संख्याएँ एक हैं गणितीय मूल्यों की प्रणाली जिसमें पूर्णांक एक उपसमुच्चय के रूप में होते हैं और किसी भी संख्यात्मक प्रतिनिधित्व में अंकों के अनंत क्रम की आवश्यकता हो सकती है।

परिभाषा

रेडिक्स|बेस-के विशेषण संख्या प्रणाली अंक-सेट {1, 2, ..., k} (k ≥ 1) का उपयोग प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक को विशिष्ट रूप से निरूपित करने के लिए करती है, जो इस प्रकार है:

• पूर्णांक शून्य को रिक्त स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया जाता है।
• पूर्णांक गैर-रिक्त अंक-स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया गया है

a_na_n−1 ... a₁a₀

है

a_n kⁿ + a_n−1 kⁿ⁻¹ + ... + a₁ k¹ + a₀ k⁰.

• पूर्णांक m> 0 का प्रतिनिधित्व करने वाला अंक-स्ट्रिंग है

a_na_n−1 ... a₁a₀

कहाँ

${\begin{aligned}a_{0}&=m-q_{0}k,&q_{0}&=f\left({\frac {m}{k}}\right)&\\a_{1}&=q_{0}-q_{1}k,&q_{1}&=f\left({\frac {q_{0}}{k}}\right)&\\a_{2}&=q_{1}-q_{2}k,&q_{2}&=f\left({\frac {q_{1}}{k}}\right)&\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\a_{n}&=q_{n-1}-0k,&q_{n}&=f\left({\frac {q_{n-1}}{k}}\right)=0\end{aligned}}$

और

$f(x)=\lceil x\rceil -1,$

$\lceil x\rceil$ कम से कम पूर्णांक x से कम नहीं होना (छत समारोह)।

इसके विपरीत, मानक स्थितीय संकेतन को एक समान पुनरावर्ती एल्गोरिथम के साथ परिभाषित किया जा सकता है जहां

$f(x)=\lfloor x\rfloor ,$

पूर्णांकों तक विस्तार

आधार के लिए $k>1$, विशेषण आधार-$k$ संख्या प्रणाली को ऋणात्मक पूर्णांक रेडिक्स पूरक तक बढ़ाया जा सकता है | उसी तरह मानक आधार के रूप में-$b$ अंकों की अनंत संख्या का उपयोग करके अंक प्रणाली $d_{k-1}$, कहाँ $f(d_{k-1})=k-1$, अंकों के बाएं-अनंत अनुक्रम के रूप में दर्शाया गया है $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$. ऐसा इसलिए है क्योंकि यूलर योग

$g({\overline {d_{k-1}}})=\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=-{\frac {k-1}{k-1}}=-1$

मतलब है कि

$g({\overline {d_{k-1}}}d_{k})=f(d_{k})\sum _{i=1}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=1+\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=0$

और हर सकारात्मक संख्या के लिए $n$ विशेषण अंक अंक प्रतिनिधित्व के साथ $d$ द्वारा दर्शाया गया है ${\overline {d_{k-1}}}d_{k}d$. आधार के लिए $k>2$, ऋणात्मक संख्याएँ $n<-1$ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ साथ $i<k-1$, जबकि आधार के लिए $k=2$, ऋणात्मक संख्याएँ $n<-1$ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है ${\overline {d_{k}}}d$. यह साइन-डिजिट अभ्यावेदन, सभी पूर्णांकों के समान है $n$ अंकों के प्रतिनिधित्व के साथ $d$ के रूप में दर्शाए गए हैं ${\overline {d_{0}}}d$ कहाँ $f(d_{0})=0$. यह प्रतिनिधित्व अब विशेषण नहीं है, क्योंकि अंकों के बाएं-अनंत अनुक्रमों के पूरे सेट का उपयोग पी-एडिक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।$k$-एडिक पूर्णांक, जिनमें से पूर्णांक केवल एक उपसमुच्चय हैं।

विशेषण आधार-के अंकों के गुण

किसी दिए गए आधार के लिए $k\geq 2$,

• एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n का प्रतिनिधित्व करने वाले विशेषण आधार-k अंक में अंकों की संख्या है

  लघुगणक|$\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$, फ़्लोर और सीलिंग फ़ंक्शन के विपरीत#अंकों की संख्या|$\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$साधारण आधार-k अंकों के लिए;
  अगर k = 1 (यानी, यूनरी), तो अंकों की संख्या बस n है;

• सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, लंबाई के एक विशेषण आधार-k अंक में प्रतिनिधित्व करने योग्य $\ell \geq 0$, है

  $\mathrm {min} (\ell )={\frac {k^{\ell }-1}{k-1}}$;

• सबसे बड़ा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, लंबाई के एक विशेषण आधार-k अंक में प्रतिनिधित्व करने योग्य $\ell \geq 0$, है

  $\mathrm {max} (\ell )={\frac {k^{\ell +1}-k}{k-1}}$, के बराबर $\mathrm {max} (\ell )=k\times \mathrm {min} (\ell )$, या $\mathrm {max} (\ell )=\mathrm {min} (\ell +1)-1$;

• एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए विशेषण आधार-k और साधारण आधार-k अंक समान हैं यदि और केवल यदि साधारण अंक में अंक 0 नहीं है (या, समतुल्य रूप से, विशेषण अंक न तो खाली स्ट्रिंग है और न ही अंक k है ).

किसी दिए गए आधार के लिए $k\geq 1$,

• बिल्कुल हैं $k^{\ell }$ विशेषण आधार-k लंबाई के अंक $\ell \geq 0$;
• विशेषण बेस-के अंकों की एक सूची, प्रतिनिधित्व किए गए पूर्णांकों के प्राकृतिक क्रम में, स्वचालित रूप से शॉर्टलेक्स ऑर्डर में है (सबसे छोटा पहले, प्रत्येक लंबाई के भीतर लेक्सिकोग्राफ़िक)। इस प्रकार, खाली स्ट्रिंग को निरूपित करने के लिए λ का उपयोग करते हुए, आधार 1, 2, 3, 8, 10, 12, और 16 अंक निम्नानुसार हैं (जहां सामान्य प्रतिनिधित्व तुलना के लिए सूचीबद्ध हैं):

bijective base 1:	λ	1	11	111	1111	11111	111111	1111111	11111111	111111111	1111111111	11111111111	111111111111	1111111111111	11111111111111	111111111111111	1111111111111111	...	(unary numeral system)
bijective base 2:	λ	1	2	11	12	21	22	111	112	121	122	211	212	221	222	1111	1112	...
binary:	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	...
bijective base 3:	λ	1	2	3	11	12	13	21	22	23	31	32	33	111	112	113	121	...
ternary:	0	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101	102	110	111	112	120	121	...
bijective base 8:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	11	12	13	14	15	16	17	18	...
octal:	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20	...
bijective base 10:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	11	12	13	14	15	16	...
decimal:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	...
bijective base 12:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	11	12	13	14	...
duodecimal:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10	11	12	13	14	...
bijective base 16:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	...
hexadecimal:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	...

उदाहरण

34152 (विशेषण आधार-5 में) = 3×5⁴ + 4×5³ + 1×5² + 5×5¹ + 2×1 = 2427 (दशमलव में)।

119A (विशेषण आधार -10 में, A अंक मान दस का प्रतिनिधित्व करता है) = 1×10³ + 1×10² + 9×10¹ + 10×1 = 1200 (दशमलव में)।

A, B, C...X, Y, Z, AA, AB, AC...ZX, ZY, ZZ, AAA, AAB, AAC के क्रम का उपयोग करते हुए, 26 से अधिक तत्वों वाली एक विशिष्ट वर्णमाला सूची विशेषण है। ...

विशेषण आधार -10 प्रणाली

विशेषण आधार-10 प्रणाली एक आधार [[10 (संख्या)]] स्थितीय अंक प्रणाली है जो 0 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंक का उपयोग नहीं करती है। इसके बजाय दस का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अंक है, जैसे ए।

परंपरागत दशमलव के साथ, प्रत्येक अंक की स्थिति दस की शक्ति का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए उदाहरण के लिए 123 एक सौ, प्लस दो दहाई, प्लस तीन इकाइयां हैं। पारंपरिक दशमलव (जैसे 123) में गैर-शून्य अंकों के साथ पूरी तरह से प्रदर्शित होने वाले सभी सकारात्मक पूर्णांक शून्य के बिना दशमलव में समान प्रतिनिधित्व करते हैं। जो शून्य का उपयोग करते हैं उन्हें फिर से लिखा जाना चाहिए, इसलिए उदाहरण के लिए 10 A बन जाता है, पारंपरिक 20 1A बन जाता है, पारंपरिक 100 9A बन जाता है, पारंपरिक 101 A1 बन जाता है, पारंपरिक 302 2A2 बन जाता है, पारंपरिक 1000 99A बन जाता है, पारंपरिक 1110 AAA बन जाता है, पारंपरिक 2010 19AA बन जाता है , और इसी तरह।

शून्य के बिना दशमलव में जोड़ और गुणा अनिवार्य रूप से परंपरागत दशमलव के समान ही होते हैं, सिवाय इसके कि वह तब होता है जब कोई स्थिति दस से अधिक हो जाती है, बजाय इसके कि वह नौ से अधिक हो। तो 643 + 759 की गणना करने के लिए, बारह इकाइयाँ हैं (दाईं ओर 2 लिखें और 1 को दहाई तक ले जाएँ), दस दहाई (लिखें A को सैकड़ों तक ले जाने की आवश्यकता नहीं है), तेरह सौ (3 लिखें और 1 को दहाई तक ले जाएँ) हजारों), और एक हजार (1 लिखें), पारंपरिक 1402 के बजाय परिणाम 13A2 देने के लिए।

विशेषण आधार -26 प्रणाली

विशेषण आधार-26 प्रणाली में 26 अंकों के मान 1 (संख्या) से 26 (संख्या) |छब्बीस का प्रतिनिधित्व करने के लिए लैटिन वर्णमाला के अक्षर A से Z तक का उपयोग किया जा सकता है। (ए=1, बी=2, सी=3, ..., जेड=26)

अंकन के इस विकल्प के साथ, संख्या अनुक्रम (1 से शुरू) A, B, C, ..., X, Y, Z, AA, AB, AC, ..., AX, AY, AZ, BA, BB से शुरू होता है। , ईसा पूर्व, ...

प्रत्येक अंक की स्थिति छब्बीस की शक्ति का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए उदाहरण के लिए, अंक एबीसी मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है 1 × 26² + 2 × 26¹ + 3 × 26⁰ = 731 बेस 10 में।

Microsoft Excel सहित कई स्प्रैडशीट ए, बी, सी, ..., जेड, एए, एबी, ..., एजेड, बीए, ..., जेडजेड, एएए शुरू करते हुए स्प्रेडशीट के कॉलम में लेबल असाइन करने के लिए इस प्रणाली का उपयोग करते हैं। , आदि। उदाहरण के लिए, एक्सेल 2013 में, 16384 कॉलम तक हो सकते हैं (2¹⁴ बाइनरी कोड में), A से XFD तक लेबल किया गया। इस प्रणाली के एक संस्करण का उपयोग वेरिएबल स्टार पदनाम के लिए किया जाता है। इसे किसी भी समस्या पर लागू किया जा सकता है जहां कम से कम संभव तारों का उपयोग करते हुए अक्षरों का व्यवस्थित नामकरण वांछित है।

ऐतिहासिक नोट्स

तथ्य यह है कि प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का विशेषण आधार-k (k ≥ 1) में एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है, एक गणितीय लोककथा है जिसे कई बार फिर से खोजा गया है। शुरुआती उदाहरण हैं Foster (1947) केस के लिए k = 10, और Smullyan (1961) और Böhm (1964) सभी के लिए k ≥ 1. Smullyan इस प्रणाली का उपयोग एक तार्किक प्रणाली में प्रतीकों के तारों की गोडेल संख्या प्रदान करने के लिए करता है; बॉम प्रोग्रामिंग भाषा P में संगणना करने के लिए इन अभ्यावेदन का उपयोग करता है। Knuth (1969) k = 10 के विशेष मामले का उल्लेख करता है, और Salomaa (1973) केस k ≥ 2 पर चर्चा करता है। Forslund (1995) एक और पुनराविष्कार प्रतीत होता है, और परिकल्पना करता है कि यदि प्राचीन अंकन प्रणाली विशेषण आधार-के का उपयोग करती है, तो उन्हें इस प्रणाली के साथ सामान्य अपरिचितता के कारण पुरातात्विक दस्तावेजों में इस तरह पहचाना नहीं जा सकता है।

संदर्भ

• Böhm, C. (July 1964), "On a family of Turing machines and the related programming language", ICC Bulletin, 3: 191.
• Forslund, Robert R. (1995), "A logical alternative to the existing positional number system", Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1: 27–29, MR 1386376, S2CID 19010664.
• Foster, J. E. (1947), "A number system without a zero symbol", Mathematics Magazine, 21 (1): 39–41, doi:10.2307/3029479, JSTOR 3029479.
• Knuth, D. E. (1969), The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms (1st ed.), Addison-Wesley, Solution to Exercise 4.1-24, p. 195. (Discusses bijective base-10.)
• Salomaa, A. (1973), Formal Languages, Academic Press, Note 9.1, pp. 90–91. (Discusses bijective base-k for all k ≥ 2.)
• Smullyan, R. (1961), "9. Lexicographical ordering; n-adic representation of integers", Theory of Formal Systems, Annals of Mathematics Studies, vol. 47, Princeton University Press, pp. 34–36.