हार्मोनिक संयुग्म

For geometric conjugate points, see Projective harmonic conjugate.

"Conjugate function" redirects here. For the convex conjugate of a function, see Convex conjugate.

गणित में, एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान फलन (गणित) $u(x,y)$ एक डोमेन पर परिभाषित (गणितीय विश्लेषण) $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ कहा जाता है कि एक संयुग्म (कार्य) है $v(x,y)$ यदि और केवल यदि वे क्रमशः एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं $f(z)$ जटिल संख्या चर का $z:=x+iy\in \Omega .$ वह है, $v$ से संयुग्मित है $u$ अगर $f(z):=u(x,y)+iv(x,y)$ होलोमॉर्फिक चालू है $\Omega .$ परिभाषा के पहले परिणाम के रूप में, वे दोनों हार्मोनिक फ़ंक्शन वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन हैं $\Omega$. इसके अलावा, के संयुग्म $u,$ यदि यह मौजूद है, तो एक योज्य स्थिरांक तक अद्वितीय है। भी, $u$ से संयुग्मित है $v$ अगर और केवल अगर $v$ से संयुग्मित है $-u$.

विवरण

समान रूप से, $v$ से संयुग्मित है $u$ में $\Omega$ अगर और केवल अगर $u$ और $v$ कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करें $\Omega .$ बाद की समकक्ष परिभाषा के तत्काल परिणाम के रूप में, यदि $u$ कोई हार्मोनिक फ़ंक्शन चालू है $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2},$ कार्यक्रम $u_{x}$ से संयुग्मित है $-u_{y},$ तब के लिए कॉची-रीमैन समीकरण न्यायसंगत हैं $\Delta u=0$ और दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता, $u_{xy}=u_{yx}.$ इसलिए, एक हार्मोनिक फ़ंक्शन $u$ एक संयुग्मित हार्मोनिक फ़ंक्शन को स्वीकार करता है यदि और केवल होलोमोर्फिक फ़ंक्शन $g(z):=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)$ एक एंटीडेरिवेटिव (जटिल विश्लेषण) है $f(z)$ में $\Omega ,$ जिस स्थिति में एक संयुग्मी $u$ बेशक, है $\operatorname {Im} f(x+iy).$ इसलिए कोई भी हार्मोनिक फ़ंक्शन हमेशा एक संयुग्मित फ़ंक्शन को स्वीकार करता है जब भी किसी फ़ंक्शन का डोमेन बस जुड़ा होता है, और किसी भी स्थिति में यह अपने डोमेन के किसी भी बिंदु पर स्थानीय रूप से एक संयुग्म को स्वीकार करता है।

एक ऑपरेटर (गणित) एक हार्मोनिक फ़ंक्शन यू को एक सरल रूप से जुड़े क्षेत्र में ले रहा है $\mathbb {R} ^{2}$ इसके हार्मोनिक संयुग्म v के लिए (जैसे v(x₀) = 0 किसी दिए गए एक्स पर₀ स्थिरांक तक संयुग्म की अनिश्चितता को ठीक करने के लिए)। यह अनुप्रयोगों में अच्छी तरह से (अनिवार्य रूप से) हिल्बर्ट रूपांतरण के रूप में जाना जाता है; यह एकवचन अभिन्न संकारकों के संबंध में गणितीय विश्लेषण का एक बुनियादी उदाहरण भी है। संयुग्म हार्मोनिक फ़ंक्शंस (और उनके बीच परिवर्तन) बैकलंड ट्रांसफ़ॉर्म (दो आंशिक अंतर समीकरण और उनके समाधान से संबंधित ट्रांसफ़ॉर्म) के सबसे सरल उदाहरणों में से एक हैं, इस मामले में रैखिक; अधिक जटिल परिवर्तन सॉलिटॉन्स और अभिन्न प्रणाली में रुचि रखते हैं।

ज्यामितीय रूप से u और v अंतर्निहित होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के शून्य और ध्रुवों से दूर, ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र होने के रूप में संबंधित हैं; वे समोच्च रेखाएँ जिन पर u और v स्थिर हैं, समकोण पर परस्पर काटती हैं। इस संबंध में, यू + iv जटिल क्षमता होगी, जहां यू संभावित सिद्धांत है और वी धारा समारोह है।

उदाहरण

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें

$$u(x,y)=e^{x}\sin y.$$

तब से

$${\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y$$

और

$${\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,$$

यह संतुष्ट करता है

$$\Delta u=\nabla ^{2}u=0$$

($\Delta$ लाप्लास ऑपरेटर है) और इस प्रकार हार्मोनिक है। अब मान लीजिए कि हमारे पास ए $v(x,y)$ ऐसा है कि कॉची-रीमैन समीकरण संतुष्ट हैं:

$${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y$$

और

$${\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.$$

सरल बनाना,

$${\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y$$

और

$${\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y$$

जो हल करने पर देता है

$$v=-e^{x}\cos y+C.$$

ध्यान दें कि यदि संबंधित कार्य u और v को आपस में बदल दिया गया था, कार्य हार्मोनिक संयुग्म नहीं होंगे, क्योंकि कॉची-रीमैन समीकरणों में ऋण चिह्न रिश्ते को असममित बनाता है।

विश्लेषणात्मक कार्यों की अनुरूप मानचित्रण संपत्ति (उन बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न शून्य नहीं है) हार्मोनिक संयुग्मों की एक ज्यामितीय संपत्ति को जन्म देती है। स्पष्ट रूप से x का हार्मोनिक संयुग्म y है, और निरंतर x और निरंतर y की रेखाएँ ओर्थोगोनल हैं। अनुरूपता कहती है कि निरंतर का समोच्च एकीकरण u(x, y) और v(x, y) भी ओर्थोगोनल होगा जहां वे पार करते हैं (के शून्य से दूर f ′(z)). इसका अर्थ है कि v, u द्वारा दिए गए समोच्चों के परिवार के लिए ओर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र समस्या का एक विशिष्ट समाधान है (स्वाभाविक रूप से, एकमात्र समाधान नहीं, क्योंकि हम v के कार्य भी ले सकते हैं): प्रश्न, सत्रहवें के गणित पर वापस जा रहा है सदी, उन वक्रों को खोजने के लिए जो समकोण पर गैर-प्रतिच्छेदी वक्रों के दिए गए परिवार को पार करते हैं।

ज्यामिति में हार्मोनिक संयुग्म

Main article: Projective harmonic conjugate

गणित में हार्मोनिक संयुग्म शब्द की एक अतिरिक्त घटना है, और विशेष रूप से प्रक्षेपी ज्यामिति में। दो अंक ए और बी को एक दूसरे अंक सी, डी के संबंध में एक दूसरे के हार्मोनिक संयुग्मन कहा जाता है यदि क्रॉस अनुपात (एबीसीडी) बराबर -1 .

संदर्भ

• Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Complex variables and applications (6th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 61. ISBN 0-07-912147-0. If two given functions u and v are harmonic in a domain D and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout D, v is said to be a harmonic conjugate of u.

बाहरी संबंध

• Harmonic Ratio
• "Conjugate harmonic functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]