हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण

समतल में विकिरण के दो स्रोत, गणितीय रूप से एक फलन द्वारा दिए गए f, जो नीले क्षेत्र में शून्य है

परिणामी क्षेत्र का वास्तविक भाग A, A विषम हेल्महोल्ट्ज समीकरण का हल है (∇² − k²) A = −f.

गणित में, लाप्लास ऑपरेटर के लिए eigenvalue समस्या को हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के रूप में जाना जाता है। यह रैखिक आंशिक अंतर समीकरण से मेल खाती है

$$\nabla ^{2}f=-k^{2}f,$$

कहां ∇² लाप्लास ऑपरेटर (या लाप्लासियन) है, k² आइगेनवैल्यू है, और f (ईजेन) कार्य है। जब समीकरण तरंगों पर लागू होता है, k तरंग संख्या के रूप में जाना जाता है। हेल्महोल्त्ज़ समीकरण में भौतिकी में विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोग हैं, जिसमें तरंग समीकरण और प्रसार समीकरण शामिल हैं, और इसका अन्य विज्ञानों में उपयोग होता है।

प्रेरणा और उपयोग

हेल्महोल्त्ज़ समीकरण अक्सर अंतरिक्ष और समय दोनों में आंशिक अंतर समीकरणों (पीडीई) से जुड़ी भौतिक समस्याओं के अध्ययन में उत्पन्न होता है। हेल्महोल्त्ज़ समीकरण, जो तरंग समीकरण के एक समय-स्वतंत्र रूप का प्रतिनिधित्व करता है, विश्लेषण की जटिलता को कम करने के लिए चर के पृथक्करण की तकनीक को लागू करने का परिणाम है।

उदाहरण के लिए, तरंग समीकरण पर विचार करें

$$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.$$

वेव फंक्शन को मानकर वेरिएबल्स का पृथक्करण शुरू होता है u(r, t) वास्तव में वियोज्य है:

$$u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).$$

इस रूप को तरंग समीकरण में प्रतिस्थापित करने और फिर सरल करने पर, हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं:

$${\frac {\nabla ^{2}A}{A}}={\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}.$$

ध्यान दें कि बाईं ओर का व्यंजक केवल पर निर्भर करता है r, जबकि सही अभिव्यक्ति पर ही निर्भर करता है t. नतीजतन, यह समीकरण सामान्य स्थिति में मान्य है यदि और केवल यदि समीकरण के दोनों पक्ष समान स्थिर मान के बराबर हैं। यह तर्क चरों को अलग करके रैखिक आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने की तकनीक में महत्वपूर्ण है। इस प्रेक्षण से हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं, एक के लिए A(r), दूसरे के लिए T(t):

$${\frac {\nabla ^{2}A}{A}}=-k^{2}$$

$${\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k^{2},$$

जहां हमने व्यापकता को खोए बिना अभिव्यक्ति को चुना है −k² स्थिरांक के मान के लिए। (यह किसी भी स्थिरांक का उपयोग करने के लिए समान रूप से मान्य है k पृथक्करण स्थिरांक के रूप में; −k² परिणामी समाधानों में सुविधा के लिए ही चुना जाता है।)

पहले समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण प्राप्त करते हैं:

$$\nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.$$

इसी तरह, प्रतिस्थापन करने के बाद ω = kc, कहां k वेवनंबर है, और ω कोणीय आवृत्ति (एकवर्णीय क्षेत्र मानकर) है, तो दूसरा समीकरण बन जाता है

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}\right)T=0.$$

स्थानिक चर के लिए अब हमारे पास हेल्महोल्ट्ज़ का समीकरण है r और समय में एक दूसरे क्रम का साधारण अंतर समीकरण । समय में समाधान साइन और कोज्या कार्यों का एक रैखिक संयोजन होगा, जिसका सटीक रूप प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होता है, जबकि अंतरिक्ष में समाधान का रूप सीमा स्थितियों पर निर्भर करेगा। वैकल्पिक रूप से, अभिन्न परिवर्तन , जैसे लाप्लास रूपांतरण या फूरियर रूपांतरण , अक्सर अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण को हेल्महोल्ट्ज़ इक्वेशन के रूप में बदलने के लिए उपयोग किया जाता है।

तरंग समीकरण से इसके संबंध के कारण, हेल्महोल्त्ज़ समीकरण भौतिकी के ऐसे क्षेत्रों में समस्याओं में उत्पन्न होता है जैसे विद्युत चुम्बकीय विकिरण , भूकंप विज्ञान और ध्वनिकी का अध्ययन।

चरों के पृथक्करण का उपयोग करके हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण को हल करना

स्थानिक हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण का समाधान:

$$\nabla ^{2}A=-k^{2}A$$

चरों के पृथक्करण का उपयोग करके सरल ज्यामिति के लिए प्राप्त किया जा सकता है।

कंपन झिल्ली

वाइब्रेटिंग स्ट्रिंग का द्वि-आयामी एनालॉग वाइब्रेटिंग मेम्ब्रेन है, जिसके किनारों को गतिहीन होने के लिए जकड़ा जाता है। हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण को 19वीं शताब्दी में कई बुनियादी आकृतियों के लिए हल किया गया था: 1829 में सिमोन डेनिस पोइसन द्वारा आयताकार झिल्ली, 1852 में गेब्रियल लैम द्वारा समबाहु त्रिभुज, और 1862 में अल्फ्रेड क्लेब्सच द्वारा गोलाकार झिल्ली। अण्डाकार ड्रमहेड का अध्ययन एमिले द्वारा किया गया था। लियोनार्ड मैथ्यू | एमिल मैथ्यू, मैथ्यू के अंतर समीकरण के लिए अग्रणी।

यदि किसी आकृति के किनारे सीधी रेखा खंड हैं, तो एक समाधान केवल पूर्ण या बंद रूप में जानने योग्य है, यदि यह समतल तरंगों के परिमित रैखिक संयोजन के रूप में अभिव्यक्त होता है जो सीमा की स्थिति को पूरा करता है (सीमा पर शून्य, यानी, झिल्ली जकड़ी हुई) ).

यदि डोमेन त्रिज्या का एक चक्र है a, तो ध्रुवीय निर्देशांक पेश करना उचित है r और θ. हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण रूप लेता है

$$A_{rr}+{\frac {1}{r}}A_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}A_{\theta \theta }+k^{2}A=0.$$

हम सीमा शर्त लगा सकते हैं कि A अगर गायब हो जाता है r = a; इस प्रकार

$$A(a,\theta )=0.$$

चरों के पृथक्करण की विधि प्रपत्र के परीक्षण समाधान की ओर ले जाती है

$$A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),$$

कहां Θ अवधि के आवधिक होना चाहिए2π. इससे यह होगा

$$\Theta ''+n^{2}\Theta =0,$$

$$r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.$$

यह आवधिकता की स्थिति से निम्नानुसार है

$$\Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,$$

और कि n पूर्णांक होना चाहिए। रेडियल घटक R रूप है

$$R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),$$

जहां बेसेल कार्य करता है J_n(ρ) बेसेल के समीकरण को संतुष्ट करता है

$$\rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,$$

और ρ = kr. रेडियल समारोह J_n के प्रत्येक मान के लिए अपरिमित रूप से अनेक मूल होते हैं n, द्वारा चिह्नित ρ_m,n. सीमा शर्त है कि A कहाँ गायब हो जाता है r = a यदि संगत तरंग संख्याएँ द्वारा दी गई हों तो संतुष्ट हो जाएँगी

$$k_{m,n}={\frac {1}{a}}\rho _{m,n}.$$

सामान्य समाधान A फिर उत्पादों से जुड़े शब्दों की एक सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला का रूप ले लेता है J_n(k_m,nr) और की ज्या (या कोसाइन)। nθ. ये समाधान एक वृत्ताकार ड्रम के कंपन के तरीके हैं।

त्रि-आयामी समाधान

गोलाकार निर्देशांक में समाधान है:

$$A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr)\right)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$$

यह समाधान तरंग समीकरण और प्रसार समीकरण के स्थानिक समाधान से उत्पन्न होता है। यहां j_ℓ(kr) और y_ℓ(kr) गोलाकार बेसेल कार्य हैं, और Y^m
_ℓ(θ, φ) गोलाकार हार्मोनिक्स हैं (अब्रामोविट्ज़ और स्टेगुन, 1964)। ध्यान दें कि ये प्रपत्र सामान्य समाधान हैं, और किसी विशिष्ट मामले में उपयोग करने के लिए सीमा शर्तों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है। अनंत बाहरी डोमेन के लिए, विकिरण की स्थिति भी आवश्यक हो सकती है (सोमरफेल्ड, 1949)।

लिखना r₀ = (x, y, z) समारोह A(r₀) स्पर्शोन्मुख है

$$A(r_{0})={\frac {e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}f\left({\frac {\mathbf {r} _{0}}{r_{0}}},k,u_{0}\right)+o\left({\frac {1}{r_{0}}}\right){\text{ as }}r_{0}\to \infty$$

जहां समारोह f प्रकीर्णन आयाम कहा जाता है और u₀(r₀) का मूल्य है A प्रत्येक सीमा बिंदु पर r₀.

पैराएक्सियल सन्निकटन

Further information: Slowly varying envelope approximation

हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के समांतर सन्निकटन में, जटिल आयाम A रूप में अभिव्यक्त किया जाता है

$$A(\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )e^{ikz}$$

कहां u जटिल-मूल्यवान आयाम का प्रतिनिधित्व करता है जो घातीय कारक द्वारा दर्शाए गए साइनसोइडल समतल तरंग को नियंत्रित करता है। फिर एक उपयुक्त धारणा के तहत, u लगभग हल करता है

$$\nabla _{\perp }^{2}u+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}=0,$$

कहां ${\textstyle \nabla _{\perp }^{2}{\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$ लाप्लास संकारक का अनुप्रस्थ भाग है।

प्रकाशिकी के विज्ञान में इस समीकरण के महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं, जहाँ यह ऐसे समाधान प्रदान करता है जो परवलय तरंगों या गाऊसी बीम के रूप में विद्युत चुम्बकीय तरंगों (प्रकाश) के प्रसार का वर्णन करता है। अधिकांश लेज़र ऐसे बीम उत्सर्जित करते हैं जो इस रूप को लेते हैं।

धारणा जिसके तहत पैराएक्सियल सन्निकटन मान्य है, वह है z आयाम समारोह का व्युत्पन्न u का धीरे-धीरे बदलता कार्य है z:

$$\left|{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|.$$

यह स्थिति कहने के बराबर है कि कोण θ तरंग वेक्टर के बीच k और ऑप्टिकल अक्ष z छोटा है: θ ≪ 1.

हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के पैराएक्सियल रूप को हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के सामान्य रूप में जटिल आयाम के लिए उपर्युक्त अभिव्यक्ति को निम्नानुसार प्रतिस्थापित करके पाया जाता है:

$$\nabla ^{2}(u\left(x,y,z\right)e^{ikz})+k^{2}u\left(x,y,z\right)e^{ikz}=0.$$

विस्तार और रद्दीकरण से निम्नलिखित प्राप्त होते हैं:

$$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)u(x,y,z)e^{ikz}+\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}u(x,y,z)\right)e^{ikz}+2\left({\frac {\partial }{\partial z}}u(x,y,z)\right)ik{e^{ikz}}=0.$$

ऊपर बताई गई पैराएक्सियल असमानता के कारण, ∂²u/∂z² अवधि की तुलना में उपेक्षित है k·∂u/∂z अवधि। इससे पैराएक्सियल हेल्महोल्ट्ज समीकरण प्राप्त होता है। स्थानापन्न u(r) = A(r) e^−ikz फिर मूल जटिल आयाम के लिए समांतर समीकरण देता है A:

$$\nabla _{\perp }^{2}A+2ik{\frac {\partial A}{\partial z}}=0.$$

फ़्रेस्नेल विवर्तन समाकल पैराएक्सियल हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण का एक सटीक समाधान है।

अमानवीय हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण

विषम हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण समीकरण है

$$\nabla ^{2}A(x)+k^{2}A(x)=-f(x)\ {\text{ in }}\mathbb {R} ^{n},$$

कहां ƒ : Rⁿ → C कॉम्पैक्ट समर्थन वाला एक फंक्शन है, और n = 1, 2, 3. यह समीकरण स्क्रीन किए गए पोइसन समीकरण के समान है, और समान होगा यदि धन चिह्न (के सामने k टर्म) को माइनस साइन में बदल दिया गया।

इस समीकरण को विशिष्ट रूप से हल करने के लिए, अनंत पर एक सीमा स्थिति निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, जो आमतौर पर सोमरफेल्ड विकिरण स्थिति है

$$\lim _{r\to \infty }r^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}-ik\right)A(r{\hat {x}})=0$$

समान रूप से ${\hat {x}}$ साथ $|{\hat {x}}|=1$, जहां लंबवत पट्टियां यूक्लिडियन मानदंड दर्शाती हैं।

इस शर्त के साथ, अमानवीय हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण का हल घुमाव है

$$A(x)=(G*f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!G(x-y)f(y)\,\mathrm {d} y$$

(ध्यान दें कि यह इंटीग्रल वास्तव में एक परिमित क्षेत्र पर है, क्योंकि f कॉम्पैक्ट समर्थन है)। यहां, G इस समीकरण का ग्रीन का कार्य है, अर्थात्, विषम हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण का समाधान f डिराक डेल्टा समारोह को बराबर करना, इसलिए G संतुष्ट

$$\nabla ^{2}G(x)+k^{2}G(x)=-\delta (x)\in \mathbb {R} ^{n}.$$

हरे रंग के कार्य के लिए व्यंजक आयाम पर निर्भर करता है n अंतरिक्ष का। किसी के पास

$$G(x)={\frac {ie^{ik|x|}}{2k}}$$

के लिए n = 1,

$$G(x)={\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|x|)$$

के लिए n = 2, कहां H⁽¹⁾
₀ एक बेसेल फलन है # हैंकेल फलन : H.CE.B1, और

$$G(x)={\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}}$$

के लिए n = 3. ध्यान दें कि हमने सीमा शर्त को चुना है जिसके लिए ग्रीन का कार्य एक आउटगोइंग वेव है |x| → ∞.

यह भी देखें

• लाप्लास का समीकरण (हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण का एक विशेष मामला)
• वीइल विस्तार

संदर्भ

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene, eds. (1964). Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.

• Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2002). "Chapter 19". Mathematical methods for physics and engineering. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89067-0.

• Riley, K. F. (2002). "Chapter 16". Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Sausalito, California: University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5.

• Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl (1991). "Chapter 3". Fundamentals of Photonics. Wiley Series in Pure and Applied Optics. New York: John Wiley & Sons. pp. 80–107. ISBN 978-0-471-83965-1.

• Sommerfeld, Arnold (1949). "Chapter 16". Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press. ISBN 978-0126546569.

• Howe, M. S. (1998). Acoustics of fluid-structure interactions. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63320-8.

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• सोमरफेल्ड विकिरण की स्थिति
• वेइल विस्तार

बाहरी कड़ियाँ

• Helmholtz Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Helmholtz equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Vibrating Circular Membrane by Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project.
• Green's functions for the wave, Helmholtz and Poisson equations in a two-dimensional boundless domain