क्रुल रिंग

क्रमविनिमेय बीजगणित में, एक क्रुल वलय, या क्रुल डोमेन, एक क्रमविनिमेय वलय है जिसमें प्रधान गुणनखंडन का एक अच्छा व्यवहार सिद्धांत है। उन्हें 1931 में वोल्फगैंग क्रुल द्वारा पेश किया गया था। वे डेडेकिंड डोमेन का एक उच्च-आयामी सामान्यीकरण हैं, जो अधिकतम 1 पर क्रुल आयाम के क्रुल डोमेन हैं।

इस लेख में, एक वलय क्रमविनिमेय है और इसमें एकता है।

औपचारिक परिभाषा

होने देना $A$ एक अभिन्न डोमेन बनें और दें $P$ के सभी प्रमुख आदर्शों का समुच्चय हो $A$ ऊँचाई (रिंग थ्योरी) का एक, जो कि सभी प्रमुख आदर्शों का समुच्चय है जिसमें कोई गैर-अभाज्य प्रधान आदर्श नहीं है। तब $A$ एक क्रुल रिंग है अगर

1. $A_{\mathfrak {p}}$ सभी के लिए असतत मूल्यांकन रिंग है ${\mathfrak {p}}\in P$,
2. $A$ इन असतत वैल्यूएशन रिंग्स का प्रतिच्छेदन है (के भागफल क्षेत्र के सबरिंग्स के रूप में माना जाता है $A$).
3. का कोई अशून्य तत्व $A$ ऊँचाई 1 अभाज्य आदर्शों की केवल एक परिमित संख्या में समाहित है।

केवल मूल्यांकन के माध्यम से क्रुल के छल्ले को चिह्नित करना भी संभव है: एक अभिन्न डोमेन $A$ यदि कोई परिवार मौजूद है तो यह एक क्रुल रिंग है $\{v_{i}\}_{i\in I}$ अंशों के क्षेत्र पर असतत मूल्यांकन $K$ का $A$ ऐसा है कि:

1. किसी के लिए $x\in K\setminus \{0\}$ और सभी $i$, संभवतः उनमें से एक परिमित संख्या को छोड़कर, $v_{i}(x)=0$;
2. किसी के लिए $x\in K\setminus \{0\}$, $x$ से संबंधित $A$ अगर और केवल अगर $v_{i}(x)\geq 0$ सभी के लिए $i\in I$.

मूल्यांकन $v_{i}$ के आवश्यक मूल्यांकन कहलाते हैं $A$.

दो परिभाषाओं के बीच की कड़ी इस प्रकार है: प्रत्येक के लिए ${\mathfrak {p}}\in P$, कोई अद्वितीय सामान्यीकृत मूल्यांकन संबद्ध कर सकता है $v_{\mathfrak {p}}$ का $K$ जिसका वैल्यूएशन रिंग है $A_{\mathfrak {p}}$. फिर सेट ${\mathcal {V}}=\{v_{\mathfrak {p}}\}$ समकक्ष परिभाषा की शर्तों को संतुष्ट करता है। इसके विपरीत, यदि सेट ${\mathcal {V}}'=\{v_{i}\}$ ऊपर के रूप में है, और $v_{i}$ सामान्यीकृत किया गया है, फिर ${\mathcal {V}}'$ से बड़ा हो सकता है ${\mathcal {V}}$, लेकिन इसमें शामिल होना चाहिए ${\mathcal {V}}$. दूसरे शब्दों में, ${\mathcal {V}}$ समतुल्य परिभाषा को संतुष्ट करने वाले सामान्यीकृत मूल्यांकन का न्यूनतम सेट है।

क्रुल रिंग्स को पेश करने और परिभाषित करने के अन्य तरीके हैं। क्रुल रिंग्स के सिद्धांत को विभाजनकारी आदर्शों के सिद्धांत के साथ तालमेल में उजागर किया जा सकता है। सर्वश्रेष्ठ में से एक इस विषय पर संदर्भ पी. सैमुअल द्वारा अद्वितीय फैक्टराइजेशन डोमेन पर व्याख्यान है।

गुण

उपरोक्त नोटेशन के साथ, चलो $v_{\mathfrak {p}}$ वैल्यूएशन रिंग के अनुरूप सामान्यीकृत वैल्यूएशन को निरूपित करें $A_{\mathfrak {p}}$, $U$ की इकाइयों के सेट को निरूपित करें $A$, और $K$ इसका भागफल क्षेत्र।

• तत्व $x\in K$ से संबंधित $U$ अगर और केवल अगर, $v_{\mathfrak {p}}(x)=0$ हरएक के लिए ${\mathfrak {p}}\in P$. दरअसल, इस मामले में, $x\not \in A_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}$ हरएक के लिए ${\mathfrak {p}}\in P$, इस तरह $x^{-1}\in A_{\mathfrak {p}}$; चौराहा संपत्ति द्वारा, $x^{-1}\in A$. इसके विपरीत यदि $x$ और $x^{-1}$ में हैं $A$, तब $v_{\mathfrak {p}}(xx^{-1})=v_{\mathfrak {p}}(1)=0=v_{\mathfrak {p}}(x)+v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})$, इस तरह $v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})=0$, चूंकि दोनों संख्याएं होनी चाहिए $\geq 0$.
• तत्व $x\in A$ की एक इकाई तक विशिष्ट रूप से निर्धारित है $A$, मूल्यों द्वारा $v_{\mathfrak {p}}(x)$, ${\mathfrak {p}}\in P$. दरअसल, अगर $v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(y)$ हरएक के लिए ${\mathfrak {p}}\in P$, तब $v_{\mathfrak {p}}(xy^{-1})=0$, इस तरह $xy^{-1}\in U$ उपरोक्त संपत्ति द्वारा (q.e.d)। इससे पता चलता है कि एप्लिकेशन $x\ {\rm {mod}}\ U\mapsto \left(v_{\mathfrak {p}}(x)\right)_{{\mathfrak {p}}\in P}$ अच्छी तरह से परिभाषित है, और तब से $v_{\mathfrak {p}}(x)\not =0$ केवल बहुत से लोगों के लिए ${\mathfrak {p}}$, यह एक एम्बेडिंग है $A^{\times }/U$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह में $P$. इस प्रकार, गुणक संकेतन का उपयोग करना$\cdot$बाद के समूह के लिए, प्रत्येक के लिए, वहाँ है $x\in A^{\times }$, $x=1\cdot {\mathfrak {p}}_{1}^{\alpha _{1}}\cdot {\mathfrak {p}}_{2}^{\alpha _{2}}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}^{\alpha _{n}}\ {\rm {mod}}\ U$, जहां ${\mathfrak {p}}_{i}$ के तत्व हैं $P$ युक्त $x$, और $\alpha _{i}=v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x)$.
• मूल्यांकन $v_{\mathfrak {p}}$ जोड़ीदार स्वतंत्र हैं। नतीजतन, तथाकथित कमजोर सन्निकटन प्रमेय है, चीनी शेष प्रमेय का एक समरूपता: यदि ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots {\mathfrak {p}}_{n}$ के विशिष्ट तत्व हैं $P$, $x_{1},\ldots x_{n}$ के संबंधित $K$ (प्रति. $A_{\mathfrak {p}}$), और $a_{1},\ldots a_{n}$ हैं $n$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो वहाँ मौजूद हैं $x\in K$ (प्रति. $x\in A_{\mathfrak {p}}$) ऐसा है कि $v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x-x_{i})=n_{i}$ हरएक के लिए $i$.
• दो तत्व $x$ और $y$ का $A$ यदि कोप्राइम हैं $v_{\mathfrak {p}}(x)$ और $v_{\mathfrak {p}}(y)$ दोनों नहीं हैं $>0$ हरएक के लिए ${\mathfrak {p}}\in P$. मूल्यांकन के मूल गुणों का अर्थ है कि इष्टतमता का एक अच्छा सिद्धांत धारण करता है $A$.
• प्रत्येक प्रधान आदर्श $A$ का तत्व होता है $P$.
• क्रुल डोमेन का कोई परिमित चौराहा जिसका भागफल क्षेत्र समान है, फिर से एक क्रुल डोमेन है।
• अगर $L$ का उपक्षेत्र है $K$, तब $A\cap L$ एक क्रुल डोमेन है।
• अगर $S\subset A$ गुणनात्मक रूप से बंद समुच्चय है जिसमें 0 नहीं है, भागफल का वलय $S^{-1}A$ फिर से एक क्रुल डोमेन है। वास्तव में, के आवश्यक मूल्यांकन $S^{-1}A$ क्या वे मूल्यांकन हैं $v_{\mathfrak {p}}$ (का $K$) जिसके लिए ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$.
• अगर $L$ का परिमित बीजगणितीय विस्तार है $K$, और $B$ का अभिन्न समापन है $A$ में $L$, तब $B$ एक क्रुल डोमेन है।

उदाहरण

1. कोई भी अद्वितीय कारक डोमेन एक क्रुल डोमेन है। इसके विपरीत, एक क्रुल डोमेन एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है यदि (और केवल यदि) ऊंचाई का प्रत्येक प्रमुख आदर्श एक प्रमुख है। # प्रत्येक एकीकृत रूप से बंद डोमेन नोथेरियन रिंग इंटीग्रल डोमेन एक क्रुल डोमेन है। विशेष रूप से, डेडेकाइंड डोमेन क्रुल डोमेन हैं। इसके विपरीत, क्रुल डोमेन अभिन्न रूप से बंद हैं, इसलिए एक नोथेरियन डोमेन क्रुल है यदि और केवल अगर यह अभिन्न रूप से बंद है।
2. अगर $A$ एक क्रुल डोमेन है तो बहुपद अंगूठी भी है $A[x]$ और पावर श्रृंखला की अंगूठी $A[[x]]$.
3. बहुपद वलय $R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$ एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन पर असीम रूप से कई चर $R$ एक क्रुल डोमेन है जो नोथेरियन नहीं है।
4. होने देना $A$ भागफल क्षेत्र के साथ एक नोथेरियन रिंग इंटीग्रल डोमेन बनें $K$, और $L$ का क्षेत्र विस्तार हो $K$. फिर का अभिन्न समापन $A$ में $L$ एक क्रुल डोमेन (मोरी-नागाटा प्रमेय) है। यह ऊपर नंबर 2 से आसानी से अनुसरण करता है।
5. होने देना $A$ एक जरिस्की रिंग हो (उदाहरण के लिए, एक स्थानीय नोथेरियन रिंग)। अगर पूरा हो रहा है ${\widehat {A}}$ एक क्रुल डोमेन है, फिर $A$ एक क्रुल डोमेन (मोरी) है।
6. होने देना $A$ एक क्रुल डोमेन हो, और $V$ एक प्रमुख तत्व की शक्तियों में शामिल गुणात्मक रूप से बंद सेट हो $p\in A$. तब $S^{-1}A$ एक क्रुल डोमेन (नागाटा) है।

== क्रुल रिंग == का भाजक वर्ग समूह

ये मान लीजिए $A$ एक क्रुल डोमेन है और $K$ इसका भागफल क्षेत्र है। का एक प्रमुख भाजक $A$ की ऊंचाई 1 प्रधान आदर्श है $A$. के प्रमुख भाजक का सेट $A$ अंकित किया जाएगा $P(A)$ अगली कड़ी में। ए (वील) का भाजक $A$ प्रधान विभाजकों का एक औपचारिक अभिन्न रैखिक संयोजन है। वे एक एबेलियन समूह बनाते हैं, विख्यात $D(A)$. रूप का एक भाजक $div(x)=\sum _{p\in P}v_{p}(x)\cdot p$, कुछ शून्य के लिए $x$ में $K$, प्रधान भाजक कहलाता है। के प्रमुख विभाजक $A$ विभाजकों के समूह का एक उपसमूह बनाते हैं (यह ऊपर दिखाया गया है कि यह समूह आइसोमोर्फिक है $A^{\times }/U$, कहाँ $U$ की एकता का समूह है $A$). प्रधान भाजकों के उपसमूह द्वारा भाजकों के समूह के भागफल को भाजक वर्ग समूह कहा जाता है $A$; यह आमतौर पर निरूपित किया जाता है $C(A)$.

ये मान लीजिए $B$ एक क्रुल डोमेन है जिसमें शामिल है $A$. हमेशा की तरह, हम कहते हैं कि एक प्रमुख आदर्श ${\mathfrak {P}}$ का $B$ एक प्रमुख आदर्श से ऊपर है ${\mathfrak {p}}$ का $A$ अगर ${\mathfrak {P}}\cap A={\mathfrak {p}}$; यह संक्षेप में है ${\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}}$.

के शाखा सूचकांक को निरूपित करें $v_{\mathfrak {P}}$ ऊपर $v_{\mathfrak {p}}$ द्वारा $e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}})$, और तक $P(B)$ के प्रधान विभाजक का सेट $B$. एप्लिकेशन को परिभाषित करें $P(A)\to D(B)$ द्वारा

$j({\mathfrak {p}})=\sum _{{\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}},\ {\mathfrak {P}}\in P(B)}e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}}){\mathfrak {P}}$

(उपरोक्त राशि प्रत्येक के बाद से परिमित है $x\in {\mathfrak {p}}$ के अधिक से अधिक सूक्ष्म रूप से अनेक तत्वों में समाहित है $P(B)$). आवेदन का विस्तार करें $j$ एक रैखिक अनुप्रयोग के लिए रैखिकता द्वारा $D(A)\to D(B)$. अब कोई पूछ सकता है कि किन मामलों में $j$ रूपवाद उत्पन्न करता है ${\bar {j}}:C(A)\to C(B)$. इससे कई परिणाम निकलते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित गॉस के एक प्रमेय का सामान्यीकरण करता है:

आवेदन पत्र ${\bar {j}}:C(A)\to C(A[X])$ विशेषण है। विशेष रूप से, अगर $A$ एक अद्वितीय कारककरण डोमेन है, तो ऐसा है $A[X]$. क्रुल रिंग्स के विभाजक वर्ग समूह का उपयोग शक्तिशाली वंश विधियों और विशेष रूप से गैलोज़ियन वंश को स्थापित करने के लिए भी किया जाता है।

कार्टियर भाजक

क्रुल रिंग का कार्टियर भाजक स्थानीय रूप से प्रमुख (वील) भाजक है। कार्टियर विभाजक प्रधान विभाजक वाले विभाजकों के समूह का एक उपसमूह बनाते हैं। प्रमुख विभाजकों द्वारा कार्टियर विभाजकों का भाग भाजक वर्ग समूह का एक उपसमूह है, जो स्पेक (ए) पर उल्टे ढेरों के पिकार्ड समूह के लिए आइसोमॉर्फिक है।

उदाहरण: वलय में k[x,y,z]/(xy–z²) भाजक वर्ग समूह का क्रम 2 है, जो भाजक y = z द्वारा उत्पन्न होता है, लेकिन पिकार्ड उपसमूह तुच्छ समूह है।

संदर्भ

• N. Bourbaki. Commutative algebra.
• "Krull ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Krull, Wolfgang (1931), "Allgemeine Bewertungstheorie", J. Reine Angew. Math., 167: 160–196, archived from the original on January 6, 2013
• Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra. Second Edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9
• Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman (ed.), Lectures on unique factorization domains, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, vol. 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0214579