क्रुल रिंग

क्रमविनिमेय बीजगणित में, एक क्रुल वलय, या क्रुल डोमेन, एक क्रमविनिमेय वलय है, जिसमें प्रमुख गुणनखंडन का एक अच्छा व्यवहार सिद्धांत है। वे 1931 में वोल्फगैंग क्रुल द्वारा पेश किए गए थे। वे डेडेकिंड डोमेन का एक उच्च-आयामी सामान्यीकरण हैं, जो अधिकतम 1 पर आयाम के क्रुल डोमेन हैं।

इस लेख में, एक वलय क्रमविनिमेय है और इसमें समानता है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि $A$ एक अभिन्न प्रांत है और $P$ को ऊंचाई के $A$ के सभी प्रमुख आदर्शों का सेट होने दें, यानी सभी प्रमुख आदर्शों का सेट जो उचित रूप से कोई गैर-प्रमुख आदर्श नहीं हैं। तो $A$ क्रूर वलय है

1. $A_{\mathfrak {p}}$ सभी ${\mathfrak {p}}\in P$ के लिए असतत मूल्यांकन वलय है।
2. $A$ इन असतत मूल्यांकन वलयों का प्रतिच्छेदन है ($A$ के भागफल क्षेत्र के सबरिंग के रूप में माना जाता है)।
3. $A$ का कोई भी गैर-शून्य तत्व ऊंचाई 1 प्रमुख आदर्शों की केवल एक सीमित संख्या में निहित है।

केवल मूल्यांकन के माध्यम से क्रुल वलयों को चिह्नित करना भी संभव है:

अभिन्न डोमेन $A$ क्रुल रिंग है, अगर $A$ के भिन्न के के क्षेत्र पर असतत मूल्यांकन $K$ एक परिवार $\{v_{i}\}_{i\in I}$ उपस्थित हैं जैसे:

1. किसी भी $x\in K\setminus \{0\}$ और सभी $i$ के लिए, संभवतः उनकी एक सीमित संख्या को छोड़कर, $v_{i}(x)=0$;
2. किसी भी $x\in K\setminus \{0\}$ के लिए, $x$, $A$ का है यदि और केवल यदि $v_{i}(x)\geq 0$ सभी $i\in I$ के लिए।

मूल्यांकन $v_{i}$ को $A$ का आवश्यक मूल्यांकन कहा जाता है।

दो परिभाषाओं के बीच की कड़ी इस प्रकार है: प्रत्येक ${\mathfrak {p}}\in P$ के लिए, कोई $K$ के एक अद्वितीय सामान्यीकृत मूल्यांकन $v_{\mathfrak {p}}$ को संबद्ध कर सकता है जिसका मूल्यांकन वलय $A_{\mathfrak {p}}$ है। तब समुच्चय ${\mathcal {V}}=\{v_{\mathfrak {p}}\}$ समतुल्य परिभाषा की शर्तों को संतुष्ट करता है। इसके विपरीत, यदि समुच्चय ${\mathcal {V}}'=\{v_{i}\}$ ऊपर जैसा है, और $v_{i}$ को सामान्यीकृत किया गया है, तो ${\mathcal {V}}'$ से बड़ा हो सकता है, लेकिन इसमें ${\mathcal {V}}$ शामिल होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, ${\mathcal {V}}$ समान परिभाषा को संतुष्ट करने वाले सामान्यीकृत मूल्यांकन का न्यूनतम सेट है।

क्रुल के वलय को प्रस्तुत करने और परिभाषित करने के अन्य तरीके हैं I क्रुल के वलयों के सिद्धांत को विभाजनकारी आदर्शों के सिद्धांत के साथ सहक्रिया में उजागर किया जा सकता है। इस विषय पर सबसे अच्छे पी. सैमुअल का लेक्चर ऑन यूनिक फैक्टराइजेशन डोमेन संदर्भों में से एक है।

गुण

ऊपर दिए गए नोटेशन के साथ, $v_{\mathfrak {p}}$ मूल्यांकन वलय $A_{\mathfrak {p}}$ के अनुरूप सामान्यीकृत मूल्यांकन को दर्शाता है, $U$$A$ की इकाइयों के सेट को दर्शाता है, और $K$ इसके भागफल क्षेत्र।

• एक अवयव $x\in K$, $U$ से संबंधित है यदि, और केवल यदि, प्रत्येक ${\mathfrak {p}}\in P$ के लिए $v_{\mathfrak {p}}(x)=0$ है। दरअसल, इस मामले में, $x\not \in A_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}$ प्रत्येक ${\mathfrak {p}}\in P$ के लिए, इसलिए $x^{-1}\in A_{\mathfrak {p}}$; प्रतिच्छेदन गुण द्वारा, $x^{-1}\in A$ इसके विपरीत, यदि $x$ और $x^{-1}$ $A$ में हैं, तो $v_{\mathfrak {p}}(xx^{-1})=v_{\mathfrak {p}}(1)=0=v_{\mathfrak {p}}(x)+v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})$, इसलिए $v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})=0$, क्योंकि दोनों संख्याएँ $\geq 0$ होनी चाहिए।
• एक अवयव $x\in A$ विशिष्ट रूप से, $A$ की एक इकाई तक, मानों $v_{\mathfrak {p}}(x)$, ${\mathfrak {p}}\in P$ द्वारा निर्धारित किया जाता है। दरअसल, यदि $v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(y)$ प्रत्येक ${\mathfrak {p}}\in P$ के लिए, तब $v_{\mathfrak {p}}(xy^{-1})=0$, इसलिए $xy^{-1}\in U$ उपरोक्त गुण द्वारा। इससे पता चलता है कि अनुप्रयोग $x\ {\rm {mod}}\ U\mapsto \left(v_{\mathfrak {p}}(x)\right)_{{\mathfrak {p}}\in P}$अच्छी तरह से परिभाषित है, और चूँकि $v_{\mathfrak {p}}(x)\not =0$ केवल बहुत सारे ${\mathfrak {p}}$ के लिए है, यह $P$ के तत्वों से उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह में $A^{\times }/U$ का अंतःस्थापन है। इस प्रकार, बाद के समूह के लिए गुणात्मक संकेतन "⋅ \cdot" का उपयोग करते हुए, प्रत्येक $x\in A^{\times }$, $x=1\cdot {\mathfrak {p}}_{1}^{\alpha _{1}}\cdot {\mathfrak {p}}_{2}^{\alpha _{2}}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}^{\alpha _{n}}\ {\rm {mod}}\ U$, जहां ${\mathfrak {p}}_{i}$ $P$ वाले $x$ के तत्व हैं, और $\alpha _{i}=v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x)$।
• मूल्यांकन $v_{\mathfrak {p}}$ जोड़ीदार स्वतंत्र हैं। नतीजतन, तथाकथित कमजोर सन्निकटन प्रमेय है, चीनी शेष प्रमेय का एक समरूपता: यदि ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots {\mathfrak {p}}_{n}$ के विशिष्ट तत्व हैं $P$, $x_{1},\ldots x_{n}$ के संबंधित $K$ (प्रति. $A_{\mathfrak {p}}$), और $a_{1},\ldots a_{n}$ हैं $n$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो वहाँ मौजूद हैं $x\in K$ (प्रति. $x\in A_{\mathfrak {p}}$) ऐसा है कि $v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x-x_{i})=n_{i}$ हरएक के लिए $i$.
• दो तत्व $x$ और $y$ का $A$ यदि कोप्राइम हैं $v_{\mathfrak {p}}(x)$ और $v_{\mathfrak {p}}(y)$ दोनों नहीं हैं $>0$ हरएक के लिए ${\mathfrak {p}}\in P$. मूल्यांकन के मूल गुणों का अर्थ है कि इष्टतमता का एक अच्छा सिद्धांत धारण करता है $A$.
• प्रत्येक प्रधान आदर्श $A$ का तत्व होता है $P$.
• क्रुल डोमेन का कोई परिमित चौराहा जिसका भागफल क्षेत्र समान है, फिर से एक क्रुल डोमेन है।
• अगर $L$ का उपक्षेत्र है $K$, तब $A\cap L$ एक क्रुल डोमेन है।
• अगर $S\subset A$ गुणनात्मक रूप से बंद समुच्चय है जिसमें 0 नहीं है, भागफल का वलय $S^{-1}A$ फिर से एक क्रुल डोमेन है। वास्तव में, के आवश्यक मूल्यांकन $S^{-1}A$ क्या वे मूल्यांकन हैं $v_{\mathfrak {p}}$ (का $K$) जिसके लिए ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$.
• अगर $L$ का परिमित बीजगणितीय विस्तार है $K$, और $B$ का अभिन्न समापन है $A$ में $L$, तब $B$ एक क्रुल डोमेन है।

उदाहरण

1. कोई भी अद्वितीय कारक डोमेन एक क्रुल डोमेन है। इसके विपरीत, एक क्रुल डोमेन एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है यदि (और केवल यदि) ऊंचाई का प्रत्येक प्रमुख आदर्श एक प्रमुख है। # प्रत्येक एकीकृत रूप से बंद डोमेन नोथेरियन रिंग इंटीग्रल डोमेन एक क्रुल डोमेन है। विशेष रूप से, डेडेकाइंड डोमेन क्रुल डोमेन हैं। इसके विपरीत, क्रुल डोमेन अभिन्न रूप से बंद हैं, इसलिए एक नोथेरियन डोमेन क्रुल है यदि और केवल अगर यह अभिन्न रूप से बंद है।
2. अगर $A$ एक क्रुल डोमेन है तो बहुपद अंगूठी भी है $A[x]$ और पावर श्रृंखला की अंगूठी $A[[x]]$.
3. बहुपद वलय $R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$ एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन पर असीम रूप से कई चर $R$ एक क्रुल डोमेन है जो नोथेरियन नहीं है।
4. होने देना $A$ भागफल क्षेत्र के साथ एक नोथेरियन रिंग इंटीग्रल डोमेन बनें $K$, और $L$ का क्षेत्र विस्तार हो $K$. फिर का अभिन्न समापन $A$ में $L$ एक क्रुल डोमेन (मोरी-नागाटा प्रमेय) है। यह ऊपर नंबर 2 से आसानी से अनुसरण करता है।
5. होने देना $A$ एक जरिस्की रिंग हो (उदाहरण के लिए, एक स्थानीय नोथेरियन रिंग)। अगर पूरा हो रहा है ${\widehat {A}}$ एक क्रुल डोमेन है, फिर $A$ एक क्रुल डोमेन (मोरी) है।
6. होने देना $A$ एक क्रुल डोमेन हो, और $V$ एक प्रमुख तत्व की शक्तियों में शामिल गुणात्मक रूप से बंद सेट हो $p\in A$. तब $S^{-1}A$ एक क्रुल डोमेन (नागाटा) है।

== क्रुल रिंग == का भाजक वर्ग समूह

ये मान लीजिए $A$ एक क्रुल डोमेन है और $K$ इसका भागफल क्षेत्र है। का एक प्रमुख भाजक $A$ की ऊंचाई 1 प्रधान आदर्श है $A$. के प्रमुख भाजक का सेट $A$ अंकित किया जाएगा $P(A)$ अगली कड़ी में। ए (वील) का भाजक $A$ प्रधान विभाजकों का एक औपचारिक अभिन्न रैखिक संयोजन है। वे एक एबेलियन समूह बनाते हैं, विख्यात $D(A)$. रूप का एक भाजक $div(x)=\sum _{p\in P}v_{p}(x)\cdot p$, कुछ शून्य के लिए $x$ में $K$, प्रधान भाजक कहलाता है। के प्रमुख विभाजक $A$ विभाजकों के समूह का एक उपसमूह बनाते हैं (यह ऊपर दिखाया गया है कि यह समूह आइसोमोर्फिक है $A^{\times }/U$, कहाँ $U$ की एकता का समूह है $A$). प्रधान भाजकों के उपसमूह द्वारा भाजकों के समूह के भागफल को भाजक वर्ग समूह कहा जाता है $A$; यह आमतौर पर निरूपित किया जाता है $C(A)$.

ये मान लीजिए $B$ एक क्रुल डोमेन है जिसमें शामिल है $A$. हमेशा की तरह, हम कहते हैं कि एक प्रमुख आदर्श ${\mathfrak {P}}$ का $B$ एक प्रमुख आदर्श से ऊपर है ${\mathfrak {p}}$ का $A$ अगर ${\mathfrak {P}}\cap A={\mathfrak {p}}$; यह संक्षेप में है ${\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}}$.

के शाखा सूचकांक को निरूपित करें $v_{\mathfrak {P}}$ ऊपर $v_{\mathfrak {p}}$ द्वारा $e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}})$, और तक $P(B)$ के प्रधान विभाजक का सेट $B$. एप्लिकेशन को परिभाषित करें $P(A)\to D(B)$ द्वारा

$j({\mathfrak {p}})=\sum _{{\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}},\ {\mathfrak {P}}\in P(B)}e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}}){\mathfrak {P}}$

(उपरोक्त राशि प्रत्येक के बाद से परिमित है $x\in {\mathfrak {p}}$ के अधिक से अधिक सूक्ष्म रूप से अनेक तत्वों में समाहित है $P(B)$). आवेदन का विस्तार करें $j$ एक रैखिक अनुप्रयोग के लिए रैखिकता द्वारा $D(A)\to D(B)$. अब कोई पूछ सकता है कि किन मामलों में $j$ रूपवाद उत्पन्न करता है ${\bar {j}}:C(A)\to C(B)$. इससे कई परिणाम निकलते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित गॉस के एक प्रमेय का सामान्यीकरण करता है:

आवेदन पत्र ${\bar {j}}:C(A)\to C(A[X])$ विशेषण है। विशेष रूप से, अगर $A$ एक अद्वितीय कारककरण डोमेन है, तो ऐसा है $A[X]$. क्रुल रिंग्स के विभाजक वर्ग समूह का उपयोग शक्तिशाली वंश विधियों और विशेष रूप से गैलोज़ियन वंश को स्थापित करने के लिए भी किया जाता है।

कार्टियर भाजक

क्रुल रिंग का कार्टियर भाजक स्थानीय रूप से प्रमुख (वील) भाजक है। कार्टियर विभाजक प्रधान विभाजक वाले विभाजकों के समूह का एक उपसमूह बनाते हैं। प्रमुख विभाजकों द्वारा कार्टियर विभाजकों का भाग भाजक वर्ग समूह का एक उपसमूह है, जो स्पेक (ए) पर उल्टे ढेरों के पिकार्ड समूह के लिए आइसोमॉर्फिक है।

उदाहरण: वलय में k[x,y,z]/(xy–z²) भाजक वर्ग समूह का क्रम 2 है, जो भाजक y = z द्वारा उत्पन्न होता है, लेकिन पिकार्ड उपसमूह तुच्छ समूह है।

संदर्भ

• N. Bourbaki. Commutative algebra.
• "Krull ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Krull, Wolfgang (1931), "Allgemeine Bewertungstheorie", J. Reine Angew. Math., 167: 160–196, archived from the original on January 6, 2013
• Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra. Second Edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9
• Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman (ed.), Lectures on unique factorization domains, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, vol. 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0214579