निश्चित-बिंदु प्रमेय

गणित में, निश्चित-बिंदु प्रमेय परिणाम है जो कहता है, कि (गणित) F पर कुछ नियमो के अनुसार फ़ंक्शन में कम से कम निश्चित बिंदु (गणित) होगा, जिसे सामान्य शब्दों में कहा जा सकता है।^[1]

गणितीय विश्लेषण में

बानाच निश्चित-बिंदु प्रमेय (1922) सामान्य मानदंड देता है जो आश्वासन देता है कि, यदि यह संतुष्ट है, तो पुनरावृत्ति की प्रक्रिया निश्चित बिंदु उत्पन्न करती है।^[2] इसके विपरीत, ब्रोवर निश्चित-बिंदु प्रमेय (1911)रचनात्मक परिणाम है यह कहता है कि एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन अंतरिक्ष में संवृत यूनिट बॉल से किसी भी निरंतर कार्य का निश्चित बिंदु होना चाहिए,^[3] किन्तु यह वर्णन नहीं करता है कि निश्चित बिंदु का शोधन किस प्रकार किया जाये।

उदाहरण के लिए, कोज्या फलन [−1,1] में निरंतर है एवं इसे [−1, 1] में मैप करता है, इस प्रकार निश्चित बिंदु होना चाहिए। कोसाइन फ़ंक्शन के स्केच किए गए ग्राफ़ का परिक्षण करते समय यह स्पष्ट होता है; निश्चित बिंदु तब होता है जहां कोज्या वक्र y = cos(x) रेखा y = x को प्रतिच्छेद करता है। संख्यात्मक रूप से, नियत बिंदु लगभग x = 0.73908513321516 (इस प्रकार x के इस मान के लिए x = cos(x)) है।

बीजगणितीय टोपोलॉजी से लेफशेट्ज़ निश्चित-बिंदु प्रमेय^[4] (एवं नीलसन सिद्धांत-बिंदु प्रमेय)^[5] उल्लेखनीय है, क्योंकि यह निश्चित बिंदुओं को गणन करने की प्रविधि देता है।

बानाच निश्चित-बिंदु प्रमेय एवं आगे के लिए कई सामान्यीकरण हैं; इन्हें आंशिक अंतर समीकरण सिद्धांत में प्रारम्भ किया जाता है। अनंत-आयामी स्थानों में निश्चित-बिंदु प्रमेय देखें।

फ्रैक्टल संपीड़न में कोलाज प्रमेय यह प्रमाणित करता है कि, कई छवियों के लिए, फ़ंक्शन के अपेक्षाकृत अल्प विवरण उपस्थित होता है, जब इसे किसी भी प्रारंभिक छवि पर पुनरावृत्त रूप से प्रारम्भ किया जाता है, तो वांछित छवि पर तीव्रता से अभिसरण होता है।^[6]

बीजगणित एवं असतत गणित में

नास्टर-टार्स्की प्रमेय में कहा गया है कि पूर्ण जाली पर किसी भी आदेश-संरक्षण कार्य निश्चित बिंदु होता है, एवं वास्तव में सबसे अल्प निश्चित बिंदु होता है।^[7] बोरबाकी-विट प्रमेय भी देखें।

प्रमेय में अमूर्त व्याख्या में अनुप्रयोग हैं, जो स्थैतिक कार्यक्रम विश्लेषण का रूप होता है।

लैम्ब्डा कैलकुलस में एक सामान्य विषय दिए गए लैम्ब्डा एक्सप्रेशन के निश्चित बिंदुओं को खोजना है। प्रत्येक लैम्ब्डा एक्सप्रेशन का एक निश्चित बिंदु होता है, एवं एक निश्चित-बिंदु कॉम्बिनेटर एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जो इनपुट के रूप में एक लैम्ब्डा एक्सप्रेशन लेता है एवं आउटपुट के रूप में उस एक्सप्रेशन का एक निश्चित बिंदु उत्पन्न करता है।^[8] एक महत्वपूर्ण निश्चित-बिंदु कॉम्बिनेटर निश्चित-बिंदु कॉम्बिनेटर #Y कॉम्बिनेटर है जिसका उपयोग रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान) की परिभाषा देने के लिए किया जाता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं के सांकेतिक शब्दार्थ में, पुनरावर्ती परिभाषाओं के शब्दार्थ को स्थापित करने के लिए नास्टर-टार्स्की प्रमेय का एक विशेष मामला उपयोग किया जाता है। जबकि निश्चित-बिंदु प्रमेय एक ही कार्य (तार्किक दृष्टिकोण से) पर प्रारम्भ होता है, सिद्धांत का विकास काफी भिन्न होता है।

क्लेन के पुनरावर्तन प्रमेय को प्रारम्भ करकेसंगणनीयता सिद्धांत सिद्धांत में पुनरावर्ती कार्य की एक ही परिभाषा दी जा सकती है।^[9] ये परिणाम समतुल्य प्रमेय नहीं हैं; नास्टर-टार्स्की प्रमेय, निरूपण शब्दार्थ में उपयोग किए जाने वाले परिणामों की तुलना में बहुत मजबूत परिणाम है।^[10] हालांकि, चर्च-ट्यूरिंग थीसिस के प्रकाश में उनका सहज अर्थ समान है: एक पुनरावर्ती कार्य को एक निश्चित कार्यात्मक, मानचित्रण कार्यों के कार्यों के कम से कम निश्चित बिंदु के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

एक निश्चित बिंदु खोजने के लिए एक फ़ंक्शन को पुनरावृत्त करने की उपरोक्त तकनीक का उपयोग सेट सिद्धांत में भी किया जा सकता है; सामान्य कार्यों के लिए निश्चित-बिंदु लेम्मा बताता है कि क्रमिक संख्या से क्रमांक तक किसी भी निरंतर सख्ती से बढ़ते कार्य में एक (एवं वास्तव में कई) निश्चित बिंदु होते हैं।

poset पर प्रत्येक संवृत करने वाला ऑपरेटर के कई निश्चित बिंदु होते हैं; क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में ये संवृत तत्व हैं, एवं ये मुख्य कारण हैं कि क्लोजर ऑपरेटर को पहले स्थान पर परिभाषित किया गया था।

तत्वों की एक विषम संख्या के साथ परिमित सेट पर प्रत्येक समावेशन (गणित) का एक निश्चित बिंदु होता है; अधिक आम तौर पर, तत्वों के परिमित सेट पर प्रत्येक समावेशन के लिए, तत्वों की संख्या एवं निश्चित बिंदुओं की संख्या में समान समानता (गणित) होती है। डॉन ज़गियर ने इन अवलोकनों का उपयोग दो वर्गों के योगों पर फ़र्मेट के प्रमेय का एक-वाक्य प्रमाण देने के लिए किया, पूर्णांकों के त्रिगुणों के एक ही सेट पर दो अंतर्वलन का वर्णन करके, जिनमें से एक को आसानी से केवल एक निश्चित बिंदु एवं दूसरे को दिखाया जा सकता है। जिनमें से दो वर्गों के योग के रूप में दिए गए प्राइम (1 मॉड 4 के अनुरूप) के प्रत्येक प्रतिनिधित्व के लिए एक निश्चित बिंदु है। चूँकि पहले इनवोल्यूशन में विषम संख्या में निश्चित बिंदु होते हैं, इसलिए दूसरा भी होता है, एवं इसलिए वहाँ हमेशा वांछित रूप का प्रतिनिधित्व होता है।^[11]