भूतल गुरुत्वाकर्षण

किसी खगोलीय पिंड का सतह गुरुत्व,g भूमध्य रेखा पर इसकी सतह पर अनुभव किया जाने वाला गुरुत्वीय त्वरण है जिसमें घूर्णन के प्रभाव भी सम्मिलित हैं। सतह के गुरुत्वाकर्षण को एक काल्पनिक परीक्षण कण द्वारा अनुभव किए गए गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के रूप में माना जा सकता है जो वस्तु की सतह के बहुत समीप है और जो प्रणाली को व्यवधान न करने के लिए नगण्य द्रव्यमान है। उन वस्तुओं के लिए जहां सतह वायुमंडल में गहरी है और त्रिज्या ज्ञात नहीं है, सतह का गुरुत्वाकर्षण वातावरण में 1 बार दबाव स्तर पर दिया जाता है।

भूतल गुरुत्व को त्वरण की इकाइयों में मापा जाता है जो कि एसआई इकाई प्रणाली में मीटर प्रति सेकंड वर्ग हैं। इसे पृथ्वी के मानक गुरुत्व के गुणक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है जो इसके समान

g = 9.80665 m/s²

खगोलभौतिकी में सतह के गुरुत्व को लॉग g के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जो पहले गुरुत्वाकर्षण को सीजीएस इकाइयों में व्यक्त करके प्राप्त किया जाता है जहां त्वरण और सतह के गुरुत्वाकर्षण की इकाई सेंटीमीटर प्रति सेकंड वर्ग (सेमी/से²) और फिर सतह के गुरुत्वाकर्षण के सीजीएस मान का आधार-10 लघुगणक लेना। इसलिए पृथ्वी की सतह के गुरुत्वाकर्षण को सीजीएस इकाइयों में 980.665 cm/s² व्यक्त किया जा सकता है और फिर 980.665 का आधार-10 लघुगणक (लॉग g) लेते हैं, और हमें लॉग g के रूप में 2.992 मिलता है।

एक सफेद वामन की सतह का गुरुत्वाकर्षण बहुत अधिक होता है और एक न्यूट्रॉन स्टार का और भी अधिक एक सफेद वामन की सतह का गुरुत्वाकर्षण लगभग 100,000 ग्राम (9.8×10⁵ m/s²) जबकि न्यूट्रॉन तारे की सघनता इसे 7×10¹² m/s² सतह का गुरुत्व देती है क्रम के विशिष्ट मानो के साथ 10¹² m/s² (जो कि पृथ्वी से 10¹¹ गुना ज्यादा है)। इस तरह के अत्यधिक गुरुत्व का एक माप यह है कि न्यूट्रॉन सितारों में प्रकाश की गति का लगभग 100,000 किमी/सेकेंड है जो प्रकाश की गति का लगभग एक तिहाई है। ब्लैक होल के लिए, सतह के गुरुत्वाकर्षण की गणना सापेक्ष रूप से की जानी चाहिए।

द्रव्यमान और त्रिज्या के लिए सतह के गुरुत्वाकर्षण का संबंध

Surface gravity of various
Solar System bodies
(1 g = 9.80665 m/s², the surface gravitational acceleration on Earth)

Name	Surface gravity
Sun	28.02 g
Mercury	0.377 g
Venus	0.905 g
Earth	1 g (midlatitudes)
Moon	0.165 7 g (average)
Mars	0.379 g (midlatitudes)
Phobos	0.000 581 g
Deimos	0.000 306 g
Pallas	0.022 g (equator)
Vesta	0.025 g (equator)
Ceres	0.029 g
Jupiter	2.528 g (midlatitudes)
Io	0.183 g
Europa	0.134 g
Ganymede	0.146 g
Callisto	0.126 g
Saturn	1.065 g (midlatitudes)
Mimas	0.00648 g
Enceladus	0.0115 g
Tethys	0.0149 g
Dione	0.0237 g
Rhea	0.0269 g
Titan	0.138 g
Hyperion	0.0017–0.0021 g (depending on location)
Iapetus	0.0228 g
Phoebe	0.0039–0.0051 g
Uranus	0.886 g (equator)
Miranda	0.0079 g
Ariel	0.0254 g
Umbriel	0.023 g
Titania	0.0372 g
Oberon	0.0361 g
Neptune	1.137 g (midlatitudes)
Proteus	0.007 g
Triton	0.0794 g
Pluto	0.063 g
Charon	0.0294 g
Eris	0.084 g
Haumea	0.0247 g (equator)
67P-CG	0.000 017 g

गुरुत्वाकर्षण के न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत में किसी वस्तु द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल उसके द्रव्यमान के समानुपाती होता है: दो बार द्रव्यमान वाली वस्तु दो गुना अधिक बल उत्पन्न करती है। न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण भी एक व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करता है जिससे कि किसी वस्तु को दो बार दूर ले जाने से उसके गुरुत्वाकर्षण बल को चार से विभाजित किया जाता है और इसे दस गुना दूर ले जाने पर इसे 100 से विभाजित किया जाता है। यह प्रकाश की तीव्रता के समान है जो इस प्रकार भी है। एक व्युत्क्रम वर्ग नियम: दूरी के संबंध में प्रकाश कम दिखाई देता है। सामान्यतया इसे त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु-स्रोत विकिरण के अनुरूप ज्यामितीय अशक्त पड़ने के रूप में समझा जा सकता है।

एक बड़ी वस्तु जैसे कि एक ग्रह या तारा, सामान्यतः लगभग गोल होगा, हाइड्रोस्टेटिक संतुलन (जहां सतह पर सभी बिंदुओं पर गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा की समान मात्रा होती है) के समीप पहुंच जाएगा। एक छोटे मापदंड पर, भू-भाग के उच्च भागों का क्षरण होता है, भू-भाग के निचले हिस्सों में अपरदित पदार्थ जमा होती है। बड़े मापदंड पर ग्रह या तारा तब तक विकृत हो जाता है जब तक संतुलन नहीं हो जाता। अधिकांश आकाशीय पिंडों के लिए इसका परिणाम यह होता है कि प्रश्न में ग्रह या तारे को निकट-परिपूर्ण क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है जब घूर्णन दर कम होती है। चूँकि युवा विशाल सितारों के लिए भूमध्यरेखीय दिगंश वेग बहुत अधिक हो सकता है—200 किमी/सेकेंड या उससे अधिक—जिससे भूमध्यरेखीय उभार की एक महत्वपूर्ण मात्रा उत्पन्न होती है। इस तरह के तारकीय घूर्णन के उदाहरणों में एछेर्नार, अल्टेयर, रेगुलस और वेगा सम्मिलित हैं।

तथ्य यह है कि कई बड़े आकाशीय पिंड लगभग गोल हैं इससे उनके सतह के गुरुत्वाकर्षण की गणना करना आसान हो जाता है। शेल प्रमेय के अनुसार गोलाकार रूप से सममित निकाय के बाहर गुरुत्वाकर्षण बल वही होता है जैसे कि इसका पूरा द्रव्यमान केंद्र में केंद्रित होता है, जैसा कि सर आइजैक न्यूटन द्वारा स्थापित किया गया था। इसलिए किसी दिए गए द्रव्यमान के साथ किसी ग्रह या तारे का सतही गुरुत्व उसकी त्रिज्या के वर्ग के लगभग व्युत्क्रमानुपाती होगा और किसी दिए गए औसत घनत्व वाले ग्रह या तारे का सतही गुरुत्व लगभग उसकी त्रिज्या के समानुपाती होगा। उदाहरण के लिए, वर्तमान ही में खोजे गए ग्रह ग्लिसे 581 सी, का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का कम से कम 5 गुना है, किन्तु इसकी सतह के गुरुत्वाकर्षण का 5 गुना होने की संभावना नहीं है। यदि इसका द्रव्यमान पृथ्वी के 5 गुना से अधिक नहीं है जैसा कि अपेक्षित है, और यदि यह एक बड़े लोहे के कोर वाला एक चट्टानी ग्रह है, तो इसकी सीमा पृथ्वी की तुलना में लगभग 50% बड़ा होना चाहिए। ऐसे ग्रह की सतह पर गुरुत्वाकर्षण पृथ्वी की तुलना में लगभग 2.2 गुना अधिक शसक्त होगा। यदि यह एक बर्फीले या पानी से भरा ग्रह है तो इसकी त्रिज्या पृथ्वी से दोगुनी हो सकती है इस स्थिति में इसकी सतह का गुरुत्वाकर्षण पृथ्वी की तुलना में 1.25 गुना अधिक शसक्त नहीं हो सकता है।

इन अनुपातों को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

$g\propto {\frac {m}{r^{2}}}$

जहाँ g किसी वस्तु का सतही गुरुत्वाकर्षण है जिसे पृथ्वी के गुणक के रूप में व्यक्त किया जाता है, m उसका द्रव्यमान है, जिसे पृथ्वी के द्रव्यमान (5.976·10²⁴ kg) के गुणक के रूप में व्यक्त किया जाता है और r इसकी त्रिज्या है जिसे पृथ्वी की (औसत) त्रिज्या (6,371 km) के गुणक के रूप में व्यक्त किया गया है। उदाहरण के लिए, मंगल का द्रव्यमान 6.4185·10²³ kg = 0.107 है पृथ्वी द्रव्यमान और 3,390 km का औसत सीमा = 0.532 पृथ्वी त्रिज्या है। इसलिए मंगल की सतह का गुरुत्वाकर्षण लगभग है

${\frac {0.107}{0.532^{2}}}=0.38$

संदर्भ निकाय के रूप में पृथ्वी का उपयोग किए बिना सतह के गुरुत्वाकर्षण की गणना सीधे न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से की जा सकती है जो सूत्र देता है

$g={\frac {GM}{r^{2}}}$

जहाँ M वस्तु का द्रव्यमान है, r उसकी त्रिज्या है और G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। यदि हम ρ = M/V वस्तु के औसत घनत्व को निरूपित करते हैं, तो हम इसे इस रूप में भी लिख सकते हैं

$g={\frac {4\pi }{3}}G\rho r$

जिससे स्थिर माध्य घनत्व के लिए, सतह का गुरुत्व g त्रिज्या r के समानुपाती हो।

चूंकि गुरुत्वाकर्षण दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है इसलिए पृथ्वी से 400 किमी ऊपर एक अंतरिक्ष स्टेशन लगभग उतना ही गुरुत्वाकर्षण बल अनुभव करता है जितना हम पृथ्वी की सतह पर अनुभव करते हैं। एक अंतरिक्ष स्टेशन जमीन पर नहीं गिरता क्योंकि यह पृथ्वी के चारों ओर एक कक्षा में है।

गैस दिग्गज

बृहस्पति, शनि, यूरेनस और नेप्च्यून जैसे विशाल गैसीय ग्रहों के लिए सतह का गुरुत्व वातावरण में 1 बार दबाव स्तर पर दिया जाता है।

गैर-गोलाकार सममित वस्तुएं

अधिकांश वास्तविक खगोलीय पिंड पूरी तरह गोलाकार रूप से सममित नहीं होते हैं। इसका एक कारण यह है कि वे अधिकांशतः घूमते रहते हैं जिसका अर्थ है कि वे गुरुत्वाकर्षण और केन्द्रापसारक बल के संयुक्त प्रभाव से प्रभावित होते हैं। यह तारों और ग्रहों को तिरछा होने का कारण बनता है जिसका अर्थ है कि ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर उनकी सतह का गुरुत्वाकर्षण छोटा होता है। हैल क्लेमेंट द्वारा अपने एसएफ उपन्यास गुरुत्वाकर्षण का मिशन में इस प्रभाव का लाभ उठाया गया था जो एक विशाल तेजी से घूमने वाले ग्रह से निपटता है जहां भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर गुरुत्वाकर्षण बहुत अधिक था।

इस सीमा तक कि किसी वस्तु का द्रव्यमान का आंतरिक वितरण एक सममित मॉडल से भिन्न होता है हम वस्तु की आंतरिक संरचना के बारे में चीजों को निकालने के लिए मापी गई सतह के गुरुत्वाकर्षण का उपयोग कर सकते हैं। इस तथ्य को 1915-1916 के बाद से व्यावहारिक उपयोग में लाया गया है जब रोलैंड इओट्वोस के टोशन संतुलन का उपयोग एगबेल शहर (अब गेबली, स्लोवाकिया) के पास तेल की संभावना के लिए किया गया था।^{, पी। 1663;, पी। 223.} 1924 में, टेक्सास में नैश डोम तेल क्षेत्रों का पता लगाने के लिए टोशन संतुलन का उपयोग किया गया था।^{, पी। 223.}

यह कभी-कभी साधारण काल्पनिक वस्तुओं की सतह के गुरुत्वाकर्षण की गणना करने के लिए उपयोगी होता है जो प्रकृति में नहीं पाए जाते हैं। वास्तविक संरचनाओं के व्यवहार में अंतर्दृष्टि प्रदान करने के लिए अनंत विमानों, ट्यूबों, रेखाओं, खोखले गोले, शंकु और इससे भी अधिक अवास्तविक संरचनाओं की सतह के गुरुत्वाकर्षण का उपयोग किया जा सकता है।

ब्लैक होल

सापेक्षता में त्वरण की न्यूटोनियन अवधारणा स्पष्ट नहीं है। एक ब्लैक होल के लिए जिसे सापेक्ष रूप से व्यवहार किया जाना चाहिए सतह के गुरुत्वाकर्षण को वस्तु की सतह पर एक परीक्षण निकाय द्वारा अनुभव किए गए त्वरण के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है क्योंकि कोई सतह नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक ब्लैक होल के घटना क्षितिज पर एक परीक्षण पिंड का त्वरण सापेक्षता में अनंत हो जाता है। इस वजह से एक असामान्य मान का उपयोग किया जाता है जो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में न्यूटोनियन मान के अनुरूप होता है। उपयोग किया जाने वाला मान सामान्यतः स्थानीय उचित त्वरण (जो घटना क्षितिज पर विचलन करता है) को गुरुत्वाकर्षण समय फैलाव कारक (जो घटना क्षितिज पर शून्य हो जाता है) से गुणा किया जाता है। श्वार्ज़स्चिल्ड मामले के लिए, यह मान r और M के सभी गैर-शून्य मानों के लिए गणितीय रूप से अच्छा व्यवहार करता है।

जब कोई ब्लैक होल की सतह के गुरुत्वाकर्षण के बारे में बात करता है तो वह एक ऐसी धारणा को परिभाषित कर रहा है जो न्यूटोनियन सतह के गुरुत्वाकर्षण के समान व्यवहार करती है किन्तु यह एक ही चीज नहीं है। वास्तव में एक सामान्य ब्लैक होल की सतह का गुरुत्वाकर्षण अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। चूँकि एक ब्लैक होल के लिए सतह के गुरुत्वाकर्षण को परिभाषित किया जा सकता है जिसका घटना क्षितिज एक किलिंग क्षितिज है।

स्थिर किलिंग क्षितिज का सतही गुरुत्व $\kappa$ त्वरण है जैसा कि अनंत पर लगाया जाता है किसी वस्तु को क्षितिज पर रखने के लिए आवश्यक होता है। गणितीय रूप से, यदि $k^{a}$उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत किलिंग सदिश है तो सतह के गुरुत्वाकर्षण को इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है

$k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b},$

जहां क्षितिज पर समीकरण का मूल्यांकन किया जाता है। एक स्थिर और असम्बद्ध रूप से समतल स्पेसटाइम के लिए, सामान्यीकरण को चुना जाना चाहिए जिससे $k^{a}k_{a}\rightarrow -1$ के रूप में और जिससे $r\rightarrow \infty$. स्च्वार्जस्चिल्ड $\kappa \geq 0$ समाधान के लिए हम $k^{a}$ को समय अनुवादकिलिंग सदिश $k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}$, और सामान्यतः केर- के लिए लें न्यूमैन समाधान हम लेते हैं $k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}+\Omega {\frac {\partial }{\partial \varphi }}$समय अनुवाद और अक्षीयता का रैखिक संयोजन किलिंग सामान्यतः जो क्षितिज पर शून्य है, जहां $\Omega$ कोणीय वेग है।

श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान

चूंकि $k^{a}$ एक किलिंग सदिश है $k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}$ का तात्पर्य है $-k^{a}\,\nabla ^{b}k_{a}=\kappa k^{b}$ {$(t,r,\theta ,\varphi )$} में $k^{a}=(1,0,0,0)$निर्देशांक होते हैं। उन्नत एडिंगटन-फिंकलेस्टीन निर्देशांक में एक समन्वय परिवर्तन करना $v=t+r+2M\ln |r-2M|$मीट्रिक को 0 का रूप लेने का कारण बनता है।

.

$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dv^{2}+(\,dv\,dr+\,dr\,dv)+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right).$

निर्देशांक के एक सामान्य परिवर्तन के तहत किलिंग सदिश $k^{v}=A_{t}^{v}k^{t}$ के रूप में रूपांतरित होता है जिससे सदिश $k^{a'}=\delta _{v}^{a'}=(1,0,0,0)$ और

$k_{a'}=g_{a'v}=\left(-1+{\frac {2M}{r}},1,0,0\right).$

$k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}$ के लिए b = v प्रविष्टि को ध्यान में रखते हुए अवकल समीकरण $-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-1+{\frac {2M}{r}}\right)=\kappa .$ देता है।

इसलिए, द्रव्यमान $M$ के साथ श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान के लिए सतह गुरुत्वाकर्षण $\kappa ={\frac {1}{4M}}(={\frac {c^{4}}{4GM}}$ SI इकाइयों में)

केर समाधान

अनावेशित घूर्णन करने वाले ब्लैक होल के लिए सतह का गुरुत्वाकर्षण सरल है

$\kappa =g-k,$

जहां $g={\frac {1}{4M}}$ स्च्वार्जस्चिल्ड सरफेस गुरुत्वाकर्षण है, और $k:=M\Omega _{+}^{2}$ घूमते हुए ब्लैक का स्प्रिंग स्थिरांक है छेद। $\Omega _{+}$ घटना क्षितिज पर कोणीय वेग है। यह व्यंजक $2\pi T=g-k$ का साधारण हॉकिंग तापमान देता है

केर-न्यूमैन समाधान

केर-न्यूमैन समाधान के लिए सतह का गुरुत्वाकर्षण है

$\kappa ={\frac {r_{+}-r_{-}}{2(r_{+}^{2}+a^{2})}}={\frac {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}{2M^{2}-Q^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}},$

जहाँ $Q$ विद्युत आवेश है, $J$ कोणीय गति है, हम परिभाषित करते हैं $r_{\pm }:=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}$ दो क्षितिजों के स्थान होने के लिए और $a:=J/M$.है

गतिशील ब्लैक होल

स्थिर ब्लैक होल के लिए सतही गुरुत्वाकर्षण अच्छी तरह से परिभाषित है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सभी स्थिर ब्लैक होल में एक क्षितिज होता है जो कि किलिंग रहा है। वर्तमान में डायनेमिक ब्लैक होल की सतह के गुरुत्वाकर्षण को परिभाषित करने की दिशा में एक बदलाव आया है जिसका स्पेसटाइम किलिंग सदिश क्षेत्र किलिंग सदिश (फील्ड) को स्वीकार नहीं करता है। विभिन्न लेखकों द्वारा वर्षों से कई परिभाषाएँ प्रस्तावित की गई हैं। वर्तमान में इस बात पर कोई सहमति या सहमति नहीं है कि कौन सी परिभाषा यदि कोई है, सही है।

गुरुत्वाकर्षण को परिभाषित करने की दिशा में एक बदलाव आया है जिसका स्पेसटाइम किलिंग सदिश क्षेत्र किलिंग सदिश (फील्ड) को स्वीकार नहीं करिभाषित करने की

बाहरी संबंध

• Newtonian surface gravity
• Exploratorium – Your Weight on Other Worlds