वेबर समस्या

ज्यामिति में, वेबर समस्या, जिसका नाम अल्फ्रेड वेबर के नाम पर रखा गया है, स्थान सिद्धांत में सबसे प्रसिद्ध समस्याओं में से एक है। इसके लिए विमान में एक बिंदु खोजने की आवश्यकता होती है जो इस बिंदु से 'एन' गंतव्य बिंदुओं तक परिवहन लागतों के योग को कम करता है, जहां अलग-अलग गंतव्य बिंदु प्रति यूनिट दूरी की अलग-अलग लागतों से जुड़े होते हैं।

वेबर समस्या ज्यामितीय माध्यिका का सामान्यीकरण करती है, जो मानती है कि प्रति इकाई दूरी पर परिवहन लागत सभी गंतव्य बिंदुओं के लिए समान है, और फ़र्मेट बिंदु की गणना करने की समस्या, तीन बिंदुओं का ज्यामितीय माध्य। इस कारण इसे कभी-कभी फ़र्मेट-वेबर समस्या भी कहा जाता है, हालांकि इसी नाम का उपयोग भारित ज्यामितीय मध्यिका समस्या के लिए भी किया गया है। वेबर समस्या बदले में आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या द्वारा सामान्यीकृत होती है, जो कुछ लागतों को नकारात्मक होने की अनुमति देती है, ताकि कुछ बिंदुओं से अधिक दूरी बेहतर हो।

फ़र्मेट, वेबर और आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्याओं की परिभाषा और इतिहास

	The Fermat problem	The Weber problem	The attraction-repulsion problem
First formulated by	Fermat (before 1640)	Simpson (1750)	Tellier (1985)
Geometrical solution of the triangle problem	Torricelli (1645)	Simpson (1750)	Tellier (2013)
Direct numerical solution of the triangle problem	Tellier (1972)	Tellier (1972)	Tellier (1985)
Iterative numerical solution of the problem	Kuhn and Kuenne (1962)	Kuhn and Kuenne (1962)	Chen, Hansen, Jaumard and Tuy (1992)

त्रिभुज मामले में, फर्मेट समस्या में तीन बिंदु ए, बी और सी के संबंध में एक बिंदु डी का पता लगाने में शामिल होता है ताकि डी और तीन अन्य बिंदुओं में से प्रत्येक के बीच की दूरी कम हो। यह 1640 से पहले प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फर्मेट द्वारा तैयार किया गया था, और इसे स्थान सिद्धांत और अंतरिक्ष-अर्थव्यवस्था दोनों की सच्ची शुरुआत के रूप में देखा जा सकता है। टॉरिकेली ने 1645 के आसपास इस समस्या का एक ज्यामितीय समाधान खोजा, लेकिन 325 से अधिक वर्षों के बाद भी इसका कोई प्रत्यक्ष संख्यात्मक समाधान नहीं था। कुह्न और कुएन 1962 में सामान्य फ़र्मेट समस्या के लिए एक पुनरावृत्त समाधान मिला, और 1972 में, ल्यूक नॉर्मैंड टेलर फर्मेट त्रिभुज समस्या का सीधा संख्यात्मक समाधान मिला, जो त्रिकोणमितीय है। कुह्न और कुएने का समाधान तीन से अधिक भुजाओं वाले बहुभुजों के मामले में लागू होता है, जो आगे बताए गए कारणों के लिए टेलर के समाधान के मामले में नहीं है।

वेबर समस्या में, त्रिभुज मामले में, तीन बिंदु ए, बी, और सी के संबंध में बिंदु डी का पता लगाने में इस तरह से होता है कि डी और तीन अन्य बिंदुओं में से प्रत्येक के बीच परिवहन लागत का योग न्यूनतम हो जाता है। वेबर समस्या फ़र्मेट समस्या का एक सामान्यीकरण है क्योंकि इसमें समान और असमान आकर्षक बल (नीचे देखें) दोनों शामिल हैं, जबकि फ़र्मेट समस्या केवल समान आकर्षक बलों से संबंधित है। यह पहली बार 1750 में थॉमस सिम्पसन द्वारा त्रिभुज मामले में ज्यामितीय रूप से तैयार किया गया था और हल किया गया था। इसे बाद में 1909 में अल्फ्रेड वेबर द्वारा लोकप्रिय बनाया गया। 1962 में पाया गया कुह्न और कुएन का पुनरावृत्त समाधान, और 1972 में पाया गया टेलर का समाधान वेबर त्रिकोण समस्या के साथ-साथ फर्मेट समस्या पर भी लागू होता है। कुह्न और कुएन का समाधान तीन से अधिक भुजाओं वाले बहुभुजों के मामले में भी लागू होता है।

अपने सरलतम संस्करण में, आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या में तीन बिंदु A के संबंध में एक बिंदु D का पता लगाना शामिल है₁, ए₂ और आर इस तरह से कि आकर्षक बल बिंदु ए द्वारा लगाए गए हैं₁ और ए₂, और बिंदु R द्वारा लगाया गया प्रतिकारक बल एक दूसरे को रद्द कर देता है जैसा कि इसे इष्टतम पर करना चाहिए। यह फ़र्मेट और वेबर दोनों समस्याओं का सामान्यीकरण करता है। यह पहली बार 1985 में ल्यूक-नॉर्मंड टेलर द्वारा त्रिभुज मामले में तैयार और हल किया गया था। 1992 में, चेन, हैनसेन, जौमर्ड और टीयू ने तीन से अधिक भुजाओं वाले बहुभुजों के मामले में टेलर समस्या का समाधान खोजा।

फ़र्मेट त्रिकोण समस्या का टोरिकेली का ज्यामितीय समाधान

फ़र्मेट त्रिभुज समस्या का टोरिकेली का ज्यामितीय समाधान।

इवेंजलिस्ता टोरिकेली का फ़र्मेट त्रिभुज समस्या का ज्यामितीय समाधान दो अवलोकनों से उपजा है:

1- बिंदु डी अपने इष्टतम स्थान पर है जब उस स्थान से कोई भी महत्वपूर्ण कदम संदर्भ बिंदु ए, बी, और सी के लिए कुल दूरी की शुद्ध वृद्धि को प्रेरित करता है, जिसका अर्थ है कि इष्टतम बिंदु एकमात्र बिंदु है जहां की ओर एक असीम गति है तीन संदर्भ बिंदुओं में से एक उस बिंदु की दूरी को कम करने के लिए प्रेरित करता है जो दो अन्य बिंदुओं की दूरी में प्रेरित परिवर्तनों के योग के बराबर है; वास्तव में, फर्मेट समस्या में, ए से दूरी को एक किलोमीटर कम करने का लाभ बी से दूरी को एक किलोमीटर या सी से दूरी को समान लंबाई से कम करने के लाभ के बराबर है; दूसरे शब्दों में, डी पर स्थित होने वाली गतिविधि ए, बी और सी द्वारा समान रूप से आकर्षित होती है;

2- यूक्लिडियन ज्यामिति के एक महत्वपूर्ण प्रमेय के अनुसार, एक वृत्त में खुदे हुए उत्तल चतुर्भुज में, विपरीत कोण पूरक होते हैं (अर्थात उनका योग 180° के बराबर होता है); वह प्रमेय निम्नलिखित रूप भी ले सकता है: यदि हम जीवा AB से एक वृत्त को काटते हैं, तो हमें दो वृत्त चाप मिलते हैं, मान लीजिए AiB और AjB; चाप AiB पर, किसी भी चुने हुए बिंदु i के लिए कोई भी ∠AiB कोण समान होता है, और चाप AjB पर, किसी भी चुने हुए बिंदु j के लिए सभी ∠AjB कोण भी बराबर होते हैं; इसके अलावा, ∠AiB और ∠AjB कोण संपूरक हैं।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि प्रथम प्रेक्षण का तात्पर्य है कि इष्टतम पर, AD, BD, और CD सीधी रेखाओं के बीच के कोण 360° / 3 = 120° के बराबर होने चाहिए। Torricelli ने उस निष्कर्ष से निष्कर्ष निकाला कि:

1– यदि कोई त्रिभुज ABD, जिसका ∠ADB कोण 120° के बराबर है, एक वृत्त में उत्कीर्ण ABDE उत्तल चतुर्भुज उत्पन्न करता है, तो ABE त्रिभुज का ∠ABE कोण (180° − 120°)= 60° के बराबर होना चाहिए;

2- D के स्थानों के सेट को निर्धारित करने का एक तरीका जिसके लिए ∠ADB कोण 120° के बराबर है, एक समबाहु ABE त्रिभुज बनाना है (क्योंकि एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° के बराबर है), जहां E बाहर स्थित है ABC त्रिभुज, और उस त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त बनाएं; तो उस वृत्त की परिधि के सभी D' बिंदु जो ABC वृत्त के भीतर स्थित हैं, ऐसे हैं कि ∠AD'B कोण 120° के बराबर है;

3– त्रिभुज ACD, और BCD के संबंध में भी यही तर्क दिया जा सकता है;

4– इससे दो अन्य समबाहु त्रिभुज ACF और BCG बनते हैं, जहाँ F और G ABC त्रिभुज के बाहर स्थित हैं, साथ ही इन समबाहु त्रिभुजों के चारों ओर दो अन्य वृत्त बनते हैं, और उस स्थान को निर्धारित करने के लिए जहाँ तीन वृत्त प्रतिच्छेद करते हैं; उस स्थान पर, AD, BD, और CD सीधी रेखाओं के बीच के कोण आवश्यक रूप से 120° के बराबर होते हैं, जो यह सिद्ध करता है कि यह इष्टतम स्थान है।

वेबर त्रिकोण समस्या का सिम्पसन का ज्यामितीय समाधान

वेबर त्रिभुज समस्या का सिम्पसन का ज्यामितीय समाधान।

तथाकथित वेबर त्रिभुज समस्या का सिम्पसन का ज्यामितीय समाधान (जो पहली बार 1750 में थॉमस सिम्पसन द्वारा तैयार किया गया था) सीधे टोरिकेली के समाधान से निकला है। सिम्पसन और वेबर ने इस तथ्य पर जोर दिया कि, कुल परिवहन न्यूनीकरण समस्या में, प्रत्येक आकर्षण बिंदु ए, बी या सी के करीब पहुंचने का लाभ इस बात पर निर्भर करता है कि क्या किया जा रहा है और इसकी परिवहन लागत पर। नतीजतन, ए, बी या सी के करीब एक किलोमीटर होने का लाभ भिन्न होता है, और ∠ADB, ∠ADC और ∠BDC कोणों को अब 120° के बराबर होने की आवश्यकता नहीं है।

सिम्पसन ने प्रदर्शित किया कि, उसी तरह, जैसे फर्मेट त्रिकोण समस्या मामले में, निर्मित त्रिकोण एबीई, एसीएफ और बीसीजी समबाहु थे क्योंकि तीन आकर्षक बल समान थे, वेबर त्रिकोण समस्या मामले में निर्मित त्रिकोण एबीई, एसीएफ और बीसीजी , जहां ई, एफ और जी एबीसी त्रिकोण के बाहर स्थित हैं, स्थान प्रणाली की आकर्षक ताकतों के अनुपात में होना चाहिए।

समाधान ऐसा है कि:

1- निर्मित त्रिभुज ABE में, AB भुजा आकर्षक बल के समानुपाती होती है _Cडब्ल्यू सी की ओर इशारा करते हुए, एई पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है _Bडब्ल्यू बी की ओर इशारा करते हुए, और बीई पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है _Aडब्ल्यू ए की ओर इशारा करते हुए;

2- निर्मित त्रिभुज BCG में, BC भुजा आकर्षक बल के समानुपाती होती है _Aडब्ल्यू ए की ओर इशारा करते हुए, बीजी पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है _Bडब्ल्यू बी की ओर इशारा करते हुए, और सीजी पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है _Cडब्ल्यू सी की ओर इशारा करते हुए;

3- इष्टतम बिंदु डी एबीई और बीसीजी निर्मित त्रिभुजों के चारों ओर खींची गई दो परिधि के चौराहे पर स्थित है।

बलों ACF का एक तीसरा त्रिभुज, जहाँ F, ABC त्रिभुज के बाहर स्थित है, को AC भुजा के आधार पर खींचा जा सकता है, और उस त्रिभुज के चारों ओर एक तीसरी परिधि का पता लगाया जा सकता है। वह तीसरी परिधि पिछली दो परिधियों को एक ही बिंदु D पर काटती है।

आकर्षण-प्रतिकर्षण त्रिकोण समस्या का टेलर का ज्यामितीय समाधान

आकर्षण-प्रतिकर्षण त्रिभुज समस्या का टेलर का ज्यामितीय समाधान।

आकर्षण-प्रतिकर्षण त्रिभुज समस्या के लिए एक ज्यामितीय समाधान मौजूद है। इसकी खोज अपेक्षाकृत हाल की है। यह ज्यामितीय समाधान पिछले दो से अलग है, इस मामले में, दो निर्मित बल त्रिकोण ए को ओवरलैप करते हैं₁A₂आर स्थान त्रिकोण (जहां ए₁ और ए₂ आकर्षण बिंदु हैं, और आर, एक प्रतिकर्षण बिंदु), जबकि, पिछले मामलों में, उन्होंने कभी ऐसा नहीं किया।

यह समाधान ऐसा है कि:

1– निर्मित त्रिभुज RA में₂एच, जो आंशिक रूप से ए को ओवरलैप करता है₁A₂आर स्थान त्रिकोण, आरए₂ पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है _A1डब्ल्यू ए की ओर इशारा करते हुए₁, आरएच पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है _A2डब्ल्यू ए की ओर इशारा करते हुए₂, और ए₂H पक्ष प्रतिकारक बल के समानुपाती होता है _Rw बिंदु R से दूर धकेलना;

2- निर्मित त्रिभुज आरए में₁I, जो आंशिक रूप से A को ओवरलैप करता है₁A₂आर स्थान त्रिकोण, आरए₁ पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है _A2डब्ल्यू ए की ओर इशारा करते हुए₂, RI पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है _A1डब्ल्यू ए की ओर इशारा करते हुए₁, और ए₁अंदर प्रतिकारक बल के समानुपाती होता है _Rw बिंदु R से दूर धकेलना;

3- इष्टतम बिंदु डी, आरए के चारों ओर खींची गई दो परिधि के चौराहे पर स्थित है₂एच और आरए₁मैंने त्रिभुजों का निर्माण किया। यह समाधान बेकार है यदि एक बल दो अन्य के योग से अधिक है या यदि कोण संगत नहीं हैं। कुछ मामलों में, कोई भी बल अन्य दो बल से बड़ा नहीं होता है, और कोण संगत नहीं होते हैं; फिर, इष्टतम स्थान उस बिंदु पर स्थित होता है जो अधिक आकर्षक बल लगाता है।

फ़र्मेट और वेबर त्रिकोण समस्याओं का टेलर का त्रिकोणमितीय समाधान

वेबर समस्या के कोण।

α कोणों के शीर्षों के संयोग न होने की स्थिति।

332 से अधिक वर्षों में फ़र्मेट त्रिकोण समस्या का पहला सूत्रीकरण और इसके गैर-पुनरावृत्त संख्यात्मक समाधान की खोज अलग हो गई, जबकि एक ज्यामितीय समाधान लगभग सभी समय के लिए मौजूद था। क्या उसके लिए कोई स्पष्टीकरण है? यह स्पष्टीकरण तीन आकर्षण बिंदुओं की ओर उन्मुख तीन वैक्टरों की उत्पत्ति की संभावना में निहित है जो मेल नहीं खाते। यदि वे मूल संयोग करते हैं और इष्टतम स्थान P पर स्थित हैं, तो वेक्टर A, B और C की ओर उन्मुख होते हैं, और ABC स्थान त्रिकोण की भुजाएँ छह कोण बनाती हैं ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, और ∠6, और तीन सदिश ∠α बनाते हैं_A, ∠α_B और ∠α_C कोण। छह ज्ञात मानों (कोण ∠A, ∠B, और ∠C) के साथ छह अज्ञात (कोण ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, और ∠6) को जोड़ने वाले निम्नलिखित छह समीकरण लिखना आसान है। जिनके मान और कोण ∠α दिए गए हैं_A, ∠α_B और ∠α_C, जिनके मान केवल ए, बी और सी आकर्षण बिंदुओं की ओर इशारा करते हुए तीन आकर्षक बलों के सापेक्ष परिमाण पर निर्भर करते हैं):

∠1 + ∠2 = ∠C ;

∠3 + ∠4 = ∠A ;

∠5 + ∠6 = ∠B ;

∠1 + ∠6 + ∠α_A = 180° ;

∠2 + ∠3 + ∠α_B = 180° ;

∠4 + ∠5 + ∠α_C = 180°।

दुर्भाग्य से, छह अज्ञात के साथ छह एक साथ समीकरणों की यह प्रणाली अनिर्धारित है, और तीन आकर्षण बिंदुओं की ओर उन्मुख तीन वैक्टरों की उत्पत्ति की संभावना नहीं बताती है कि क्यों। संयोग न होने की स्थिति में, हम देखते हैं कि सभी छह समीकरण अभी भी मान्य हैं। हालाँकि, त्रिभुज के अंदर मौजूद त्रिकोणीय छेद के कारण इष्टतम स्थान P गायब हो गया है। वास्तव में, टेलर (1972) के रूप में दिखाया गया है, कि त्रिकोणीय छेद में बिल्कुल वही अनुपात था जो हमने सिम्पसन के ज्यामितीय समाधान में खींचे गए बल त्रिकोण के रूप में किया था।

समस्या को हल करने के लिए, हमें एक साथ छह समीकरणों में सातवीं आवश्यकता को जोड़ना होगा, जो बताता है कि स्थान त्रिकोण के बीच में कोई त्रिकोणीय छेद नहीं होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, तीन सदिशों की उत्पत्ति का मेल होना चाहिए।

फ़र्मेट और वेबर त्रिभुज समस्याओं के टेलर के समाधान में तीन चरण शामिल हैं:

1– कोण ∠α निर्धारित करें_A, ∠α_B और ∠α_C जो ऐसे हैं कि तीन आकर्षक बल _Aमें, _Bछड़ी _Cडब्ल्यू संतुलन सुनिश्चित करने के लिए एक दूसरे को रद्द करें। यह निम्नलिखित स्वतंत्र समीकरणों के माध्यम से किया जाता है:

क्योंकि ∠α_A = −( _Bw² + _Cw² − _Aw²) / (2 _Bw _Cडब्ल्यू);

क्योंकि ∠α_B = −( _Aw² + _Cw² − _Bw²) / (2 _Aw _Cडब्ल्यू);

क्योंकि ∠α_C = −( _Aw² + _Bw² − _Cw²) / (2 _Aw _Bडब्ल्यू);

2– कोण ∠3 का मान निर्धारित करें (यह समीकरण इस आवश्यकता से निकला है कि बिंदु D को बिंदु E के साथ मेल खाना चाहिए):

tan ∠3 = (k sin k') / (1 + k cos k');

जहाँ k = (CB/CA) (sin ∠α_B / पाप ∠α_A), और k' = (∠A +∠B + ∠α_C) - 180°;

3– युगपत समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें जहाँ ∠3 अब ज्ञात है:

∠1 + ∠2 = ∠C ;

∠3 + ∠4 = ∠A ;

∠5 + ∠6 = ∠B ;

∠1 + ∠6 + ∠α_A = 180° ;

∠2 + ∠3 + ∠α_B = 180° ;

∠4 + ∠5 + ∠α_C = 180°.

त्रिकोण आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या का टेलर का त्रिकोणमितीय समाधान

आकर्षण-प्रतिकर्षण त्रिभुज समस्या के कोण।

बिंदु D और E के संयोग न होने का मामला।

टेलर (1985) प्रतिकारक शक्तियों के मामले में फर्मेट-वेबर समस्या को बढ़ाया। आइए हम त्रिभुज मामले की जाँच करें जहाँ दो आकर्षक बल हैं _A1छड़ी _A2डब्ल्यू, और एक प्रतिकारक बल _Rडब्ल्यू यहाँ पिछले मामले की तरह, तीन सदिशों की उत्पत्ति के संयोग न होने की संभावना मौजूद है। तो समाधान के लिए उनके संयोग की आवश्यकता होनी चाहिए। इस समस्या का टेलर का त्रिकोणमितीय समाधान निम्नलिखित है:

1– कोण ∠e निर्धारित करें :

cos ∠e = -( _A1w² + _A2w² − _Rw²) / (2 _A1w _A2डब्ल्यू);

2– कोण निर्धारित करें ∠p :

cos ∠p = -( _A1w² + _Rw² − _A2w²) / (2 _A1w _Rडब्ल्यू);

3– कोण ∠c निर्धारित करें :

∠c = 180° - ∠p ;

4– कोण ∠d निर्धारित करें :

∠d = ∠e − ∠c ;

5- कोण ∠3 का मान निर्धारित करें (यह समीकरण आवश्यकता से उत्पन्न होता है कि बिंदु D को बिंदु E के साथ मेल खाना चाहिए):

tan ∠3 = x / y ;

जहाँ x = sin ∠f – (RA₁/दिन₂)(sin ∠d sin [∠e − ∠b] / sin ∠c); और वाई = (आरए₁/दिन₂)(sin ∠d cos [∠e − ∠b] / sin ∠c) − cos ∠f ;

6– निर्धारित करें ∠1 :

∠1 = 180° - ∠e - ∠3;

7– निर्धारित करें ∠5 :

∠5 = 180° − ∠b − ∠c − ∠1;

8– निर्धारित करें ∠2 :

∠2 = ∠a − ∠5।

फ़र्मेट, वेबर और आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्याओं का पुनरावृत्त समाधान

जब बलों की संख्या तीन से अधिक होती है, तो स्थान बहुभुज की ज्यामिति को ध्यान में रखे बिना विभिन्न बलों को अलग करने वाले कोणों को निर्धारित करना संभव नहीं रह जाता है। ज्यामितीय और त्रिकोणमितीय विधियां तब शक्तिहीन होती हैं। ऐसे मामलों में पुनरावृत्त अनुकूलन विधियों का उपयोग किया जाता है। कुह्न और कुएन (1962) ज्यामितीय माध्यिका के लिए वीज़फेल्ड के एल्गोरिथ्म को सामान्य बनाने वाले पुनरावृत्त कम से कम वर्गों पर आधारित एक एल्गोरिथ्म का सुझाव दिया। उनकी पद्धति फ़र्मेट और वेबर समस्याओं के लिए मान्य है जिसमें कई बल शामिल हैं, लेकिन आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या के लिए नहीं। इस विधि में, दूरियों के भारित योग को न्यूनतम करते हुए बिंदु y का सन्निकटन ज्ञात करना

$\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,\|x_{i}-y\|,$

समाधान y के लिए एक प्रारंभिक सन्निकटन₀ पाया जाता है, और फिर एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण में y सेट करके इष्टतम समाधान के करीब ले जाया जाता है_j + 1 भारित वर्ग दूरियों के योग को न्यूनतम करने वाला बिंदु होना

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{\|x_{i}-y_{j}\|}}\|x_{i}-y\|^{2}$

जहां प्रारंभिक भार डब्ल्यू_i इनपुट बिंदुओं को प्रत्येक बिंदु से पिछले चरण से सन्निकटन तक की दूरी से विभाजित किया जाता है। भारित न्यूनतम वर्गों की समस्या के अद्वितीय इष्टतम समाधान के रूप में, प्रत्येक उत्तरोत्तर सन्निकटन को भारित औसत के रूप में पाया जा सकता है:

$\left.y_{j+1}=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}x_{i}}{\|x_{i}-y_{j}\|}}\right)\right/\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{\|x_{i}-y_{j}\|}}\right).$

वैरिग्नन फ्रेम वेबर समस्या का एक प्रायोगिक समाधान प्रदान करता है।

आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या के लिए चेन, हैनसेन, जौमर्ड और टीयू (1992) द्वारा प्रस्तावित एल्गोरिथम का सहारा लेना पड़ता है।

आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या के आलोक में भूमि लगान सिद्धांत की व्याख्या

स्थान सिद्धांत की दुनिया में, प्रतिकारक शक्तियाँ सर्वव्यापी हैं। भूमि मूल्य इनका प्रमुख उदाहरण है। वास्तव में बोली किराया सिद्धांत का एक बड़ा हिस्सा, दोनों ग्रामीण और शहरी, निम्नलिखित तरीके से अभिव्यक्त किया जा सकता है।

ऐसे मामले में जहां हर कोई एक आकर्षण बिंदु (ग्रामीण बाजार या शहरी केंद्रीय व्यापार जिला) से आकर्षित होता है, विभिन्न बोलीदाताओं के बीच प्रतिस्पर्धा, जो सभी केंद्र में स्थित होना चाहते हैं, भूमि मूल्य उत्पन्न करेंगे जो अद्वितीय आकर्षण बिंदु को बदल देंगे। भूमि मूल्य के दृष्टिकोण से एक प्रतिकर्षण बिंदु में प्रणाली, और, संतुलन पर, प्रत्येक निवासी और गतिविधि उस बिंदु पर स्थित होगी जहां केंद्र द्वारा उन पर लगाए गए आकर्षक और प्रतिकारक बल रद्द हो जाएंगे।

आकर्षण-प्रतिकर्षण की समस्या और नया आर्थिक भूगोल

टेलर समस्या आर्थिक भूगोल#नए आर्थिक भूगोल के उद्भव से पहले की थी। यह ओटावियानो और थिस (2005) द्वारा देखा गया है 1990 के दशक में विकसित हुए न्यू इकोनॉमिक ज्योग्राफी (एनईजी) की प्रस्तावना के रूप में, और 2008 में पॉल क्रुगमैन को आर्थिक विज्ञान में नोबेल मेमोरियल पुरस्कार मिला। आकर्षक बल की अवधारणा एनईजी की समूह या केन्द्रापसारक बल की अवधारणा के समान है, और प्रतिकारक बल की अवधारणा फैलाव या केन्द्रापसारक बल की एनईजी अवधारणा के समान है।

संदर्भ

• Chen, Pey-Chun, Hansen, Pierre, Jaumard, Brigitte and Hoang Tuy, 1992, "Weber's Problem with Attraction and Repulsion," Journal of Regional Science 32, 467–486.
• Kuhn, Harold W. and Robert E. Kuenne, 1962, "An Efficient Algorithm for the Numerical Solution of the Generalized Weber Problem in Spatial Economics." Journal of Regional Science 4, 21–34.
• Ottaviano, Gianmarco and Jacques-François Thisse, 2005, « New Economic Geography: what about the N? », Environment and Planning A 37, 1707–1725.
• Simpson, Thomas, 1750, The Doctrine and Application of Fluxions, London.
• Tellier, Luc-Normand and Boris Polanski, 1989, "The Weber Problem: Frequency of Different Solution Types and Extension to Repulsive Forces and Dynamic Processes", Journal of Regional Science, vol 29, no. 3, p. 387–405.
• Tellier, Luc-Normand, 1972, "The Weber Problem: Solution and Interpretation", Geographical Analysis, vol. 4, no. 3, pp. 215–233.
• Tellier, Luc-Normand, 1985, Économie spatiale: rationalité économique de l'espace habité, Chicoutimi, Gaëtan Morin éditeur, 280 pages.
• Tellier, Luc-Normand, 2013, « Annexe 1: Solution géométrique du cas triangulaire du problème d’attraction–répulsion », annex of the paper of Pierre Hansen, Christophe Meyer and Luc-Normand Tellier, « Modèles topodynamique et de la Nouvelle économie géographique : compatibilité, convergence et avantages comparés », in Marc-Urbain Proulx (ed.), 2013, Sciences du territoire II : méthodologies, Québec, Presses de l’Université du Québec.
• Weber, Alfred, 1909, Über den Standort der Industrien, Tübingen, J.C.B. Mohr) — English translation: The Theory of the Location of Industries, Chicago, Chicago University Press, 1929, 256 pages.
• Wesolowski, Georges, 1993, «The Weber problem: History and perspective», Location Science, Vol. 1, p. 5–23.

बाहरी संबंध

• "Weber problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]