बीरेशनल ज्यामिति

वृत्त द्विभाजित रूप से वास्तविक रेखा के समतुल्य है। उन दोनों के बीच एक द्विपक्षीय नक्शा त्रिविम प्रक्षेपण है, यहां चित्रित किया गया है।

गणित में, बायरेशनल ज्यामिति बीजगणितीय ज्यामिति का एक क्षेत्र है जिसमें लक्ष्य यह निर्धारित करना है कि दो बीजगणितीय किस्में निम्न-आयामी उपसमुच्चय के बाहर समरूप हैं। यह मानचित्र (गणित) का अध्ययन करने के बराबर है जो बहुपदों के बजाय तर्कसंगत कार्यों द्वारा दिया जाता है; नक्शा परिभाषित करने में विफल हो सकता है जहां तर्कसंगत कार्यों में ध्रुव होते हैं।

द्विवार्षिक मानचित्र

तर्कसंगत मानचित्र

एक किस्म से एक तर्कसंगत मानचित्रण (इरेड्यूसिबल घटक समझा जाता है) $X$ दूसरी किस्म के लिए $Y$, एक धराशायी तीर के रूप में लिखा X ⇢Y, को एक बीजगणितीय ज्यामिति के रूप में परिभाषित किया गया है # एक गैर-खाली खुले उपसमुच्चय से संबधित किस्मों का आकारिकी $U\subset X$ को $Y$. बीजगणितीय ज्यामिति में प्रयुक्त जरिस्की टोपोलॉजी की परिभाषा के अनुसार, एक गैर-खाली खुला उपसमुच्चय $U$ में हमेशा घना होता है $X$, वास्तव में एक निम्न-आयामी उपसमुच्चय का पूरक है। ठोस रूप से, तर्कसंगत कार्यों का उपयोग करके निर्देशांक में एक तर्कसंगत मानचित्र लिखा जा सकता है।

द्विवार्षिक मानचित्र

X से Y तक का एक द्विवार्षिक मानचित्र एक परिमेय मानचित्र है f : X ⇢ Y जैसे कि एक परिमेय मानचित्र है Y ⇢ X f का व्युत्क्रम। एक बायरेशनल मैप एक आइसोमोर्फिज्म को एक्स के एक गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय से वाई के एक गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय के लिए प्रेरित करता है। इस मामले में, एक्स और वाई को 'बायरेशनल' या 'बायरेशनल समकक्ष' कहा जाता है। बीजगणितीय शब्दों में, एक क्षेत्र k पर दो किस्में द्विभाजित हैं यदि और केवल यदि उनके बीजगणितीय प्रकार के कार्य क्षेत्र k के विस्तार क्षेत्रों के रूप में आइसोमोर्फिक हैं।

एक विशेष मामला एक 'बायरेशनल मोर्फिज्म' है f : X → Y, जिसका अर्थ एक आकारिकी है जो द्विवार्षिक है। अर्थात्, f हर जगह परिभाषित है, लेकिन इसका व्युत्क्रम नहीं हो सकता है। आमतौर पर, ऐसा इसलिए होता है क्योंकि एक बायरेशनल मोर्फिज्म एक्स की कुछ उप-किस्मों को वाई में इंगित करता है।

बीरेशनल तुल्यता और तर्कसंगतता

एक विविधता एक्स को 'तर्कसंगत विविधता' कहा जाता है यदि यह किसी आयाम के एफ़िन स्पेस (या समतुल्य, प्रक्षेपण स्थान ) के लिए बायरेशनल है। तर्कसंगतता एक बहुत ही प्राकृतिक संपत्ति है: इसका मतलब है कि एक्स माइनस कुछ लो-डायमेंशनल सबसेट को एफाइन स्पेस माइनस कुछ लो-डायमेंशनल सबसेट से पहचाना जा सकता है।

समतल शंकु की द्विवार्षिक तुल्यता

उदाहरण के लिए, घेरा $X$ समीकरण के साथ $x^{2}+y^{2}-1=0$ affine तल में एक परिमेय वक्र है, क्योंकि एक परिमेय मानचित्र है f : $\mathbb {A} ^{1}$ ⇢ X द्वारा दिए गए

$f(t)=\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right),$

जिसका परिमेय व्युत्क्रम g: X ⇢ है $\mathbb {A} ^{1}$ द्वारा दिए गए

$g(x,y)={\frac {1-y}{x}}.$

एक परिमेय संख्या के साथ मानचित्र f को लागू करने से पायथागॉरियन ट्रिपल का एक व्यवस्थित निर्माण मिलता है।

तर्कसंगत नक्शा $f$ ठिकाने पर परिभाषित नहीं है जहां $1+t^{2}=0$. तो, जटिल एफ़िन लाइन पर $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$, $f$ खुले उपसमुच्चय पर एक आकारिकी है $U=\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{i,-i\}$, $f:U\to X$. इसी तरह, तर्कसंगत मानचित्र g : X ⇢ $\mathbb {A} ^{1}$ बिंदु (0,−1) में परिभाषित नहीं है $X$.

चिकने चतुष्कोणों की द्विवार्षिक तुल्यता और पी^एन

अधिक आम तौर पर, स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन द्वारा किसी भी आयाम एन का एक चिकनी चतुर्भुज (बीजीय ज्यामिति) (डिग्री 2) हाइपरसफेस एक्स तर्कसंगत है। (X के लिए एक क्षेत्र k पर एक द्विघात, X को एक परिमेय बिंदु होना चाहिए #बीजगणितीय किस्मों पर परिमेय या K-तर्कसंगत बिंदु|k-तर्कसंगत बिंदु; यह स्वचालित है यदि k बीजगणितीय रूप से बंद है।) स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण को परिभाषित करने के लिए, पी को एक्स में एक बिंदु होने दें। फिर एक्स से प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए एक बायरेशनल मैप $\mathbb {P} ^{n}$ p से होकर जाने वाली रेखाओं की संख्या X में बिंदु q को p और q से होकर जाने वाली रेखा पर भेजकर दी जाती है। यह एक द्विवार्षिक तुल्यता है, लेकिन किस्मों का समरूपता नहीं है, क्योंकि यह कहां परिभाषित करने में विफल रहता है q = p (और व्युत्क्रम नक्शा p के माध्यम से उन पंक्तियों पर परिभाषित करने में विफल रहता है जो X में समाहित हैं)।

चतुष्कोणीय सतह की द्विवार्षिक तुल्यता

सेग्रे एम्बेडिंग एक एम्बेडिंग देता है $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}$ द्वारा दिए गए

$([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].$

छवि चतुर्भुज सतह है $x_{0}x_{3}=x_{1}x_{2}$ में $\mathbb {P} ^{3}$. यह एक और प्रमाण देता है कि यह चतुष्कोणीय सतह तर्कसंगत है, क्योंकि $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ स्पष्ट रूप से तर्कसंगत है, एक खुले उपसमुच्चय के लिए आइसोमोर्फिक है $\mathbb {A} ^{2}$.

न्यूनतम मॉडल और विलक्षणताओं का संकल्प

प्रत्येक बीजगणितीय विविधता एक प्रोजेक्टिव विविधता (चाउ की लेम्मा) के लिए द्विपक्षीय है। इसलिए, द्विवार्षिक वर्गीकरण के प्रयोजनों के लिए, यह केवल प्रक्षेपी किस्मों के साथ काम करने के लिए पर्याप्त है, और यह आमतौर पर सबसे सुविधाजनक सेटिंग है।

हीसुके हिरोनका की 1964 की प्रमेय विलक्षणताओं के समाधान पर बहुत गहरी है: विशेषता 0 (जैसे जटिल संख्या) के एक क्षेत्र पर, प्रत्येक विविधता एक बीजगणितीय विविधता प्रक्षेपी विविधता के एक विलक्षण बिंदु के लिए द्विवार्षिक है। यह देखते हुए, यह द्विवार्षिक तुल्यता तक चिकनी प्रक्षेप्य किस्मों को वर्गीकृत करने के लिए पर्याप्त है।

आयाम 1 में, यदि दो चिकने प्रक्षेपी वक्र बायरेशनल हैं, तो वे आइसोमोर्फिक हैं। लेकिन यह विस्फोट निर्माण से कम से कम 2 आयाम में विफल रहता है। विस्फोट करके, कम से कम 2 आयाम की प्रत्येक चिकनी प्रक्षेपी विविधता अनंत रूप से कई बड़ी किस्मों के लिए द्विभाजित है, उदाहरण के लिए बड़ी बेट्टी संख्याओं के साथ।

यह न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम के विचार की ओर जाता है: क्या प्रत्येक द्विवार्षिक तुल्यता में एक अद्वितीय सरलतम विविधता है कक्षा? आधुनिक परिभाषा यह है कि एक प्रक्षेपी किस्म एक्स 'न्यूनतम' है यदि विहित बंडल के_Xएक्स में प्रत्येक वक्र पर गैर-नकारात्मक डिग्री है; दूसरे शब्दों में, के_Xएनईएफ लाइन बंडल है। यह जांचना आसान है कि फूली हुई किस्में कभी भी न्यूनतम नहीं होती हैं।

यह धारणा बीजगणितीय सतहों (आयाम 2 की किस्मों) के लिए पूरी तरह से काम करती है। आधुनिक शब्दों में, 1890-1910 से बीजगणितीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल का एक केंद्रीय परिणाम, एनरिक्स-कोडैरा वर्गीकरण का हिस्सा है, यह है कि प्रत्येक सतह एक्स द्विभाजित है या तो एक उत्पाद के लिए $\mathbb {P} ^{1}\times C$ कुछ वक्र C या न्यूनतम सतह Y के लिए। दो मामले परस्पर अनन्य हैं, और यदि मौजूद है तो Y अद्वितीय है। जब Y मौजूद होता है, तो इसे X का न्यूनतम मॉडल प्रोग्राम कहा जाता है।

बीरेशनल इनवेरिएंट्स

Main article: Birational invariant

सबसे पहले, यह स्पष्ट नहीं है कि कैसे दिखाया जाए कि कोई बीजगणितीय किस्में हैं जो तर्कसंगत नहीं हैं। इसे साबित करने के लिए, बीजगणितीय किस्मों के कुछ बायरेशनल इनवेरिएंट की जरूरत है। एक बायरेशनल इनवेरिएंट किसी भी प्रकार की संख्या, रिंग, आदि है जो समान है, या आइसोमोर्फिक है, सभी किस्मों के लिए जो कि बायरेशनल समकक्ष हैं।

प्लुरिजेनेरा

बिरेशनल इनवेरिएंट्स का एक उपयोगी सेट कोडैरा डायमेंशन # प्लुरिजेनेरा है। आयाम n की एक चिकनी किस्म X के विहित बंडल का अर्थ है n-रूपों का रेखा बंडल K_X = Ωⁿ, जो कि X के स्पर्शरेखा बंडल की nवीं बाहरी शक्ति है। एक पूर्णांक d के लिए, K की dth टेन्सर शक्ति_Xफिर से एक लाइन बंडल है। के लिए d ≥ 0, वैश्विक वर्गों का वेक्टर स्थान H⁰(X, K_X^d) के पास उल्लेखनीय संपत्ति है जो एक बायरेशनल मैप है f : X ⇢ Y चिकनी प्रक्षेप्य किस्मों के बीच एक समरूपता को प्रेरित करता है H⁰(X, K_X^d) ≅ H⁰(Y, K_Y^d).

के लिए d ≥ 0, डीटीएच 'प्लुरिजेनस' पी को परिभाषित करें_d वेक्टर अंतरिक्ष के आयाम के रूप में H⁰(X, K_X^d); तो प्लूरिजेनेरा चिकनी प्रक्षेपी किस्मों के लिए द्विवार्षिक आक्रमणकारी हैं। विशेष रूप से, यदि कोई प्लूरिजेनस पी_d साथ d > 0 शून्य नहीं है, तो X तर्कसंगत नहीं है।

कोडैरा जिमेंशन

Main article: Kodaira dimension

कोडैरा ग्राउंड सिय्योन एक मूलभूत द्वितर्कात्मक अपरिवर्तनीय है, जो प्लुरिजेनेरा पी की वृद्धि को मापता है_d जैसा कि d अनंत तक जाता है। कोडैरा आयाम सभी प्रकार के आयाम n को विभाजित करता है n + 2 प्रकार, कोडैरा आयाम के साथ −∞, 0, 1, ..., या n। यह विभिन्न प्रकार की जटिलता का एक उपाय है, जिसमें प्रोजेक्टिव स्पेस कोडैरा आयाम -∞ है। सबसे जटिल किस्में वे हैं जिनके कोडैरा आयाम उनके आयाम n के बराबर हैं, जिन्हें कोडैरा आयाम की किस्में कहा जाता है।

⊗ का योग^{क</सुप>Ω1 और कुछ हॉज नंबर}

अधिक सामान्यतः, किसी भी प्राकृतिक योग के लिए

$E(\Omega ^{1})=\bigotimes ^{k}\Omega ^{1}$

cotangent बंडल Ω की आर-वें टेंसर शक्ति का¹ के साथ r ≥ 0, वैश्विक वर्गों का वेक्टर स्थान H⁰(X, E(Ω¹)) चिकनी प्रक्षेप्य किस्मों के लिए एक द्विवार्षिक अपरिवर्तनीय है। विशेष रूप से, हॉज सिद्धांत

$h^{p,0}=H^{0}(X,\Omega ^{p})$

एक्स के बायरेशनल इनवेरिएंट हैं। (अधिकांश अन्य हॉज नंबर एच^p,q बायरेशनल इनवेरिएंट नहीं हैं, जैसा कि ब्लो अप करके दिखाया गया है।)

चिकनी प्रक्षेपी किस्मों का मौलिक समूह

मौलिक समूह π₁(एक्स) चिकनी जटिल प्रोजेक्टिव किस्मों के लिए एक द्विवार्षिक अपरिवर्तनीय है।

अब्रामोविच, कारू, मात्सुकी, और व्लोडार्कज़ीक #refAKMW|(2002) द्वारा सिद्ध किया गया कमजोर गुणनखंडन प्रमेय कहता है कि दो चिकनी जटिल प्रक्षेपी किस्मों के बीच किसी भी द्विवार्षिक मानचित्र को सूक्ष्म रूप से कई ब्लो-अप या चिकनी उप-किस्मों के ब्लो-डाउन में विघटित किया जा सकता है। यह जानना महत्वपूर्ण है, लेकिन यह निर्धारित करना अभी भी बहुत कठिन हो सकता है कि क्या दो चिकनी प्रोजेक्टिव किस्में बायरेशनल हैं।

उच्च आयामों में न्यूनतम मॉडल

Main article: Minimal model program

एक प्रोजेक्टिव किस्म एक्स को 'न्यूनतम' कहा जाता है यदि कैननिकल बंडल के_Xनेफ लाइन बंडल है। एक्स आयाम 2 के लिए, इस परिभाषा में चिकनी किस्मों पर विचार करना पर्याप्त है। आयामों में कम से कम 3, न्यूनतम किस्मों को कुछ हल्के विलक्षणताओं की अनुमति दी जानी चाहिए, जिसके लिए K_Xअभी भी अच्छा व्यवहार करता है; इन्हें विहित विलक्षणता कहा जाता है।

कहा जा रहा है कि, न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम का अर्थ यह होगा कि हर किस्म एक्स या तो तर्कसंगत घटता से आच्छादित है या एक न्यूनतम किस्म वाई के लिए बायरेशनल है। जब यह मौजूद होता है, तो वाई को एक्स का 'न्यूनतम मॉडल' कहा जाता है।

न्यूनतम मॉडल कम से कम 3 आयामों में अद्वितीय नहीं हैं, लेकिन कोई भी दो न्यूनतम किस्में जो कि बायरेशनल हैं, बहुत करीब हैं। उदाहरण के लिए, वे कम से कम 2 कोडिमेंशन के आइसोमॉर्फिक बाहरी उपसमुच्चय हैं, और अधिक सटीक रूप से वे फ्लिप (गणित) के अनुक्रम से संबंधित हैं। तो न्यूनतम मॉडल अनुमान बीजगणितीय किस्मों के बायरेशनल वर्गीकरण के बारे में मजबूत जानकारी देगा।

यह अनुमान मोरी द्वारा आयाम 3 में सिद्ध किया गया था। उच्च आयामों में काफी प्रगति हुई है, हालांकि सामान्य समस्या बनी हुई है। विशेष रूप से, Birkar, Cascini, Hacon, और McKernan (2010) ने साबित किया कि विशेषता शून्य के क्षेत्र में कोडैरा आयाम की प्रत्येक किस्म का एक न्यूनतम मॉडल है।

अनियंत्रित किस्में

Main article: Ruled variety

एक किस्म को अनियंत्रित कहा जाता है यदि यह तर्कसंगत घटता से आच्छादित है। एक अनियंत्रित किस्म का न्यूनतम मॉडल नहीं होता है, लेकिन एक अच्छा विकल्प होता है: बिरकर, कैसिनी, हैकॉन और मैककर्नन ने दिखाया कि विशेषता शून्य के क्षेत्र में हर अनियंत्रित विविधता एक न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम के लिए द्विवार्षिक है। यह फ़ानो फाइबर रिक्त स्थान और (सबसे दिलचस्प विशेष मामले के रूप में) फ़ानो किस्म के द्विवार्षिक वर्गीकरण की समस्या की ओर जाता है। परिभाषा के अनुसार, एक प्रक्षेपी किस्म एक्स 'फैनो' है यदि एंटीकैनोनिकल बंडल $K_{X}^{*}$ पर्याप्त लाइन बंडल है। फ़ानो किस्मों को बीजगणितीय किस्मों के रूप में माना जा सकता है जो प्रक्षेप्य स्थान के समान हैं।

आयाम 2 में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक फ़ानो किस्म (जिसे डेल टुकड़ा सतह के रूप में जाना जाता है) तर्कसंगत है। 1970 के दशक में एक प्रमुख खोज यह थी कि आयाम 3 से शुरू होकर, कई फानो किस्में हैं जो तर्कसंगत किस्म नहीं हैं। विशेष रूप से, #CITEREFClemensGriffiths1972|Clemens-Griffiths (1972) द्वारा चिकनी घन 3-गुना तर्कसंगत नहीं है, और #CITEREFIskovskihManin1971|Iskovskikh-Manin (1971) द्वारा चिकनी क्वार्टिक 3-गुना तर्कसंगत नहीं है। बहरहाल, यह निर्धारित करने की समस्या कि वास्तव में कौन सी फ़ानो किस्में तर्कसंगत हैं, हल होने से बहुत दूर हैं। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात नहीं है कि इसमें कोई चिकनी घनी अतिसतह है या नहीं $\mathbb {P} ^{n+1}$ साथ n ≥ 4 जो तर्कसंगत नहीं है।

द्विवार्षिक ऑटोमोर्फिज़्म समूह

बीजगणितीय किस्में व्यापक रूप से भिन्न होती हैं कि उनके पास कितने बिरेशनल ऑटोमोर्फिज्म हैं। कोडैरा आयाम की हर किस्म अत्यंत कठोर है, इस अर्थ में कि इसका बायरेशनल ऑटोमोर्फिज़्म समूह परिमित है। दूसरे चरम पर, प्रोजेक्टिव स्पेस का बिरेशनल ऑटोमोर्फिज़्म समूह $\mathbb {P} ^{n}$ एक क्षेत्र के ऊपर, जिसे क्रेमोना समूह Cr के रूप में जाना जाता है_n(के), के लिए बड़ा (एक अर्थ में, अनंत-आयामी) है n ≥ 2. के लिए n = 2, जटिल क्रेमोना समूह $Cr_{2}(\mathbb {C} )$ द्विघात परिवर्तन द्वारा उत्पन्न होता है

[x,y,z] ↦ [1/x, 1/y, 1/z]

एक साथ समूह के साथ $PGL(3,\mathbb {C} )$ के automorphisms की $\mathbb {P} ^{2},$ मैक्स नोथेर और गुइडो कास्टेलनुवो द्वारा। इसके विपरीत, क्रेमोना समूह आयामों में n ≥ 3 बहुत अधिक रहस्य है: जनरेटर का कोई स्पष्ट सेट ज्ञात नहीं है।

1. CITEREFIskovskihManin1971|Iskovskikh–Manin (1971) ने दिखाया कि एक चिकनी क्वार्टिक 3-गुना का बायरेशनल ऑटोमोर्फिज़्म समूह इसके ऑटोमोर्फिज़्म समूह के बराबर है, जो परिमित है। इस अर्थ में, क्वार्टिक 3-गुना तर्कसंगत होने से बहुत दूर हैं, क्योंकि एक तर्कसंगत विविधता का बायरेशनल ऑटोमोर्फिज़्म समूह बहुत बड़ा है। तब से कई अन्य फानो फाइबर स्थानों में द्विवार्षिक कठोरता की घटना की खोज की गई है।

अनुप्रयोग

बीरेशनल ज्यामिति ने ज्यामिति के अन्य क्षेत्रों में आवेदन पाया है, लेकिन विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में पारंपरिक समस्याओं में।

जानोस कोल्लार और निकोलस शेफर्ड-बैरन द्वारा सामान्य प्रकार की किस्मों के मोडुली स्थान का निर्माण करने के लिए पारिवारिक रूप से न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम का उपयोग किया गया था, जिसे अब केएसबी मोडुली स्पेस के रूप में जाना जाता है।

बायरेशनल ज्योमेट्री ने हाल ही में काहलर-आइंस्टीन मीट्रिक के लिए सामान्य अस्तित्व परिणामों के माध्यम से फैनो किस्मों की के-स्थिरता के अध्ययन में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग पाया है। काहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स, फ़ानो किस्मों के स्पष्ट आविष्कारों के विकास में बायरेशनल पर कंप्यूटिंग द्वारा के-स्थिरता का परीक्षण करने के लिए मॉडल, और फानो किस्मों के मोडुली रिक्त स्थान के निर्माण में। बायरेशनल ज्योमेट्री में महत्वपूर्ण परिणाम जैसे कौचर बिरकर | फैनो किस्मों की सीमा के बिरकर के प्रमाण का उपयोग मोडुली स्पेस के लिए अस्तित्व के परिणामों को साबित करने के लिए किया गया है।

यह भी देखें

• बहुतायत अनुमान

संदर्भ

• Abramovich, Dan; Karu, Kalle; Matsuki, Kenji; Włodarczyk, Jarosław (2002), "Torification and factorization of birational maps", Journal of the American Mathematical Society, 15 (3): 531–572, arXiv:math/9904135, doi:10.1090/S0894-0347-02-00396-X, MR 1896232, S2CID 18211120
• Birkar, Caucher; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D.; McKernan, James (2010), "Existence of minimal models for varieties of log general type", Journal of the American Mathematical Society, 23 (2): 405–468, arXiv:math.AG/0610203, Bibcode:2010JAMS...23..405B, doi:10.1090/S0894-0347-09-00649-3, MR 2601039, S2CID 3342362
• Clemens, C. Herbert; Griffiths, Phillip A. (1972), "The intermediate Jacobian of the cubic threefold", Annals of Mathematics, Second Series, 95 (2): 281–356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550, doi:10.2307/1970801, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970801, MR 0302652
• Debarre, Olivier (2001). Higher-Dimensional Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95227-7. MR 1841091.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-32792-9. MR 0507725.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157.
• Kollár, János (2013). "Moduli of varieties of general type". Handbook of moduli. Vol. 2. pp. 131–157. arXiv:1008.0621. ISBN 9781571462589. Zbl 1322.14006.
• Iskovskih, V. A.; Manin, Ju. I. (1971), "Three-dimensional quartics and counterexamples to the Lüroth problem", Matematicheskii Sbornik, Novaya Seriya, 86 (1): 140–166, Bibcode:1971SbMat..15..141I, doi:10.1070/SM1971v015n01ABEH001536, MR 0291172
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511662560, ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959
• Mori, Shigefumi (1988), "Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds", Journal of the American Mathematical Society, 1 (1): 117–253, doi:10.2307/1990969, ISSN 0894-0347, JSTOR 1990969, MR 0924704
• Xu, Chenyang (2021). "K-stability of Fano varieties: An algebro-geometric approach". Ems Surveys in Mathematical Sciences. 8: 265–354. doi:10.4171/EMSS/51. S2CID 204829174.