एकरूपता (सेट सिद्धांत)

समुच्चय सिद्धान्त में, गणित की एक शाखा, एकरूपता का स्वयंसिद्ध पसंद के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर रूप है। इसमें कहा गया है कि अगर $R$ का उपसमुच्चय है $X\times Y$, कहाँ $X$ और $Y$ पोलिश स्थान हैं, तो एक उपसमुच्चय है $f$ का $R$ यह एक आंशिक कार्य है $X$ को $Y$, और किसका डोमेन (सभी का सेट (गणित)। $x$ ऐसा है कि $f(x)$ मौजूद है) बराबर है

$\{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in R\}\,$

इस तरह के एक फ़ंक्शन को यूनिफ़ॉर्माइज़िंग फ़ंक्शन कहा जाता है $R$, या का एकरूपीकरण $R$.

फ़ंक्शन f (लाल) द्वारा संबंध R (हल्का नीला) का एकरूपीकरण।

पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संबंध देखने के लिए, उसे देखें $R$ के प्रत्येक तत्व को संबद्ध करने के बारे में सोचा जा सकता है $X$, का एक उपसमुच्चय $Y$. का एकरूपीकरण $R$ फिर ऐसे प्रत्येक उपसमुच्चय से ठीक एक तत्व चुनता है, जब भी उपसमुच्चय खाली सेट|गैर-खाली हो। इस प्रकार, मनमाना सेट एक्स और वाई (सिर्फ पोलिश रिक्त स्थान के बजाय) की अनुमति देने से एकरूपता के स्वयंसिद्ध को पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर बना दिया जाएगा।

एक बिंदु वर्ग ${\boldsymbol {\Gamma }}$ कहा जाता है कि प्रत्येक बाइनरी संबंध में एकरूपता गुण होता है $R$ में ${\boldsymbol {\Gamma }}$ में एक आंशिक कार्य द्वारा एकरूप किया जा सकता है ${\boldsymbol {\Gamma }}$. कम से कम एक निश्चित रूप के पर्याप्त बिंदु वर्गों के लिए, एकरूपता संपत्ति को स्केल संपत्ति द्वारा निहित किया गया है।

यह अकेले ZFC से इस प्रकार है ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}$ और ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}$ एकरूपता संपत्ति है। यह पर्याप्त बड़े कार्डिनल्स के अस्तित्व से अनुसरण करता है

• ${\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}$ और ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एकरूपता गुण है $n$.
• इसलिए, प्रक्षेपी सेटों के संग्रह में एकरूपता गुण होता है।
• L(R) में हर संबंध को एकरूप किया जा सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि L(R) में कोई फ़ंक्शन हो। वास्तव में, एल (आर) में एकरूपता गुण नहीं है (समकक्ष रूप से, एल (आर) एकरूपता के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करता है)।
  • (ध्यान दें: यह तुच्छ है कि L(R) में हर संबंध V में एकरूप हो सकता है, यह मानते हुए कि V पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है। बिंदु यह है कि ऐसे प्रत्येक संबंध को V के कुछ सकर्मक आंतरिक मॉडल में एकरूप किया जा सकता है जिसमें स्वयंसिद्ध निश्चितता रखती है।)

संदर्भ

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0.