कंकाल (श्रेणी सिद्धांत)

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गणित में, एक श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत) का एक कंकाल एक उपश्रेणी है, जो मोटे तौर पर बोल रहा है, इसमें कोई बाहरी समरूपता नहीं है। एक निश्चित अर्थ में, एक श्रेणी का कंकाल श्रेणियों की श्रेणी का सबसे छोटा समतुल्य है, जो मूल के सभी श्रेणीगत गुणों को दर्शाता है। वास्तव में, दो श्रेणियां श्रेणियों की तुल्यता हैं यदि उनके पास श्रेणियों के कंकालों का समरूपता है। एक श्रेणी को कंकाल कहा जाता है यदि समाकृतिकता ऑब्जेक्ट अनिवार्य रूप से समान हैं।

परिभाषा

श्रेणी सी का एक कंकाल एक समतुल्यता (श्रेणी सिद्धांत) डी है जिसमें कोई भी दो अलग-अलग वस्तुएं आइसोमॉर्फिक नहीं हैं। इसे आमतौर पर एक उपश्रेणी माना जाता है। विस्तार से, सी का एक कंकाल एक श्रेणी डी है जैसे कि:

• D, C की एक उपश्रेणी है: D की प्रत्येक वस्तु C की एक वस्तु है

$\mathrm {Ob} (D)\subseteq \mathrm {Ob} (C)$

वस्तुओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए डी₁ और डी₂ D का, D में morphisms C में morphisms हैं, अर्थात

$\mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})\subseteq \mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})$

और डी में पहचान और रचनाएं सी में उन लोगों के प्रतिबंध हैं।

• C में D का समावेश पूर्ण उपश्रेणी है, जिसका अर्थ है कि वस्तुओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए d₁ और डी₂ डी के हम समानता के उपरोक्त उपसमुच्चय संबंध को मजबूत करते हैं:

$\mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})=\mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})$

• सी में डी को शामिल करना अनिवार्य रूप से प्रक्षेपण कारक है: प्रत्येक सी-ऑब्जेक्ट कुछ डी-ऑब्जेक्ट के लिए आइसोमोर्फिक है।
• डी कंकाल है: कोई भी दो अलग-अलग डी-ऑब्जेक्ट आइसोमोर्फिक नहीं हैं।

अस्तित्व और विशिष्टता

यह एक बुनियादी तथ्य है कि हर छोटी श्रेणी में एक कंकाल होता है; अधिक आम तौर पर, प्रत्येक सुलभ श्रेणी में एक ढांचा होता है। (यह पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है।) इसके अलावा, हालांकि एक श्रेणी में कई अलग-अलग कंकाल हो सकते हैं, कोई भी दो कंकाल श्रेणियों के समरूपतावाद हैं, इसलिए श्रेणियों के समरूपता तक, एक श्रेणी का कंकाल अद्वितीय (गणित) है।

कंकाल का महत्व इस तथ्य से आता है कि वे (श्रेणियों के समरूपतावाद तक), श्रेणियों के तुल्यता के तुल्यता संबंध के तहत श्रेणियों के तुल्यता वर्गों के विहित प्रतिनिधि हैं। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि श्रेणी C का कोई भी कंकाल C के समतुल्य है, और यह कि दो श्रेणियां समतुल्य हैं यदि और केवल यदि उनके पास आइसोमोर्फिक कंकाल हैं।

उदाहरण

• सभी सेट (गणित) के सेट की श्रेणी श्रेणी में कंकाल के रूप में सभी बुनियादी संख्या ों की उपश्रेणी है।
• सदिश स्थल की श्रेणी श्रेणी|K- निश्चित फ़ील्ड पर सभी वेक्टर स्पेस का वेक्टर (गणित) $K$ सभी शक्तियों से युक्त उपश्रेणी है $K^{(\alpha )}$, जहां α कोई मुख्य संख्या है, एक कंकाल के रूप में; किसी भी परिमित एम और एन के लिए, नक्शे $K^{m}\to K^{n}$ K में प्रविष्टियों के साथ ठीक n × m मैट्रिक्स (गणित) हैं।
• 'FinSet', सभी परिमित सेटों की श्रेणी में 'FinOrd', सभी परिमित क्रमिक संख्याओं की श्रेणी, एक कंकाल के रूप में है।
• सभी सुव्यवस्थित सेटों की श्रेणी|सुव्यवस्थित सेटों में कंकाल के रूप में सभी क्रमिक संख्याओं की उपश्रेणी होती है।
• एक पूर्व आदेश, यानी एक छोटी श्रेणी जैसे कि वस्तुओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए $A,B$, सेट ${\mbox{Hom}}(A,B)$ या तो एक तत्व है या खाली है, कंकाल के रूप में आंशिक रूप से आदेशित सेट है।

यह भी देखें

• श्रेणी सिद्धांत की शब्दावली
• पतली श्रेणी

संदर्भ

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
• Robert Goldblatt (1984). Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.