परिवर्तनशील संपूर्नकर्ता

वेरिएशनल इंटीग्रेटर्स हैमिल्टनियन प्रणाली के लिए संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण हैं, जो एक पृथक हैमिल्टन के सिद्धांत के यूलर-लग्रेंज समीकरणों से प्राप्त हुए हैं। परिवर्तनशील इंटीग्रेटर्स संवेग-संरक्षण और सहानुभूतिपूर्ण इंटीग्रेटर हैं।

== एक साधारण परिवर्तनशील संपूर्न == की व्युत्पत्ति

Lagrangian द्वारा वर्णित स्वतंत्रता की एक कण डिग्री के साथ एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें

$L(t,q,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(q),$

कहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है, और $V$ एक संभावना है। इस प्रणाली के लिए एक वैरिएबल इंटीग्रेटर का निर्माण करने के लिए, हम असतत Lagrangian बनाकर शुरू करते हैं। असतत Lagrangian थोड़े समय के अंतराल पर सिस्टम के लिए क्रिया का अनुमान लगाता है:

${\begin{aligned}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})&={\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}\left[L\left(t_{0},q_{0},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)+L\left(t_{1},q_{1},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)\right]\\&\approx \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t)).\end{aligned}}$

यहां हमने समलम्बाकार विधि का उपयोग करते हुए समय अभिन्न का अनुमान लगाने के लिए चुना है, और हम प्रक्षेपवक्र के लिए एक रेखीय सन्निकटन का उपयोग करते हैं,

$q(t)\approx {\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}(t-t_{0})+q_{0}$

बीच में $t_{0}$ और $t_{1}$, जिसके परिणामस्वरूप एक निरंतर वेग होता है $v\approx \left(q_{1}-q_{0}\right)/\left(t_{1}-t_{0}\right)$. प्रक्षेपवक्र और समय अभिन्न के सन्निकटन के लिए अलग-अलग विकल्प अलग-अलग परिवर्तनशील इंटीग्रेटर्स देते हैं। इंटीग्रेटर की सटीकता का क्रम कार्रवाई के हमारे सन्निकटन की सटीकता से नियंत्रित होता है; तब से

$L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t))+{\mathcal {O}}(t_{1}-t_{0})^{2},$

हमारा इंटीग्रेटर दूसरे क्रम का सटीक होगा।

असतत प्रणाली के लिए विकास समीकरण स्थिर-क्रिया सिद्धांत से प्राप्त किए जा सकते हैं। एक विस्तारित समय अंतराल पर असतत क्रिया कई उप-अंतरालों पर असतत Lagrangians का योग है:

$S_{d}=L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})+L_{d}(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2})+\cdots .$

स्थिर कार्रवाई के सिद्धांत में कहा गया है कि निर्देशांक की विविधताओं के संबंध में कार्रवाई स्थिर है जो निश्चित प्रक्षेपवक्र के समापन बिंदुओं को छोड़ देती है। तो, समन्वय अलग करना $q_{1}$, अपने पास

${\frac {\partial S_{d}}{\partial q_{1}}}=0={\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2}\right).$

प्रारंभिक स्थिति दी गई है $(q_{0},q_{1})$, और समय का एक क्रम $(t_{0},t_{1},t_{2})$ यह एक ऐसा संबंध प्रदान करता है जिसे हल किया जा सकता है $q_{2}$. समाधान है

$q_{2}=q_{1}+{\frac {t_{2}-t_{1}}{t_{1}-t_{0}}}(q_{1}-q_{0})-{\frac {(t_{2}-t_{0})(t_{2}-t_{1})}{2m}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).$

हम इसे सरल रूप में लिख सकते हैं यदि हम असतत संवेग को परिभाषित करें,

$p_{0}\equiv -{\frac {\partial }{\partial q_{0}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})$

और

$p_{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}).$

प्रारंभिक स्थिति दी गई है $(q_{0},p_{0})$, स्थिर क्रिया की स्थिति इन समीकरणों में से पहले को हल करने के बराबर है $q_{1}$, और फिर निर्धारित करना $p_{1}$ दूसरे समीकरण का उपयोग करना। यह विकास योजना देता है

$q_{1}=q_{0}+{\frac {t_{1}-t_{0}}{m}}p_{0}-{\frac {(t_{1}-t_{0})^{2}}{2m}}{\frac {d}{dq_{0}}}V(q_{0})$

और

$p_{1}=m{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}-{\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).$

यह सिस्टम के लिए लीपफ्रॉग एकीकरण स्कीम है; इस विकास के दो चरण उपरोक्त सूत्र के बराबर हैं $q_{2}$

यह भी देखें

• लेट ग्रुप इंटीग्रेटर

संदर्भ

• E. Hairer, C. Lubich, and G. Wanner. Geometric Numerical Integration. Springer, 2002.
• J. Marsden and M. West. Discrete mechanics and variational integrators. Acta Numerica, 2001, pp. 357–514.