पारलौकिक विस्तार

गणित में, एक पारलौकिक विस्तार $L/K$ एक फील्ड एक्सटेंशन है जैसे कि फ़ील्ड में कोई तत्व मौजूद है $L$ वह क्षेत्र के ऊपर पारलौकिक तत्व है $K$; अर्थात्, एक तत्व जो कि गुणांक वाले किसी भी अविभाजित बहुपद का मूल नहीं है $K$. दूसरे शब्दों में, एक पारलौकिक विस्तार एक क्षेत्र विस्तार है जो बीजगणितीय विस्तार नहीं है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {C} ,\mathbb {R}$ दोनों के पारलौकिक विस्तार हैं $\mathbb {Q} .$ एक क्षेत्र विस्तार का एक पारगमन आधार $L/K$ (या एक पारगमन आधार $L$ ऊपर $K$) का अधिकतम बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है $L$ ऊपर $K.$ ट्रांसेंडेंस बेस वेक्टर रिक्त स्थान के आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ कई गुण साझा करते हैं। विशेष रूप से, एक क्षेत्र विस्तार के सभी अनुवांशिक आधारों में एक ही प्रमुखता होती है, जिसे विस्तार की श्रेष्ठता की डिग्री कहा जाता है। इस प्रकार, एक क्षेत्र विस्तार एक पारलौकिक विस्तार है अगर और केवल अगर इसकी श्रेष्ठता की डिग्री सकारात्मक है।

ट्रान्सेंडैंटल एक्सटेंशन का व्यापक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय विविधता की बीजगणितीय विविधता का आयाम एक बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र की श्रेष्ठता की डिग्री है। इसके अलावा, वैश्विक कार्य क्षेत्र एक परिमित क्षेत्र की डिग्री एक के पारलौकिक विस्तार हैं, और सकारात्मक विशेषता में संख्या सिद्धांत में भूमिका निभाते हैं जो विशेषता शून्य में बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों की भूमिका के समान है।

श्रेष्ठता का आधार

ज़ोर्न की प्रमेयिका दर्शाती है कि सदिश समष्टि (अर्थात् एक आधार) का अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय मौजूद होता है। ज़ोर्न के लेम्मा के साथ एक समान तर्क से पता चलता है कि, क्षेत्र विस्तार L / K दिया गया है, वहाँ K पर L का अधिकतम बीजगणितीय स्वतंत्र उपसमुच्चय मौजूद है। इसे तब एक पारलौकिक आधार कहा जाता है। अधिकतमता से, K के ऊपर L का एक बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय S एक पारगमन आधार है यदि और केवल अगर L K( का बीजगणितीय विस्तार है S), S से K के तत्वों के आस-पास (क्षेत्र सिद्धांत) द्वारा प्राप्त क्षेत्र।

एक्सचेंज लेम्मा (बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र सेट के लिए एक संस्करण) का अर्थ है कि यदि S, S' ट्रान्सेंडेंस बेस हैं, तो S और S' में समान कार्डिनैलिटी है। फिर ट्रान्सेंडेंस बेस की सामान्य कार्डिनैलिटी को L के ऊपर K की 'ट्रान्सेंडेंस डिग्री' कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $\operatorname {tr.deg.} _{K}L$ या $\operatorname {tr.deg.} (L/K)$. इस प्रकार एक सादृश्य है: एक ओर एक श्रेष्ठता आधार और श्रेष्ठता की डिग्री, और दूसरी ओर एक आधार और आयाम। इस सादृश्य को और अधिक औपचारिक बनाया जा सकता है, यह देखते हुए कि सदिश स्थानों में रैखिक स्वतंत्रता और क्षेत्र विस्तार में बीजगणितीय स्वतंत्रता दोनों ही Matroid (Pregeometry (मॉडल सिद्धांत)) के उदाहरण हैं। किसी भी अंतिम मैट्रोइड का आधार होता है, और सभी आधारों में समान कार्डिनैलिटी होती है। यदि G, L का जनरेटिंग सेट है (यानी, L = K(G)), तो L के लिए एक ट्रांसेंडेंस आधार को G के सबसेट के रूप में लिया जा सकता है। विशेष रूप से, $\operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq$ K के ऊपर L के जनरेटिंग सेट की न्यूनतम कार्डिनैलिटी। इसके अलावा, एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार एक परिमित पारगमन आधार को स्वीकार करता है।

यदि कोई फ़ील्ड K निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तो किसी फ़ील्ड L की ट्रान्सेंडेंस डिग्री कुछ निश्चित आधार फ़ील्ड के सापेक्ष इसकी डिग्री है; उदाहरण के लिए, एक ही विशेषता (बीजगणित) का प्रमुख क्षेत्र, या K, यदि L, K के ऊपर एक बीजगणितीय फलन क्षेत्र है।

क्षेत्र विस्तार L / K 'विशुद्ध रूप से पारलौकिक' है यदि L का एक उपसमुच्चय S है जो K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है और ऐसा है कि L = K(S)।

एल / के का एक 'पृथक पारगमन आधार' एक पारगमन आधार एस है जैसे कि एल के (एस) पर एक पृथक बीजगणितीय विस्तार है। एक क्षेत्र विस्तार L / K को 'पृथक्करणीय रूप से उत्पन्न' कहा जाता है यदि यह एक पृथक्करण पारगमन आधार को स्वीकार करता है। यदि एक फ़ील्ड एक्सटेंशन सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है और यह अलग-अलग भी उत्पन्न होता है, तो फ़ील्ड एक्सटेंशन के प्रत्येक जनरेटिंग सेट में अलग-अलग ट्रान्सेंडेंस आधार होता है। एक संपूर्ण क्षेत्र पर, प्रत्येक बारीक रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार अलग से उत्पन्न होता है; यानी, यह एक परिमित अलगाव के आधार को स्वीकार करता है।

उदाहरण

• एक विस्तार बीजगणितीय है अगर और केवल अगर इसकी पारगमन डिग्री 0 है; खाली सेट यहाँ एक पारगमन आधार के रूप में कार्य करता है।
• n चर में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र K(x₁,...,एक्स_n) (अर्थात बहुपद वलय K [x₁,...,एक्स_n]) विशुद्ध रूप से ट्रान्सेंडैंटल एक्सटेंशन है जिसमें K पर ट्रान्सेंडेंस डिग्री n है; हम उदाहरण के लिए ले सकते हैं {x₁,...,एक्स_n} एक उत्कृष्ट आधार के रूप में।
• अधिक आम तौर पर, ग्राउंड फ़ील्ड K पर एक एन-डायमेंशनल बीजगणितीय किस्म के बीजगणितीय किस्म L के कार्य क्षेत्र की श्रेष्ठता डिग्री n है।
• 'Q'(दो का वर्गमूल|√2, E (गणितीय स्थिरांक)) में 'Q' की तुलना में श्रेष्ठता की डिग्री 1 है क्योंकि √2 बीजगणितीय संख्या है जबकि e पारलौकिक संख्या है।
• 'क्यू' के ऊपर 'सी' या 'आर' की श्रेष्ठता की डिग्री सातत्य परिकल्पना है। (चूंकि 'Q' गणनीय है, फ़ील्ड 'Q'(S) में वही कार्डिनैलिटी होगी जो किसी अनंत सेट S के लिए S है, और 'Q'(S) के किसी भी बीजगणितीय विस्तार में फिर से वही कार्डिनैलिटी होगी।)
• 'Q'(e, pi|π) की 'Q' पर उत्कृष्टता की डिग्री या तो 1 या 2 है; सटीक उत्तर अज्ञात है क्योंकि यह ज्ञात नहीं है कि ई और π बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं या नहीं।
• यदि एस एक कॉम्पैक्ट जगह रीमैन सतह है, तो एस पर मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन के क्षेत्र 'सी' (एस) में 'सी' पर पारगमन डिग्री 1 है।

तथ्य

यदि एम/एल और एल/के फील्ड एक्सटेंशन हैं, तो

trdeg (एम / कश्मीर) = trdeg (एम / एल) + trdeg (एल / कश्मीर)

यह दिखा कर सिद्ध किया जाता है कि एम/एल के एक ट्रांसेंडेंस आधार और एल/के में से एक के संघ (सेट सिद्धांत) को लेकर एम/के का पारगमन आधार प्राप्त किया जा सकता है।

यदि समुच्चय S, K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है, तो क्षेत्र K(S), K पर परिमेय फलनों के क्षेत्र में समाकृतिक है, जो कि S के समान कार्डिनैलिटी के चरों के एक समुच्चय में है। ऐसा प्रत्येक परिमेय फलन दो बहुपदों का अंश है। उन चरों में से कई, K में गुणांक के साथ।

दो बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान विशेषता है और उनके प्रमुख क्षेत्र पर समान पारगमन की डिग्री है।

एक अभिन्न डोमेन की उत्कृष्टता की डिग्री

होने देना $A\subset B$ अभिन्न डोमेन हो। अगर $Q(A)$ और $Q(B)$ के अंशों के क्षेत्रों को निरूपित करें A एक B, फिर की श्रेष्ठता की डिग्री B ऊपर A को क्षेत्र विस्तार की श्रेष्ठता की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है $Q(B)/Q(A).$ नोथेर सामान्यीकरण लेम्मा का तात्पर्य है कि यदि R एक अभिन्न डोमेन है जो एक क्षेत्र पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित है k, फिर का क्रुल आयाम R की श्रेष्ठता की डिग्री है R ऊपर k.

इसकी निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या है: यदि X एक क्षेत्र में एक सजातीय बीजगणितीय किस्म है k, इसके निर्देशांक वलय का क्रुल आयाम एक बीजगणितीय किस्म के इसके कार्य क्षेत्र की श्रेष्ठता की डिग्री के बराबर है, और यह एक बीजगणितीय विविधता के आयाम को परिभाषित करता है X. यह इस प्रकार है, अगर X एक affine किस्म नहीं है, इसके आयाम (इसके कार्य क्षेत्र की पारगमन डिग्री के रूप में परिभाषित) को स्थानीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है, जो कि एक खुले affine सबसेट के लिए विविधता के प्रतिबंध के समन्वय रिंग के क्रुल आयाम के रूप में है।

अंतर से संबंध

होने देना $K/k$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न फ़ील्ड एक्सटेंशन बनें। तब

$\dim _{k}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (k/K).$

कहाँ $\Omega _{K/k}$ कहलर अंतर के मॉड्यूल को दर्शाता है। साथ ही, उपरोक्त में, समानता धारण करती है यदि और केवल यदि K अलग से k पर उत्पन्न होता है (जिसका अर्थ है कि यह अलग-अलग उत्थान के आधार को स्वीकार करता है)।

अनुप्रयोग

क्षेत्र समरूपता के बारे में विभिन्न अस्तित्व बयानों को साबित करने के लिए ट्रान्सेंडेंस बेस एक उपयोगी उपकरण है। यहाँ एक उदाहरण दिया गया है: एक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड L, एक फ़ील्ड एक्सटेंशन K और K के एक फ़ील्ड ऑटोमोर्फिज़्म f को देखते हुए, L का एक फ़ील्ड ऑटोमोर्फिज़्म मौजूद है जो f को बढ़ाता है (अर्थात जिसका K से प्रतिबंध f है)। सबूत के लिए, एक एल / के के एक पारगमन आधार एस के साथ शुरू होता है। के (एस) के तत्व के में गुणांक के साथ एस के तत्वों में बहुपदों के अंश हैं; इसलिए automorphism f को S के प्रत्येक तत्व को स्वयं भेजकर K(S) में से किसी एक तक बढ़ाया जा सकता है। क्षेत्र L, K(S) का बीजगणितीय संवरण है और बीजगणितीय संवरण तुल्याकारिता तक अद्वितीय हैं; इसका मतलब है कि ऑटोमोर्फिज्म को आगे K(S) से L तक बढ़ाया जा सकता है।

एक अन्य अनुप्रयोग के रूप में, हम दिखाते हैं कि सम्मिश्र संख्या 'सी' के (कई) उचित उपक्षेत्र हैं जो (फ़ील्ड के रूप में) 'सी' के समरूपी हैं। प्रमाण के लिए 'सी'/'क्यू' का एक ट्रान्सेंडेंस आधार एस लें। एस एक अनंत (यहां तक ​​​​कि बेशुमार) सेट है, इसलिए मौजूद हैं (कई) मानचित्र एफ: एस → एस जो इंजेक्शन हैं लेकिन विशेषण नहीं हैं। ऐसे किसी भी मानचित्र को एक क्षेत्र समाकारिता 'Q'(S) → 'Q'(S) तक विस्तारित किया जा सकता है जो विशेषण नहीं है। इस तरह के एक क्षेत्र समरूपता को बीजगणितीय समापन 'C' तक बढ़ाया जा सकता है, और परिणामी क्षेत्र समरूपता 'C' → 'C' विशेषण नहीं हैं।

ट्रान्सेंडेंस डिग्री एक क्षेत्र के आकार की सहज समझ दे सकती है। उदाहरण के लिए, कार्ल लुडविग सीगल के कारण एक प्रमेय में कहा गया है कि यदि X आयाम n का एक कॉम्पैक्ट, जुड़ा हुआ, जटिल कई गुना है और K(X) उस पर (वैश्विक रूप से परिभाषित) मेरोमोर्फिक कार्यों के क्षेत्र को दर्शाता है, तो trdeg_C(के (एक्स)) ≤ एन।

यह भी देखें

• लूरोथ की प्रमेय, एक डिग्री के विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार के बारे में एक प्रमेय
• नियमित विस्तार

संदर्भ

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Milne, James, Field Theory (PDF)
• § 6.3. of Shimura, Goro (1971), Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publications of the Mathematical Society of Japan, vol. 11, Tokyo: Iwanami Shoten, Zbl 0221.10029