पारलौकिक विस्तार

गणित में, एक पारलौकिक विस्तार $L/K$ एक क्षेत्र विस्तार है जैसे कि क्षेत्र $L$ में एक तत्व उपस्थित है जो क्षेत्र $K$ के ऊपर पारलौकिक है; अर्थात्, एक तत्व जो $K$ में गुणांक वाले किसी भी एकविचर बहुपद का मूल नहीं है। दूसरे शब्दों में, एक पारलौकिक विस्तार एक क्षेत्र विस्तार है जो बीजगणितीय नहीं है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {C} ,\mathbb {R}$ दोनों $\mathbb {Q}$ के पारलौकिक विस्तार हैं।

एक क्षेत्र विस्तार $L/K$ (या $K$ पर $L$ का एक ज्ञानातीत्व आधार) का एक ज्ञानातीत्व आधार $K$ पर $L$ का अधिकतम बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय हैं। ज्ञानातीत्व आधार सदिश समष्टि के आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ कई गुण अनुकरण करते हैं। विशेष रूप से, एक क्षेत्र विस्तार के सभी अनुवांशिक आधारों में एक ही गणनांक होता है, जिसे विस्तार की श्रेष्ठता की डिग्री कहा जाता है। इस प्रकार, एक क्षेत्र विस्तार एक पारलौकिक विस्तार है अगर और केवल अगर इसकी श्रेष्ठता की डिग्री सकारात्मक है।

ट्रान्सेंडैंटल विस्तार का व्यापक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय विविधता उसके कार्य क्षेत्र की श्रेष्ठता की डिग्री है। इसके अलावा, वैश्विक कार्य क्षेत्र एक परिमित क्षेत्र की डिग्री एक के पारलौकिक विस्तार हैं, और सकारात्मक विशेषता में संख्या सिद्धांत में भूमिका निभाते हैं जो विशेषता शून्य में बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों की भूमिका के समान है।

ज्ञानातीत्व आधार

ज़ोर्न की प्रमेयिका दर्शाती है कि सदिश समष्टि (अर्थात् एक आधार) का अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय उपस्थित होता है। ज़ोर्न के लेम्मा के साथ एक समान तर्क से पता चलता है कि, क्षेत्र विस्तार L / K दिया गया है, वहाँ K पर L का अधिकतम बीजगणितीय स्वतंत्र उपसमुच्चय उपस्थित है। इसे तब एक पारलौकिक आधार कहा जाता है। अधिकता से, K पर L का एक बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय S एक ज्ञानातीत्व आधार है यदि और केवल यदि L K (S) का एक बीजीय विस्तार है, तो S से K के तत्वों के आस-पास (क्षेत्र सिद्धांत) प्राप्त क्षेत्र है।

विनिमय लेम्मा (बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र समुच्चय के लिए एक संस्करण) का तात्पर्य है कि यदि S, S' ज्ञानातीत्व आधार हैं, तो S और S' में समान गणनांक है। फिर ज्ञानातीत्व आधार की सामान्य गणनांक को K पर L की 'ट्रान्सेंडेंस डिग्री' कहा जाता है और इसे $\operatorname {tr.deg.} _{K}L$ या $\operatorname {tr.deg.} (L/K)$ के रूप में दर्शाया जाता है। इस प्रकार एक सादृश्य है: एक ओर एक श्रेष्ठता आधार और श्रेष्ठता की डिग्री, और दूसरी ओर एक आधार और आयाम है। इस सादृश्य को और अधिक औपचारिक बनाया जा सकता है, यह देखते हुए कि सदिश समष्टि में रैखिक स्वतंत्रता और क्षेत्र विस्तार में बीजगणितीय स्वतंत्रता दोनों ही परिमित मैट्रोइड्स (प्रीजेमेट्री) के उदाहरण हैं। किसी भी अंतिम मैट्रोइड का आधार होता है, और सभी आधारों में समान गणनांक होता है।

यदि G, L का जनक समुच्चय है (यानी, L = K(G)), तो L के लिए एक ट्रांसेंडेंस आधार को G के उपसमुच्चय के रूप में लिया जा सकता है। विशेष रूप से, $\operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq$ K पर L के जनक समुच्चय का न्यूनतम गणनांक है। इसके अलावा, एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार एक परिमित ज्ञानातीत्व आधार को स्वीकार करते है।

यदि कोई क्षेत्र K निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तो किसी क्षेत्र L की ट्रान्सेंडेंस डिग्री कुछ निश्चित आधार क्षेत्र के सापेक्ष इसकी डिग्री है; उदाहरण के लिए, समान विशेषता (बीजगणित) का प्रमुख क्षेत्र, या K, यदि L, K के ऊपर एक बीजगणितीय फलन क्षेत्र है।

क्षेत्र विस्तार L / K 'विशुद्ध रूप से पारलौकिक' है यदि L का एक उपसमुच्चय S है जो K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है और ऐसा है कि L = K(S) है।

L / K का एक अलग-अलग ज्ञानातीत्व आधार एक ज्ञानातीत्व आधार S है जैसे कि L K(S) पर एक पृथक बीजगणितीय विस्तार है। एक क्षेत्र विस्तार L / K को अलग-अलग उत्पन्न होने के लिए कहा जाता है यदि यह अलग-अलग ज्ञानातीत्व आधार को स्वीकार करता है। यदि एक क्षेत्र विस्तार सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते है और यह अलग-अलग भी उत्पन्न होते है, तो क्षेत्र विस्तार के प्रत्येक जनक समुच्चय में अलग-अलग ट्रान्सेंडेंस आधार होते है। एक संपूर्ण क्षेत्र पर, प्रत्येक नियत रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार अलग से उत्पन्न होते है; अर्थात, यह एक परिमित पृथक के आधार को स्वीकार करते है।

उदाहरण

• एक विस्तार बीजगणितीय है अगर और केवल अगर इसकी ज्ञानातीत्व डिग्री 0 है; रिक्त समुच्चय यहाँ एक ज्ञानातीत्व आधार के रूप में कार्य करता है।
• n चर K(x₁,...,x_n) में तर्कसंगत फलनों का क्षेत्र (अर्थात बहुपद वलय K K[x₁,...,x_n] के अंशों का क्षेत्र) विशुद्ध रूप से ट्रान्सेंडैंटल विस्तार है जिसमें K पर ट्रान्सेंडेंस डिग्री n है; उदाहरण के लिए हम {x₁,...,x_n} को श्रेष्ठता आधार के रूप में ले सकते हैं।
• अधिक सामान्यतः, आधार क्षेत्र K पर एक n-विमीय बीजगणितीय प्रकार के फलन क्षेत्र L की ट्रान्सेंडेंस डिग्री n है।
• Q(√2, e) के पास Q से अधिक 1 डिग्री है क्योंकि √2 बीजगणितीय है जबकि e ट्रान्सेंडैंटल है।
• Q पर C या R की श्रेष्ठता की डिग्री सातत्य की प्रमुखता है। (क्योंकि Q गणनीय है, क्षेत्र 'Q'(S) में वही गणनांक होगा जो किसी अनंत समुच्चय S के लिए S है, और 'Q'(S) के किसी भी बीजगणितीय विस्तार में फिर से वही गणनांक होगा।)
• Q(e, π) की Q पर उत्कृष्टता की डिग्री या तो 1 या 2 है; सटीक उत्तर अज्ञात है क्योंकि यह ज्ञात नहीं है कि e और π बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं या नहीं हैं।
• यदि S एक सुसंहत रीमैन सतह है, तो S पर मेरोमॉर्फिक फलनों के क्षेत्र C(S) में C पर ज्ञानातीत्व डिग्री 1 है।

तथ्य

यदि M / L और L / K क्षेत्र विस्तार हैं, तो

trdeg(M / K) = trdeg(M / L) + trdeg(L / K)

यह दिखा कर सिद्ध किया जाता है कि M / L के एक ट्रांसेंडेंस आधार और L / K में से किसी एक के मिलन से M / K का ज्ञानातीत्व आधार प्राप्त किया जा सकता है।

यदि समुच्चय S, K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है, तो क्षेत्र K(S), K समान गणनांक के चरों के एक समुच्चय में K पर S परिमेय फलनों के क्षेत्र के लिए समरूप है। इस तरह का प्रत्येक परिमेय फलन दो बहुपदों का एक अंश है जिनमें से बहुत से चर, K में गुणांक के साथ है।

दो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान विशेषता है और उनके प्रमुख क्षेत्र पर समान ज्ञानातीत्व की डिग्री है।

एक अभिन्न प्रक्षेत्र की उत्कृष्टता डिग्री

अनुमान $A\subset B$ समाकल प्रक्षेत्र हैं। यदि $Q(A)$ और $Q(B)$ A और B के अंशों के क्षेत्रों को दर्शाते हैं, तो A पर B की श्रेष्ठता की डिग्री को क्षेत्र विस्तार $Q(B)/Q(A)$ की श्रेष्ठता की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया हैं।

नोथेर सामान्यीकरण लेम्मा का तात्पर्य है कि यदि R एक अभिन्न प्रक्षेत्र है जो एक क्षेत्र k पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित है, तो R का क्रुल आयाम R के ऊपर k की श्रेष्ठता की डिग्री हैं।

इसकी निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या है: यदि X एक क्षेत्र k में एक सजातीय बीजगणितीय विविधता है, तो इसके समन्वय वलय का क्रुल आयाम इसके फलन क्षेत्र की श्रेष्ठता की डिग्री के समान है, और यह X के आयाम को परिभाषित करता हैं। यह इस प्रकार है, अगर X एक एफ़िन प्रकार नहीं है, इसके आयाम (इसके फलन क्षेत्र की ज्ञानातीत्व डिग्री के रूप में परिभाषित) को स्थानीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है, क्योंकि विभिन्न प्रकार के प्रतिबंध के समन्वय रिंग के क्रुल आयाम को एक रिक्त एफ़िन उपसमुच्चय के लिए प्रतिबंधित किया जाता है।

विभेदक से संबंध

अनुमान $K/k$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार है। तब

$\dim _{k}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (k/K).$

जहां $\Omega _{K/k}$ कहलर विभेदक के प्रतिरूपक को दर्शाता है। साथ ही, उपरोक्त में, समानता धारण करती है यदि और केवल यदि K अलग से k पर उत्पन्न होता है (जिसका अर्थ है कि यह अलग-अलग उत्थान के आधार को स्वीकार करता है)।

अनुप्रयोग

क्षेत्र समरूपता के बारे में विभिन्न अस्तित्व कथन को सिद्ध करने के लिए ज्ञानातीत्व आधार एक उपयोगी उपकरण है। यहाँ एक उदाहरण दिया गया है: एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र L, एक उपक्षेत्र K और K का एक क्षेत्र स्वसमाकृतिकता f दिया गया है, वहाँ L का एक क्षेत्र c उपस्थित है जो f को बढ़ाता है (अर्थात जिसका K से प्रतिबंध f है)। प्रमाण के लिए, एक L / K के एक ज्ञानातीत्व आधार S के साथ प्रारंभ होता है। K(S) के अवयव, K में गुणांकों वाले S के अवयवों में बहुपदों के केवल भागफल हैं; इसलिए स्वसमाकृतिकता f को S के प्रत्येक तत्व को स्वयं भेजकर K(S) में से किसी एक तक बढ़ाया जा सकता है। क्षेत्र L, K(S) का बीजगणितीय संवरण है और बीजगणितीय संवरण तुल्याकारिता तक अद्वितीय हैं; इसका अर्थ है कि स्वसमाकृतिकता को आगे K(S) से L तक बढ़ाया जा सकता है।

एक अन्य अनुप्रयोग के रूप में, हम दिखाते हैं कि सम्मिश्र संख्या क्षेत्र C के (कई) उचित उपक्षेत्र हैं जो (क्षेत्र के रूप में) C के समरूपी हैं। प्रमाण के लिए C / Q का एक ट्रान्सेंडेंस आधार S लिया जाता है। S एक अनंत (यहां तक ​​​​कि अगणनीय) समुच्चय है, इसलिए उपस्थित हैं (कई) मानचित्र f: S → S जो अंतःक्षेपक हैं लेकिन विशेषण नहीं हैं। ऐसे किसी भी मानचित्र को एक क्षेत्र समाकारिता Q(S) → Q(S) तक विस्तारित किया जा सकता है जो विशेषण नहीं है। इस तरह के एक क्षेत्र समरूपता को बीजगणितीय समापन C तक बढ़ाया जा सकता है, और परिणामी क्षेत्र समरूपता C → C विशेषण नहीं हैं।

ट्रान्सेंडेंस डिग्री एक क्षेत्र के आकार की सहज समझ दे सकती है। उदाहरण के लिए, सीगल के कारण एक प्रमेय में कहा गया है कि यदि X एक सुसंहत, संबद्ध, आयाम n का जटिल बहुरूपता है और K(X) उस पर (वैश्विक रूप से परिभाषित) मेरोमोर्फिक फलन के क्षेत्र को दर्शाता है, तो trdeg_C(K(X)) ≤ n हैं।

यह भी देखें

• लूरोथ की प्रमेय, एक डिग्री के विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार के बारे में एक प्रमेय
• नियमित विस्तार

संदर्भ

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Milne, James, Field Theory (PDF)
• § 6.3. of Shimura, Goro (1971), Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publications of the Mathematical Society of Japan, vol. 11, Tokyo: Iwanami Shoten, Zbl 0221.10029