रैंक 3 क्रमचय समूह
गणितीय परिमित समूह सिद्धांत में एक रैंक 3 क्रमपरिवर्तन समूह एक सेट पर सकर्मक रूप से कार्य करता है जैसे कि एक बिंदु के स्थिरक में 3 कक्षाएं होती हैं इन समूहों का अध्ययन हिगमैन द्वारा 1964, 1971में प्रारंभ किया गया था छिटपुट सरल समूहों में से कई को रैंक 3 क्रमपरिवर्तन समूहों के रूप में खोजा गया था।
वर्गीकरण
आदिम रैंक 3 क्रमचय समूह निम्नलिखित वर्गों में से एक है
- Cameron (1981) ने उन्हें इस प्रकार वर्गीकृत किया जहां T0 का सामाजिक T सरल है और T0 डिग्री √n का 2-सकर्मक समूह है।
- Liebeck (1987) ने एक नियमित प्राथमिक एबेलियन सामान्य उपसमूह के साथ वर्गीकृत किया
- Bannai (1971–72) ने उन्हें वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण वैकल्पिक समूह है
- Kantor & Liebler (1982) ने उन लोगों को वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण शास्त्रीय समूह है
- Liebeck & Saxl (1986) ने उन लोगों को वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण असाधारण या छिटपुट समूह है।
उदाहरण
यदि G समुच्चय S पर कार्य करने वाला कोई 4-सकर्मक समूह है तो S के तत्वों के युग्मों पर इसकी क्रिया रैंक 3 क्रमपरिवर्तन समूह है[1] विशेष रूप से अधिकांश वैकल्पिक समूहों सममित समूहों और मैथ्यू समूहों में 4-सकर्मक क्रियाएं होती हैं और इसलिए उन्हें रैंक 3 क्रमपरिवर्तन समूहों में बनाया जा सकता है।
प्रक्षेपी सामान्य रेखीय समूह कम से कम 3 आयाम के प्रक्षेपी स्थान में लाइनों पर कार्य करता है एक रैंक -3 क्रमपरिवर्तन समूह है
कई 3-स्थानांतरण समूह रैंक -3 क्रमपरिवर्तन समूह हैं
रैंक-3 क्रमपरिवर्तन समूह के बिंदु-स्थिरक के लिए यह एक कक्षा-3 क्रमपरिवर्तन समूह होने के लिए कक्षाओं में से एक पर कार्य करना साधारण बात है यह रैंक-3 क्रमपरिवर्तन समूहों की कई श्रृंखलाएं देता है जैसे सुजुकी श्रृंखला और फिशर समूहों के साथ समाप्त होने वाली श्रृंखला।
कुछ असामान्य रैंक-3 क्रमपरिवर्तन समूह नीचे सूचीबद्ध हैं।
नीचे दी गई तालिका में प्रत्येक पंक्ति के लिए आकार चिह्नित आकार में ग्रिड में समान चिह्न के बाईं ओर की संख्या पंक्ति में उल्लिखित क्रमपरिवर्तन समूह के लिए क्रमपरिवर्तन समूह की डिग्री है ग्रिड में समान चिह्न के दाईं ओर का योग क्रमपरिवर्तन समूह के एक बिंदु के स्थिरक की तीन कक्षाओं की लंबाई दर्शाता है उदाहरण के लिए शीर्षक के तहत तालिका की पहली पंक्ति में अभिव्यक्ति 15 = 1+6+8 का अर्थ है कि पहली पंक्ति के क्रमपरिवर्तन समूह की डिग्री 15 है और क्रमपरिवर्तन के एक बिंदु के स्थिरक की तीन कक्षाओं की लंबाई समूह क्रमशः 1, 6 और 8 हैं।
| एम 23 | एम 21 :2 = एल 3 (4):2 2 = पीएएल (3,4) | 253 = 1+42+210 | 23-बिंदु क्रमचय प्रतिनिधित्व में बिंदुओं के जोड़े |
| एम 23 | 2 4 :अ 7 | 253 = 1+112+140 | एस के ब्लॉक (4,7,23) |
| मैकलॉघलिन समूह एमसीएल | यू 4 (3) | 275 = 1+112+162 | मैकलॉघलिन ग्राफ के शिखर पर कार्रवाई |
| एम 24 | एम 22 :2 | 276 = 1+44+231 | 24-बिंदु क्रमचय प्रतिनिधित्व में बिंदुओं के जोड़े |
| जी 2 (3) | यू 3 (3): 2 | 351 = 1+126+244 | दो कक्षाएं |
| जी 2 (4) | जे 2 | 416 = 1+100+315 | सुजुकी चेन |
| एम 24 | एम 12 :2 | 1288 = 1+495+792 | 24-बिंदु क्रमचय प्रतिनिधित्व में पूरक डोडेकाड के जोड़े |
| सुजुकी समूह सुज | जी 2 (4) | 1782 = 1+416+1365 | सुजुकी चेन |
| जी 2 (4) | यू 3 (4): 2 | 2016 = 1+975+1040 | |
| को 2 | पीएसयू 6 (2):2 | 2300 = 1+891+1408 | |
| रुदवालिस समूह आरयू | 2 एफ 4 (2) | 4060 = 1+1755+2304 | |
| फाई 22 | 2. पीएसयू 6 (2) | 3510 = 1+693+2816 | 3-बदलाव |
| फाई 22 | Ω 7 (3) | 14080 = 1+3159+10920 | दो कक्षाएं |
| फाई 23 | 2. फाई 22 | 31671 = 1+3510+28160 | 3-बदलाव |
| जी 2 (8).3 | एसयू 3 (8).6 | 130816 = 1+32319+98496 | |
| फाई 23 | PΩ 8 + (3).S 3 | 137632 = 1+28431+109200 | |
| फाई 24 ' | फाई 23 | 306936 = 1+31671+275264 | 3-बदलाव |
टिप्पणियाँ
- ↑ The three orbits are: the fixed pair itself; those pairs having one element in common with the fixed pair; and those pairs having no element in common with the fixed pair.
संदर्भ
- Bannai, Eiichi (1971–72), "Maximal subgroups of low rank of finite symmetric and alternating groups", Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics, 18: 475–486, ISSN 0040-8980, MR 0357559
- Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; Neumaier, Arnold (1989), Distance-regular graphs, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 18, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-50619-5, MR 1002568
- Cameron, Peter J. (1981), "Finite permutation groups and finite simple groups", The Bulletin of the London Mathematical Society, 13 (1): 1–22, CiteSeerX 10.1.1.122.1628, doi:10.1112/blms/13.1.1, ISSN 0024-6093, MR 0599634
- Higman, Donald G. (1964), "Finite permutation groups of rank 3" (PDF), Mathematische Zeitschrift, 86 (2): 145–156, doi:10.1007/BF01111335, hdl:2027.42/46298, ISSN 0025-5874, MR 0186724, S2CID 51836896
- Higman, Donald G. (1971), "A survey of some questions and results about rank 3 permutation groups", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), vol. 1, Gauthier-Villars, pp. 361–365, MR 0427435
- Kantor, William M.; Liebler, Robert A. (1982), "The rank 3 permutation representations of the finite classical groups" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 271 (1): 1–71, doi:10.2307/1998750, ISSN 0002-9947, JSTOR 1998750, MR 0648077
- Liebeck, Martin W. (1987), "The affine permutation groups of rank three", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 54 (3): 477–516, CiteSeerX 10.1.1.135.7735, doi:10.1112/plms/s3-54.3.477, ISSN 0024-6115, MR 0879395
- Liebeck, Martin W.; Saxl, Jan (1986), "The finite primitive permutation groups of rank three", The Bulletin of the London Mathematical Society, 18 (2): 165–172, doi:10.1112/blms/18.2.165, ISSN 0024-6093, MR 0818821
