आरएनजी (बीजगणित)

गणित में, और अधिक विशेष रूप से सार बीजगणित में, आरएनजी (या गैर-इकाई वलय या कृत्रिम वलय) एक बीजगणितीय संरचना है जो गुणनात्मक समरूपता के अस्तित्व को ग्रहण किए बिना वलय के समान गुणों को संतुष्ट करती है। कृत्रिम वलय शब्द का अर्थ ये संकेत देना है कि यह i, यानी समरूप तत्व की आवश्यकता के बिना एक वलय है।

समुदाय में इस बात पर कोई सामान्य सहमति नहीं है कि गुणनात्मक समरूपता का अस्तित्व वलय सिद्धांतो में से एक होना चाहिए। कृत्रिम वलय शब्द का निर्माण इस अस्पष्टता को कम करने के लिए किया गया था जब लोग गुणनात्मक समरूपता के सिद्धांत के बिना एक वलय को स्पष्ट रूप से संदर्भित करना चाहते थे।

बीजगणित में विचार किए जाने वाले गणितीय विश्लेषण कार्य एकात्मक नहीं हैं, उदाहरण के लिए अनंत पर शून्य से घटते कार्यों का बीजगणित, विशेष रूप से कुछ स्थान पर संक्षिप्त समर्थन के साथ।

परिभाषा

fऔपचारिक रूप से, एक कृत्रिम वलय दो द्विआधारी संचालन (+, ·) के साथ एक समुच्चय (गणित) R है जिसे जोड़ और गुणा कहा जाता हैं।

• (R, +) एक एबेलियन समुच्चय है,
• (R, ·) एक उपसमुच्चय है,
• योग पर गुणन वितरण नियम।

'कृत्रिम वलय समरूपता' एक फलन f: R → S है जो एक कृत्रिम वलय से दूसरे कृत्रिम वलय में ऐसे है जैसे कि

• f(x + y) = f(x) + f(y)
• f(x · y) = f(x) · f(y)

R में सभी x और y के लिए।

यदि R और S वलय हैं, तो वलय समाकारिता R → S एक कृत्रिम वलय समरूपता R → S के समान है जो 1 से 1 को आलेखन करता है।

उदाहरण

सामान्यतया सभी वलय कृत्रिम वलय हैं। कृत्रिम वलय का एक सरल उदाहरण, पूर्णांकों के सामान्य जोड़ और गुणन के साथ सम संख्या द्वारा दिया जाता है, जो कि वलय नहीं है। एक अन्य उदाहरण सभी 3*3 वास्तविक मैट्रिक्स (गणित) के समुच्चय द्वारा दिया गया है जिसके नीचे की पंक्ति शून्य है। ये दोनों उदाहरण सामान्य तथ्य के उदाहरण हैं कि प्रत्येक (एक या दो तरफा) गुणावली एक कृत्रिम वलय है।

कृत्रिम वलय अधिकतर कार्यात्मक विश्लेषण में जब अनंत-आकारीय सदिश स्थान पर रैखिक संचालको पर विचार किया जाता है तब स्वाभाविक रूप से प्रतीत होते हैं । उदाहरण के लिए किसी अनंत-आकारीय सदिश स्थान V को लें और सभी रैखिक संचालको के समुच्चय f : V → V के साथ परिमित पंक्ति (यानी dim f(V) < ∞) पर विचार करें। संचालको के जोड़ और कार्यात्मक संरचना के साथ, यह एक कृत्रिम वलय है, लेकिन वलय नहीं है। एक अन्य उदाहरण सभी वास्तविक अनुक्रमों का कृत्रिम वलय है जो अंशबद्ध संचालको के साथ 0 में परिवर्तित हो जाते हैं।

साथ ही, वितरण के सिद्धांत में होने वाले परीक्षण क्रियाएं रिक्त स्थान में अनंतता पर शून्य तक घटने वाले क्रियाएं होते है, जैसे श्वार्ट्ज स्थान। इस प्रकार, क्रियाएं हर जगह एक के बराबर है, जो ऐसी जगहों में सम्मिलित नहीं हो सकता है इसलिए बिंदुवार जोड़ और गुणन के लिए एकमात्र संभावित समरूप तत्व कृत्रिम वलय हो सकता है। विशेष रूप से, कुछ स्थलाकृति स्थान पर परिभाषित सीमित स्थान के साथ वास्तविक-मान निरंतर क्रिया, बिंदुवार जोड़ और गुणा के साथ, एक कृत्रिम वलय बनाते हैं; यह एक वलय नहीं है जब तक कि अंतर्निहित स्थान संक्षिप्त स्थान न हो।

उदाहरण: सम पूर्णांक

सम पूर्णांकों का समुच्चय 2Z जोड़ और गुणन के अंतर्गत बंद है और इसकी एक योगात्मक समरूप 0 है, इसलिए यह एक कृत्रिम वलय है, लेकिन इसका गुणक समरूप नहीं है, इसलिए यह वलय नहीं है।

2Z में, केवल गुणक निःशक्त 0 है, एकमात्र नगण्य 0 है, और सामान्यीकृत व्युत्क्रम वाला एकमात्र तत्व 0 है।

उदाहरण: परिमित पंचसंख्यक अनुक्रम

प्रत्यक्ष योग ${\textstyle {\mathcal {T}}=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ समन्वयबद्ध जोड़ और गुणन से सुसज्जित निम्नलिखित गुणों वाला एक कृत्रिम वलय है:

• इसके निःशक्त तत्व बिना किसी ऊपरी सीमा के एक जाली बनाते हैं।
• प्रत्येक तत्व x का एक सामान्यीकृत व्युत्क्रम होता है, अर्थात् एक तत्व y ऐसा होता है जैसे की xyx = x और yxy = y.
• प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय ${\mathcal {T}}$ के लिए, ${\mathcal {T}}$ में एक निःशक्त सम्मिलित होता है जो पूरे उपसमुच्चय के लिए एक समरूप के रूप में कार्य करता है: प्रत्येक स्थिति में एक के साथ जहां अनुक्रम के उपसमुच्चय में एक स्थिति में उस अनुक्रम में एक गैर-शून्य तत्व होता है, और प्रत्येक दूसरी स्थिति में शून्य होता है।

गुण

• गुणावलियों, भागफल के वलय और प्रतिरूपण के वलय के समान ही कृत्रिम वलय के लिए परिभाषित किया जा सकता है।
• हालाँकि, वलय के बजाय कृत्रिम वलय के साथ कार्य करना कुछ संबंधित परिभाषाओं को जटिल बनाता है। उदाहरण के लिए, एक वलय R में, एक तत्व f द्वारा उत्पन्न बांयी गुणावली ( f ) , जिसे f युक्त सबसे छोटे बाएँ गुणावली के रूप में परिभाषित किया गया है , केवल Rf है , लेकिन यदि R केवल एक कृत्रिम वलय है, तो Rf में f नहीं हो सकता है, इसलिए इसके बजाय

  
  

  (f)=Rf+ Zf = {af + nf : a ∈ R and n ∈ Z}

  जहां nf को बार-बार जोड़ने/घटाने का उपयोग करके व्याख्या की जानी चाहिए क्योंकि n को R के तत्व का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता नहीं है। इसी प्रकार, एक कृत्रिम वलय R के तत्वों f 1 , ..., f m द्वारा उत्पन्न बांयी गुणावली है

  
  

  (f1,....fm) = {a1 f1 + ...+ amfm + n1f1...nmfm : ai ∈ R and ni ∈ Z},

  
  

  एक सूत्र जो एमी नोथेर तक जाता है। प्रतिरूपण के तत्वों के एक समुच्चय द्वारा उत्पन्न उपप्रतिरूपण की परिभाषा में इसी तरह की जटिलताएँ उत्पन्न होती हैं ।
• वलय के लिए कुछ सिद्धांत कृत्रिम वलय के लिए असत्य हैं। उदाहरण के लिए, एक वलय में, प्रत्येक उचित गुणावली अधिकतम गुणावली में समाहित होता है , इसलिए एक वलय में हमेशा कम से कम एक अधिकतम गुणावली होता है। ये दोनों कथन कृत्रिम वलय के लिए विफल हैं।
• एक कृत्रिम वलय समरूपता f  : R → S किसी भी निःशक्त तत्व को एक निःशक्त तत्व में आलेख करता है।
• यदि f  : R → S वलय से वलय तक एक कृत्रिम वलय समरूपता है, और f की छवि में S का गैर-शून्य-भाजक है, तो S एक वलय है, और f एक वलय समरूपता है।

एक समरूप तत्व (दोरोह विस्तार) के साथ

प्रत्येक वलय R को एक समरूप तत्व से जोड़कर वलय R^ तक बढ़ाया जा सकता है। ऐसा करने का एक सामान्य तरीका यह है कि औपचारिक रूप से एक समरूप तत्व 1 को जोड़ा जाए और R^ में 1 के अभिन्न रैखिक संयोजनों और R के तत्वों को इस आधार के साथ सम्मिलित किया जाए कि इसके गैर-अभिन्न गुणकों में से कोई भी संयोग नहीं करता है और R में समाहित नहीं है। इसलिए R^ के तत्त्व के रूप में हैं;

n · 1 + r

जहाँ n एक पूर्णांक है और r ∈ R गुणन को रैखिकता द्वारा परिभाषित किया गया है:

(n₁ + r₁) · (n₂ + r₂) = n₁n₂ + n₁r₂ + n₂r₁ + r₁r₂.

अधिक औपचारिक रूप से, हम R^ को कार्टेसियन गुणनफल Z × R के रूप में ले सकते हैं और जोड़ और गुणा को परिभाषित करें

(n₁ + r₁) · (n₂ + r₂) = n₁n₂ + n₁r₂ + n₂r₁ + r₁r₂.

(n₁, r₁) · (n₂, r₂) = (n₁n₂, n₁r₂ + n₂r₁ + r₁r₂).

तब R^ की गुणात्मक समरूपता (1, 0) है। एक प्राकृतिक कृत्रिम वलय समरूपता j : R → R^ द्वारा परिभाषित j(r) = (0, r) है इस आलेखन में निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण है।

किसी भी वलय S और किसी भी कृत्रिम वलय समरूपता f : R → S को देखते हुए एक अद्वितीय वलय समरूपता g : R^ → S सम्मिलित है इस प्रकार f = gj

आलेखन g द्वारा g(n, r) = n · 1_S + f(r) परिभाषित किया जा सकता है।

एक प्राकृतिक विशेषण वलय समरूपता R^ → Z है जो n से (n, r) भेजता है। इस समरूपता का कर्नेल (वलय थ्योरी) R में R^ की छवि है। चूँकि j एकात्मक है, हम देखते हैं कि R एक (दो तरफा) गुणावली के रूप में R^ में भागफल वलय R^/R 'Z' से समरूपता के रूप में सन्निहित है। यह इस प्रकार है कि

प्रत्येक वलय किसी न किसी वलय में एक गुणावली है, और वलय की प्रत्येक गुणावली एक वलय है।

ध्यान दें कि j कभी भी विशेषण नहीं है। इसलिए, भले ही R में पहले से ही एक समरूप तत्व हो, वलय R^ एक अलग समरूपता के साथ बड़ा होता है। वलय R^ को अक्सर अमेरिकी गणितज्ञ जो ली दोरोह के नाम पर R का 'दोरोह विस्तार' कहा जाता है, जिन्होंने इसे सबसे पहले बनाया था।

एक समरूप तत्व को एक कृत्रिम वलय से जोड़ने की प्रक्रिया को श्रेणी सिद्धांत की भाषा में तैयार किया जा सकता है। यदि हम सभी वलय और वलय समरूपता की श्रेणी को 'वलय' से और सभी कृत्रिम वलय और कृत्रिम वलय समरूपता की श्रेणी को 'कृत्रिम वलय' से निरूपित करते हैं, तो 'वलय' 'कृत्रिम वलय' की एक (नॉनफुल) उपश्रेणी है। ऊपर दिए गए R^ का निर्माण समावेशन क्रिया के लिए एक बाएँ आसन्न को उत्पन्न I : Ring → Rng करता है। ध्यान दें कि वलय, कृत्रिम वलय की परावर्तक उपश्रेणी नहीं है क्योंकि समावेशन क्रिया पूर्ण नहीं है।

समरूप होने से कमजोर गुण

साहित्य में ऐसे कई गुण माने गए हैं जो समरूप तत्व होने से कमजोर हैं, लेकिन इतने सामान्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए:

• पर्याप्त स्थिरता के साथ वलय: एक कृत्रिम वलय R को पर्याप्त स्थिरता के साथ एक वलय कहा जाता है जब समकोण द्वारा दिए गए R का एक उपसमुच्चय E (यानी ef = 0 सभी के लिए E में e ≠ f ) स्थिरता( यानी e² = e सभी के लिए E में e) के साथ सम्मिलित होता है। इस तरह R = ⊕_e∈E eR = ⊕_e∈E Re.
• स्थानीय इकाइयों के साथ वलय: प्रत्येक R में परिमित समुच्चय r₁, r₂, ..., r_t की स्थितियों में एक कृत्रिम वलय R को स्थानीय इकाइयों के साथ एक वलय कहा जाता हैं। हम e को R में प्रत्येक i के लिए e² = e और er_i = r_i = r_ie में प्राप्त कर सकते है।
• s-अंकीय वलय: एक कृत्रिम वलय R को s-अंकीय कहा जाता है यदि प्रत्येक परिमित समुच्चय r₁, r₂, ..., r_t i, ... r की स्थितियों में हम s को R में प्रत्येक i के लिए sr_i = r_i = r_is में प्राप्त कर सकते है।
• दृढ़ वलय: एक कृत्रिम वलय R को दृढ़ कहा जाता है यदि विहित समाकारिता R ⊗_R R → R द्वारा दिए गए r ⊗ s ↦ rs एक समरूपता है।
• स्थिर वलय: एक वलय R को स्थिर (या एक आईकृत्रिम वलय) कहा जाता है यदि R² = R, अर्थात, R के प्रत्येक तत्व r के लिए तत्व R में r_i और s_i ${\textstyle r=\sum _{i}r_{i}s_{i}}$में प्राप्त कर सकते है।

यह जाँचना कठिन नहीं है कि ये गुण समरूप तत्व होने की तुलना और पिछले वाले की तुलना में कमजोर हैं।

• वलय पर्याप्त स्थिरता के साथ वलय होती हैं, जिनका उपयोग E = {1} में किया जाता है। एक वलय जिसमें पर्याप्त स्थिरता हैं जिनका कोई समरूप नहीं है, उदाहरण के लिए एक क्षेत्र पर अनंत मेट्रिसेस की वलय है, जिसमें गैर-शून्य प्रविष्टियों की एक सीमित संख्या है। वे मेट्रिसेस जिनके मुख्य विकर्ण में सिर्फ 1 पर एक से अधिक तत्व है और अन्यथा 0 समकोण स्थिरता हैं।
• पर्याप्त स्थिरता के साथ वलय स्थानीय इकाइयों के साथ वलय् हैं जो परिभाषा को पूरा करने के लिए समकोण स्थिरता के परिमित मान लेते हैं।
• स्थानीय इकाइयों के साथ वलय विशेष रूप से एस-अंकीय हैं; एस-अंकीय वलय दृढ़ हैं और दृढ़ वलय स्थिर हैं।

वर्ग शून्य का रंग

कृत्रिम वलय 'R वर्ग शून्य का एक कृत्रिम वलय है जिसमे R मे सभी x और y के लिएxy = 0

गुणन को परिभाषित करके किसी भी एबेलियन समूह को वर्ग शून्य का एक वलय बनाया जा सकता है ताकि सभी x और y के लिए xy = 0; इस प्रकार प्रत्येक एबेलियन समूह किसी न किसी कृत्रिम वलय का योज्य समूह है।

गुणात्मक समरूप के साथ वर्ग शून्य का एकमात्र वलय शून्य वलय {0} है।

वर्ग शून्य के एक कृत्रिम वलय का कोई योगात्मक उपसमूह गुणावली (वलय थ्योरी) है। इस प्रकार वर्ग शून्य का एक वलय साधारण वलय है यदि और केवल यदि इसका योगात्मक समूह एक साधारण एबेलियन समूह है, उदाहरण, प्रधान क्रम का चक्रीय समूह।

यूनिटल होमोमोर्फिज्म

बीजगणित में दो इकाई A और B दिए गए हैं, एक बीजगणित समरूपता

f : A → B

'एकात्मक' है यदि यह A के समरूप तत्व को B के समरूप तत्व से आलेखन करता है।

यदि क्षेत्र (गणित) K पर साहचर्य बीजगणित A एकात्मक नहीं है, तो एक समरूप तत्व को निम्नानुसार जोड़ा जा सकता है: A × K अंतर्निहित K- सदिश स्थान के रूप में लें और गुणन को ∗ द्वारा परिभाषित करें

(x, r) ∗ (y, s) = (xy + sx + ry, rs)

A में x, y और K में r, s के लिए। फिर ∗ समरूप तत्व के साथ एक साहचर्य संक्रिया (0, 1) है। पुराना बीजगणित A नए में निहित है, और वास्तव में A × K सार्वभौम निर्माण के अर्थ में A युक्त सबसे सामान्य इकाई बीजगणित है।

यह भी देखें

• मोटी हो जाओ

संदर्भ

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