आंशिक अनुरेखण

Left हाथ की ओर एक पूर्ण घनत्व मैट्रिक्स दिखाता है $\rho _{AB}$ एक द्विदलीय qubit प्रणाली की। आंशिक ट्रेस 2 बाय 2 डायमेंशन (सिंगल क्यूबिट डेंसिटी मैट्रिक्स) के सबसिस्टम पर किया जाता है। दाहिने हाथ की ओर परिणामी 2 बटा 2 घटे हुए घनत्व मैट्रिक्स को दर्शाता है $\rho _{A}$.

रैखिक बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण में, आंशिक ट्रेस ट्रेस (रैखिक बीजगणित) का एक सामान्यीकरण है। जबकि ट्रेस ऑपरेटरों पर एक स्केलर (गणित) मूल्यवान फ़ंक्शन है, आंशिक ट्रेस एक ऑपरेटर (गणित) -वैल्यूड फ़ंक्शन है। आंशिक ट्रेस में क्वांटम सूचना और असम्बद्धता में अनुप्रयोग हैं जो क्वांटम माप के लिए प्रासंगिक हैं और इस तरह क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्याओं के लिए निरंतर इतिहास और सापेक्ष राज्य व्याख्या सहित निर्णायक दृष्टिकोण हैं।

विवरण

कल्पना करना $V$, $W$ आयामों के साथ एक क्षेत्र (गणित) पर परिमित-आयामी सदिश स्थल हैं $m$ और $n$, क्रमश। किसी भी जगह के लिए $A$, होने देना $L(A)$ रैखिक ऑपरेटरों के स्थान को निरूपित करें $A$. आंशिक निशान खत्म $W$ तब लिखा जाता है $\operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\to \operatorname {L} (V)$.

इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: के लिए $T\in \operatorname {L} (V\otimes W)$, होने देना $e_{1},\ldots ,e_{m}$, और $f_{1},\ldots ,f_{n}$, क्रमशः V और W के लिए आधार बनें; तब टी एक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है

$\{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n$

आधार के सापेक्ष $e_{k}\otimes f_{\ell }$ का $V\otimes W$.

अब सूचकांक k, i के लिए श्रेणी 1, ..., m, योग पर विचार करें

$b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.$

यह एक मैट्रिक्स बी देता है_{k, i}. वी पर संबंधित रैखिक ऑपरेटर आधारों की पसंद से स्वतंत्र है और परिभाषा के अनुसार 'आंशिक ट्रेस' है।

भौतिकविदों के बीच, इसे अक्सर W पर केवल एक ऑपरेटर छोड़ने के संदर्भ में W पर ट्रेसिंग आउट या ट्रेसिंग कहा जाता है जहां W और V क्वांटम सिस्टम से जुड़े हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं (नीचे देखें)।

अपरिवर्तनीय परिभाषा

आंशिक ट्रेस ऑपरेटर को अपरिवर्तनीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है (अर्थात, आधार के संदर्भ के बिना) इस प्रकार है: यह अद्वितीय रैखिक मानचित्र है

$\operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\rightarrow \operatorname {L} (V)$ ऐसा है कि

$\operatorname {Tr} _{W}(R\otimes S)=\operatorname {Tr} (S)\,R\quad \forall R\in \operatorname {L} (V)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W).$

यह देखने के लिए कि उपरोक्त स्थितियाँ विशिष्ट रूप से आंशिक ट्रेस निर्धारित करती हैं, आइए $v_{1},\ldots ,v_{m}$ के लिए एक आधार तैयार करें $V$, होने देना $w_{1},\ldots ,w_{n}$ के लिए एक आधार तैयार करें $W$, होने देना $E_{ij}\colon V\to V$ वह नक्शा हो जो भेजता है $v_{i}$ को $v_{j}$ (और अन्य सभी आधार तत्वों को शून्य करने के लिए), और चलो $F_{kl}\colon W\to W$ वह नक्शा हो जो भेजता है $w_{k}$ को $w_{l}$. वैक्टर के बाद से $v_{i}\otimes w_{k}$ के लिए एक आधार तैयार करें $V\otimes W$, मानचित्र $E_{ij}\otimes F_{kl}$ के लिए एक आधार तैयार करें $\operatorname {L} (V\otimes W)$.

इस अमूर्त परिभाषा से, निम्नलिखित गुण अनुसरण करते हैं:

$\operatorname {Tr} _{W}(I_{V\otimes W})=\dim W\ I_{V}$

$\operatorname {Tr} _{W}(T(I_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{W}((I_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W).$

श्रेणी सैद्धांतिक धारणा

यह रैखिक परिवर्तनों का आंशिक निशान है जो जॉयल, स्ट्रीट और ट्रेस मोनोइडल श्रेणी की वेरिटी की धारणा का विषय है। एक अनुरेखित मोनोइडल श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी है $(C,\otimes ,I)$ साथ में, वस्तुओं के लिए एक्स, वाई, यू श्रेणी में, होम-सेट का एक फ़ंक्शन,

$\operatorname {Tr} _{X,Y}^{U}\colon \operatorname {Hom} _{C}(X\otimes U,Y\otimes U)\to \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)$

कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना।

आंशिक निशान की इस अमूर्त धारणा का एक अन्य मामला परिमित सेटों और उनके बीच आपत्तियों की श्रेणी में होता है, जिसमें मोनोइडल उत्पाद असंयुक्त संघ है। कोई यह दिखा सकता है कि किसी भी परिमित सेट के लिए, X, Y, U और आपत्ति $X+U\cong Y+U$ आंशिक रूप से ट्रेस किए गए आक्षेप मौजूद हैं $X\cong Y$.

हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के लिए आंशिक ट्रेस

आंशिक ट्रेस ऑपरेटरों को अनंत आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर सामान्यीकृत करता है। मान लीजिए वी, डब्ल्यू हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं, और होने देना

$\{f_{i}\}_{i\in I}$

डब्ल्यू के लिए एक अलौकिक आधार हो। अब एक आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म है

$\bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W$

इस अपघटन के तहत, कोई भी ऑपरेटर $T\in \operatorname {L} (V\otimes W)$ एक अनंत मैट्रिक्स के रूप में माना जा सकता है वी पर ऑपरेटरों की

${\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},$

कहाँ $T_{k\ell }\in \operatorname {L} (V)$.

पहले मान लीजिए कि T एक गैर-ऋणात्मक संकारक है। इस स्थिति में, उपरोक्त मैट्रिक्स की सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ V पर गैर-ऋणात्मक संकारक हैं। यदि योग

$\sum _{\ell }T_{\ell \ell }$

एल (वी) के मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी में परिवर्तित हो जाता है, यह डब्ल्यू के चुने हुए आधार से स्वतंत्र है। आंशिक ट्रेस ट्र_W(टी) को इस ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया गया है। स्व-संलग्न ऑपरेटर का आंशिक निशान परिभाषित किया गया है अगर और केवल अगर सकारात्मक और नकारात्मक भागों के आंशिक निशान परिभाषित किए गए हैं।

आंशिक ट्रेस की गणना

मान लीजिए डब्ल्यू का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है, जिसे हम अच्छा-केट वेक्टर नोटेशन द्वारा निरूपित करते हैं $\{|\ell \rangle \}_{\ell }$. तब

$\operatorname {Tr} _{W}\left(\sum _{k,\ell }T^{(k\ell )}\,\otimes \,|k\rangle \langle \ell |\right)=\sum _{j}T^{(jj)}.$

कोष्ठक में सुपरस्क्रिप्ट मैट्रिक्स घटकों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, बल्कि मैट्रिक्स को ही लेबल करते हैं।

आंशिक ट्रेस और अपरिवर्तनीय एकीकरण

परिमित आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान के मामले में, आंशिक ट्रेस को देखने का एक उपयोगी तरीका है जिसमें डब्ल्यू के एकात्मक समूह यू (डब्ल्यू) पर उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत हार माप μ के संबंध में एकीकरण शामिल है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत का मतलब है कि μ को लिया जाता है। कुल द्रव्यमान मंद (डब्ल्यू) के साथ एक उपाय।

'प्रमेय'। मान लीजिए वी, डब्ल्यू सीमित आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं। तब

$\int _{\operatorname {U} (W)}(I_{V}\otimes U^{*})T(I_{V}\otimes U)\ d\mu (U)$

फॉर्म के सभी ऑपरेटरों के साथ संचार करता है $I_{V}\otimes S$ और इसलिए विशिष्ट रूप से है $R\otimes I_{W}$. ऑपरेटर आर टी का आंशिक निशान है।

क्वांटम ऑपरेशन के रूप में आंशिक ट्रेस

आंशिक ट्रेस को क्वांटम ऑपरेशन के रूप में देखा जा सकता है। एक क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम पर विचार करें जिसका राज्य स्थान टेन्सर उत्पाद है $H_{A}\otimes H_{B}$ हिल्बर्ट रिक्त स्थान की। एक मिश्रित अवस्था का वर्णन घनत्व मैट्रिक्स ρ द्वारा किया जाता है, अर्थात टेंसर उत्पाद पर ट्रेस 1 का एक गैर-नकारात्मक ट्रेस-क्लास ऑपरेटर $H_{A}\otimes H_{B}.$ सिस्टम बी के संबंध में ρ का आंशिक निशान, द्वारा निरूपित $\rho ^{A}$, को सिस्टम A पर ρ की घटी हुई अवस्था कहा जाता है। प्रतीकों में,

$\rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .$

यह दिखाने के लिए कि यह वास्तव में ए सबसिस्टम पर ρ को एक राज्य आवंटित करने का एक समझदार तरीका है, हम निम्नलिखित औचित्य प्रदान करते हैं। M को सबसिस्टम A पर एक ऑब्जर्वेबल होने दें, तो कंपोजिट सिस्टम पर संबंधित ऑब्जर्वेबल है $M\otimes I$. हालाँकि कोई कम अवस्था को परिभाषित करना चुनता है $\rho ^{A}$, मापन आँकड़ों की निरंतरता होनी चाहिए। सबसिस्टम ए में तैयार होने के बाद एम का अपेक्षित मूल्य $\rho ^{A}$ और वह $M\otimes I$ जब समग्र प्रणाली ρ में तैयार की जाती है तो वही होनी चाहिए, यानी निम्नलिखित समानता होनी चाहिए:

$\operatorname {Tr} (M\cdot \rho ^{A})=\operatorname {Tr} (M\otimes I\cdot \rho ).$

हम देखते हैं कि यह संतुष्ट है अगर $\rho ^{A}$ आंशिक ट्रेस के माध्यम से ऊपर परिभाषित किया गया है। इसके अलावा, ऐसा ऑपरेशन अद्वितीय है।

बता दें कि टी (एच) हिल्बर्ट स्पेस एच पर ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों का बनच स्थान है। यह आसानी से जांचा जा सकता है कि आंशिक ट्रेस, एक मानचित्र के रूप में देखा जाता है

$\operatorname {Tr} _{B}:T(H_{A}\otimes H_{B})\rightarrow T(H_{A})$

पूरी तरह से सकारात्मक और ट्रेस-संरक्षण है।

घनत्व मैट्रिक्स ρ हर्मिटियन मैट्रिक्स है, सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, और इसमें 1 का निशान है। इसमें एक वर्णक्रमीय अपघटन (मैट्रिक्स) है:

$\rho =\sum _{m}p_{m}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|;\ 0\leq p_{m}\leq 1,\ \sum _{m}p_{m}=1$

यह देखना आसान है कि आंशिक ट्रेस $\rho ^{A}$ इन शर्तों को भी पूरा करता है। उदाहरण के लिए, किसी भी शुद्ध अवस्था के लिए $|\psi _{A}\rangle$ में $H_{A}$, अपने पास

$\langle \psi _{A}|\rho ^{A}|\psi _{A}\rangle =\sum _{m}p_{m}\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]\geq 0$

ध्यान दें कि शब्द $\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]$ राज्य को खोजने की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है $|\psi _{A}\rangle$ जब समग्र प्रणाली राज्य में है $|\Psi _{m}\rangle$. यह की सकारात्मक अर्ध-निश्चितता साबित करता है $\rho ^{A}$.

जैसा कि ऊपर दिया गया है, आंशिक ट्रेस मानचित्र दोहरे मानचित्र को प्रेरित करता है $\operatorname {Tr} _{B}^{*}$ बाउंडेड ऑपरेटर्स के C*सी * - बीजगणित के बीच $\;H_{A}$ और $H_{A}\otimes H_{B}$ द्वारा दिए गए

$\operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\otimes I.$

$\operatorname {Tr} _{B}^{*}$ वेधशालाओं के लिए मानचित्रों का अवलोकन और हाइजेनबर्ग चित्र का प्रतिनिधित्व है $\operatorname {Tr} _{B}$.

शास्त्रीय मामले के साथ तुलना

मान लीजिए क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम के बजाय, दो सिस्टम ए और बी शास्त्रीय हैं। प्रत्येक प्रणाली के लिए वेधशालाओं का स्थान तब एबेलियन सी * - बीजगणित है। ये कॉम्पैक्ट स्पेस X, Y के लिए क्रमशः C(X) और C(Y) के रूप में हैं। कंपोजिट सिस्टम का स्टेट स्पेस बस है

$C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y).$

समग्र प्रणाली पर एक राज्य सी (एक्स × वाई) के दोहरे का एक सकारात्मक तत्व ρ है, जो कि रिज़-मार्कोव प्रमेय द्वारा एक्स × वाई पर एक नियमित बोरेल माप से मेल खाता है। इसी घटी हुई अवस्था को माप को प्रोजेक्ट करके प्राप्त किया जाता है। ρ से X। इस प्रकार आंशिक ट्रेस इस ऑपरेशन के क्वांटम मैकेनिकल समतुल्य है।

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