अधिकतम सिद्धांत

यह लेख आंशिक अवकल समीकरणों के सिद्धांत में अधिकतम सिद्धांत का वर्णन करता है। इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में अधिकतम सिद्धांत के लिए, पोंट्रीगिन का अधिकतम सिद्धांत देखें। जटिल विश्लेषण में प्रमेय के लिए, अधिकतम मापांक सिद्धांत देखें।

आंशिक अवकल समीकरणों और ज्यामितीय विश्लेषण के गणितीय क्षेत्रों में, अधिकतम सिद्धांत दीर्घवृत्तीय और परवलयिक अवकल समीकरणों के अध्ययन में मौलिक महत्व के परिणामों और प्रविधियों का एक संग्रह है।

सरलतम स्थिति में, दो चरों u(x,y) के एक फलन पर विचार करें जैसे कि

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

दुर्बल अधिकतम सिद्धांत, इस समायोजन में कहता है कि u के प्रभावक्षेत्र के किसी भी विवृत पूर्वसंहत उपसमुच्चय M के लिए, M के संवृत होने पर अधिकतम u, M की सीमा पर प्राप्त किया जाता है। प्रबल अधिकतम सिद्धांत कहता है कि, जब तक u एक स्थिर फलन न हो, अधिकतम भी M पर कहीं भी प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

इस तरह के कथन दिए गए अवकल समीकरण के हल की एक आकर्षक गुणात्मक चित्र देते हैं। ऐसी गुणात्मक चित्र को कई प्रकार के अवकल समीकरणों तक बढ़ाया जा सकता है। कई स्थितियों में, अवकल समीकरणों के हल के विषय में सटीक मात्रात्मक निष्कर्ष निकालने के लिए ऐसे अधिकतम सिद्धांतों का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि उनके प्रवणता के आकार पर नियंत्रण है। कोई एकल या सबसे सामान्य अधिकतम सिद्धांत नहीं है जो सभी स्थितियों पर एक साथ अनुप्रयुक्त होता है।

अवमुख अनुकूलन के क्षेत्र में, एक अनुरूप कथन है जो अनुरोध करता है कि एक सघन अवमुख समुच्चय पर अधिकतम अवमुख फलन सीमा पर प्राप्त होता है।

अंतर्ज्ञान

प्रबल अधिकतम सिद्धांत का आंशिक सूत्रीकरण

यहां हम सबसे सरल स्थिति पर विचार करते हैं, हालांकि समान सोच को अधिक सामान्य परिदृश्यों तक बढ़ाया जा सकता है। मान लीजिए M, यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय है और u, M पर एक C² फलन ऐसा है कि

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=0$

जहां 1 और n के मध्य प्रत्येक i और j के लिए a_ij, M पर a_ij = a_ji के साथ एक फलन है।

M x में. कुछ विकल्प ठीक करें रेखीय बीजगणित के वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार, आव्यूह के सभी आइजन मान [a_ij(x)] वास्तविक हैं, और इसका एक अलौकिक आधार है ℝⁿ आइजन्वेक्टर से मिलकर। द्वारा आइजन मान ​​​​निरूपित करें λ_i और संबंधित आइजन सदिश द्वारा v_i, के लिए i 1 से n. फिर अवकल समीकरण, बिंदु पर x, के रूप में दोहराया जा सकता है

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left.{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\right|_{t=0}{\big (}u(x+tv_{i}){\big )}=0.$

अधिकतम सिद्धांत का सार सरल अवलोकन है कि यदि प्रत्येक आइजन मान धनात्मक है (जो अवकल समीकरण के दीर्घवृत्तीयता के एक निश्चित सूत्रीकरण के समान है) तो उपरोक्त समीकरण हल के दिशात्मक दूसरे अवकलज के एक निश्चित संतुलन को अनुप्रयुक्त करता है। विशेष रूप से, यदि दूसरा दिशात्मक अवकलज नकारात्मक है, तो दूसरा सकारात्मक होना चाहिए। एक काल्पनिक बिंदु पर जहां u को अधिकतम किया जाता है, सभी दिशात्मक द्वितीय अवकलज स्वचालित रूप से गैर-सकारात्मक होते हैं, और उपरोक्त समीकरण द्वारा दर्शाए गए संतुलन के लिए सभी दिशात्मक द्वितीय अवकलज को समान रूप से शून्य होने की आवश्यकता होती है।

इस प्राथमिक तर्क को प्रबल अधिकतम सिद्धांत के एक अतिसूक्ष्म सूत्रीकरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए तर्क दिया जा सकता है, जो कुछ अतिरिक्त मान्यताओं (जैसे कि निरंतरता) के तहत बताता है। a), वह u का बिंदु होने पर स्थिर होना चाहिए M कहाँ u अधिकतम है।

ध्यान दें कि उपरोक्त तर्क अप्रभावित है यदि कोई अधिक सामान्य आंशिक अवकल समीकरण पर विचार करता है

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0,$

चूंकि जोड़ा गया शब्द किसी भी काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर स्वचालित रूप से शून्य होता है। यदि कोई अधिक सामान्य स्थिति पर विचार करता है तो तर्क भी अप्रभावित रहता है

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,$

जिसमें पूर्णतः असमानता (> इसके बजाय ≥) होने पर एक स्पष्ट विरोधाभास होने की अतिरिक्त घटनाओं को भी नोट किया जा सकता है इस स्थिति में काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर। शास्त्रीय दुर्बल अधिकतम सिद्धांत के औपचारिक प्रमाण में यह घटना महत्वपूर्ण है।

प्रबल अधिकतम सिद्धांत की गैर-प्रयोज्यता

हालाँकि, उपरोक्त तर्क अब अनुप्रयुक्त नहीं होता है यदि कोई प्रतिबन्ध पर विचार करता है

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\leq 0,$

अब से संतुलन की स्थिति, जैसा कि एक काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर मूल्यांकन किया गया है u, केवल यह कहता है कि स्पष्ट रूप से गैर-सकारात्मक मात्राओं का भारित औसत गैर-सकारात्मक है। यह तुच्छ रूप से सत्य है, और इसलिए कोई इससे कोई तुच्छ निष्कर्ष नहीं निकाल सकता है। यह किसी भी संख्या में ठोस उदाहरणों से परिलक्षित होता है, जैसे तथ्य यह है कि

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}\leq 0,$

और किसी भी विवृत क्षेत्र पर जिसमें मूल फलन हो −x²−y² निश्चित रूप से अधिकतम है।

रैखिक अंडाकार पीडीई के लिए शास्त्रीय दुर्बल अधिकतम सिद्धांत

आवश्यक विचार

मान लीजिए कि M यूक्लिडीय समष्टि के एक विवृत उपसमुच्चय को दर्शाता है। यदि एक सुचारू कार्य $u:M\to \mathbb {R}$ एक बिंदु पर अधिकतम होता है p, तो एक स्वचालित रूप से होता है:

• $(du)(p)=0$
• $(\nabla ^{2}u)(p)\leq 0,$ एक आव्यूह असमानता के रूप में।

एक आंशिक अवकल समीकरण को एक फलन के विभिन्न अवकलजों के मध्य एक बीजगणितीय संबंध के आरोपण के रूप में देख सकते हैं। तो यदि u एक आंशिक अवकल समीकरण का हल है, तो यह संभव है कि उपरोक्त प्रतिबंधों के पहले और दूसरे अवकलज पर u इस बीजगणितीय संबंध का विरोध करता है। यह अधिकतम सिद्धांत का सार है। स्पष्ट रूप से, इस विचार की प्रयोज्यता प्रश्न में आंशिक अवकल समीकरण पर दृढ़ता से निर्भर करती है।

उदाहरण के लिए, यदि u अवकल समीकरण को हल करता है

$\Delta u=|du|^{2}+2,$

तो यह होना स्पष्ट रूप से असंभव है $\Delta u\leq 0$ और $du=0$ कार्यक्षेत्र के किसी भी बिंदु पर। तो, उपरोक्त अवलोकन के पश्चात, यह असंभव है u अधिकतम मान लेने के लिए। यदि, इसके बजाय u अवकल समीकरण हल किया $\Delta u=|du|^{2}$ तब किसी के पास ऐसा विरोधाभास नहीं होगा, और अब तक दिए गए विश्लेषण में कुछ भी दिलचस्प नहीं है। यदि u अवकल समीकरण हल किया $\Delta u=|du|^{2}-2,$ तो वही विश्लेषण यह दर्शाएगा u न्यूनतम मान नहीं ले सकता।

ऐसे विश्लेषण की संभावना आंशिक अवकल समीकरणों तक ही सीमित नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि $u:M\to \mathbb {R}$ ऐसा फलन है

$\Delta u-|du|^{4}=\int _{M}e^{u(x)}\,dx,$

जो एक प्रकार का गैर-स्थानीय अवकल समीकरण है, तो ऊपर के समान विश्लेषण से, दाईं ओर की स्वचालित पूर्णतः सकारात्मकता दर्शाती है, कि u अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता।

इस तरह के विश्लेषण की प्रयोज्यता को विभिन्न तरीकों से बढ़ाने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, यदि u एक सुसंगत फलन है, तो एक बिंदु के अस्तित्व के बाद से उपरोक्त प्रकार का विरोधाभास सीधे नहीं होता है p कहाँ $\Delta u(p)\leq 0$ आवश्यकता के विपरीत नहीं है $\Delta u=0$ हर जगह। हालांकि, कोई मनमाना वास्तविक संख्या के लिए विचार कर सकता है s, कार्यक्रम u_s द्वारा परिभाषित

$u_{s}(x)=u(x)+se^{x_{1}}.$

यह देखना सीधा है

$\Delta u_{s}=se^{x_{1}}.$

उपरोक्त विश्लेषण से, यदि $s>0$ तब u_s अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता। कोई सीमा पर विचार करना चाह सकता है {{mvar|s}इसे समाप्त करने के लिए } से 0 u भी अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता है। हालांकि, उच्चिष्ठ के बिना कार्यों के अनुक्रम की बिंदुवार सीमा के लिए उच्चिष्ठ होना संभव है। फिर भी, यदि M की सीमा ऐसी है M इसकी सीमा के साथ सुसंहत है, फिर मान लीजिए u लगातार सीमा तक बढ़ाया जा सकता है, यह तुरंत अनुसरण करता है कि दोनों u और u_s पर अधिकतम मान प्राप्त करें $M\cup \partial M.$ चूंकि हमने दिखाया है u_s, एक फलन के रूप में M, अधिकतम नहीं है, यह इस प्रकार है कि अधिकतम बिंदु u_s, किसी के लिए s चालू है $\partial M.$ की अनुक्रमिक संहतता द्वारा $\partial M,$ यह इस प्रकार है कि अधिकतम u पर प्राप्त होता है $\partial M.$ सुसंगत फलन के लिए यह दुर्बल अधिकतम सिद्धांत है। यह अपने आप में इस संभावना से इंकार नहीं करता है कि अधिकतम u पर भी कहीं प्राप्त होता है M. यह प्रबल अधिकतम सिद्धांत की सामग्री है, जिसके लिए और विश्लेषण की आवश्यकता है।

विशिष्ट कार्य का उपयोग $e^{x_{1}}$ ऊपर बहुत जरूरी था। जो कुछ मायने रखता था वह एक ऐसा कार्य होना था जो लगातार सीमा तक फैला हो और जिसका लाप्लासियन सख्ती से सकारात्मक हो। तो हम इस्तेमाल कर सकते थे, उदाहरण के लिए,

$u_{s}(x)=u(x)+s|x|^{2}$

उसी प्रभाव से।

रैखिक दीर्घवृत्तीय पीडीई के लिए शास्त्रीय प्रबल अधिकतम सिद्धांत

प्रमाण का सारांश

मान लीजिए कि M यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय है। मान लीजिए कि $u:M\to \mathbb {R}$ एक द्वि-विभेदक फलन हो जो अपना अधिकतम मान प्राप्त कर ले C. लगता है कि

$a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0.$

मान लीजिए कि कोई खोज सकता है (या अस्तित्व को सिद्ध कर सकता है):

• एक सुसंहत उपसमुच्चय Ω का M, अरिक्त अभ्यंतर के साथ, जैसे कि u(x) < C सभी के लिए x के अभ्यंतर में Ω, और ऐसा है कि उपस्थित है x₀ की सीमा पर Ω साथ u(x₀) = C.
• एक सतत फलन $h:\Omega \to \mathbb {R}$ जो के अभ्यंतर पर दो बार अलग-अलग है Ω और साथ

$a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\geq 0,$

और ऐसा है कि एक है u + h ≤ C की सीमा पर Ω साथ h(x₀) = 0

तब L(u + h − C) ≥ 0 पर Ω साथ u + h − C ≤ 0 की सीमा पर Ω; दुर्बल अधिकतम सिद्धांत के अनुसार, किसी के पास है u + h − C ≤ 0 पर Ω. यह कहने के लिए पुनर्गठित किया जा सकता है

$-{\frac {u(x)-u(x_{0})}{|x-x_{0}|}}\geq {\frac {h(x)-h(x_{0})}{|x-x_{0}|}}$

सभी के लिए x में Ω. यदि कोई चुनाव कर सकता है h ताकि दाहिने हाथ की ओर स्पष्ट रूप से सकारात्मक प्रकृति हो, तो यह इस तथ्य के लिए एक विरोधाभास प्रदान करेगा कि x₀ का अधिकतम बिंदु है u पर M, ताकि इसकी प्रवणता लुप्त हो जाए।

प्रमाण

उपरोक्त कार्यक्रम किया जा सकता है। चुनना Ω गोलाकार वलय होना; एक इसके केंद्र का चयन करता है x_c संवृत समुच्चय के निकट एक बिंदु होना u⁻¹(C) संवृत समुच्चय की तुलना में ∂M, और बाहरी त्रिज्या R को इस केंद्र से तक की दूरी के रूप में चुना गया है u⁻¹(C); मान लीजिए कि x₀ इस बाद वाले समुच्चय पर एक बिंदु बनें जो दूरी का अनुभव करता है। भीतरी त्रिज्या ρ मनमाना है। परिभाषित करना

$h(x)=\varepsilon {\Big (}e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}-e^{-\alpha R^{2}}{\Big )}.$

अब की सीमा Ω में दो गोले होते हैं; बाहरी क्षेत्र पर, एक है h = 0; चयन के कारण R, किसी के पास u ≤ C इस क्षेत्र पर, और इसी तरह u + h − C ≤ 0 आवश्यकता के साथ सीमा के इस भाग पर रखता है h(x₀) = 0. आंतरिक क्षेत्र पर, एक के पास है u < C. की निरंतरता के कारण u और आंतरिक क्षेत्र की संहतता, कोई भी चुन सकता है δ > 0 ऐसा है कि u + δ < C. तब से h इस आंतरिक क्षेत्र पर स्थिर है, कोई भी चयन कर सकता है ε > 0 ऐसा है कि u + h ≤ C भीतरी क्षेत्र पर, और इसलिए की सम्पूर्ण सीमा पर Ω.

सीधी गणना बताती है

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}\left(4\alpha \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x){\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}{\big (}x^{j}-x_{\text{c}}^{j}{\big )}-2\sum _{i=1}^{n}a_{ii}-2\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}\right).$

ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनके अंतर्गत दाहिनी ओर के गैर-नकारात्मक होने की प्रत्याभूति दी जा सकती है; नीचे प्रमेय का कथन देखें।

अंत में, ध्यान दें कि की दिशात्मक व्युत्पत्ति h पर x₀ वलय की आवक-इंगित रेडियल रेखा के साथ पूर्णतः सकारात्मक है। जैसा कि उपरोक्त सारांश में बताया गया है, यह सुनिश्चित करेगा कि इसका एक दिशात्मक व्युत्पन्न u पर x₀ अशून्य है, इसके विपरीत है x₀ का अधिकतम बिंदु होना u विवृत समुच्चय पर M.

प्रमेय का कथन

हॉफ (1927) के मूल कथन के पश्चात, मोरे और स्मोलर की पुस्तकों में प्रमेय का कथन निम्नलिखित है:

मान लीजिए कि M यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय ℝⁿ है।

प्रत्येक i और j के लिए, 1 और n के मध्य है, a_ij और b_i संतत फलन M a_ij = a_ji के साथ है। सभी x के लिए M में, सममित आव्यूह [a_ij] धनात्मक-निश्चित है। यदि u अस्थिर है। C² फलन M पर ऐसा है कि

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$

M पर, तो u, M पर अधिकतम मान प्राप्त नहीं करता है।

निरंतरता की धारणा का बिंदु यह है कि संतत फलन सुसंहत समुच्चयों पर बंधे होते हैं, यहां प्रासंगिक सुसंहत समुच्चय प्रमाण में दिखाई देने वाला गोलाकार वलय है। इसके अतिरिक्त, इसी सिद्धांत के अनुसार, एक संख्या λ है जैसे कि वलय में सभी x के लिए, आव्यूह [a_ij(x)] में λ से अधिक या उसके समान सभी ईजेनमान हैं। तब एक α लेता है, जैसा कि प्रमाण में दिखाई देता है, इन सीमाओं के सापेक्ष बड़ा है। इवांस की पुस्तक में थोड़ा दुर्बल सूत्रीकरण है, जिसमें एक धनात्मक संख्या λ मानी जाती है जो कि M में सभी x के लिए [a_ij] के ईजेनमान ​​की निचली सीमा है।

प्रमाण के कार्य करने के लिए ये निरंतरता धारणाएं स्पष्ट रूप से सबसे सामान्य संभव नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गिल्बर्ग और ट्रुडिंगर के प्रमेय का कथन, उसी प्रमाण के बाद निम्नलिखित है:

मान लीजिए कि M यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय ℝⁿ है। प्रत्येक i और j के लिए, 1 और n के

मध्य है तथा a_ij और b_i फलन M पर a_ij = a_ji के साथ है। सभी x के लिए M में, सममित आव्यूह [a_ij] धनात्मक-निश्चित है और λ(x) के सबसे छोटे ईजेन मान को निरूपित करता है। $\textstyle {\frac {a_{ii}}{\lambda }}$ और $\textstyle {\frac {|b_{i}|}{\lambda }}$ परिबद्ध फलन M हैं, प्रत्येक i के लिए 1 और n के मध्य है। यदि u अस्थिर है। C² फलन M पर ऐसा है कि

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$

M पर, तो u, M पर अधिकतम मान प्राप्त नहीं करता है।

जैसा कि पहले से ही एक आयामी स्थिति में देखा गया है, इन कथनों को सामान्य द्वितीय-क्रम रैखिक दीर्घवृत्तीय समीकरण तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, साधारण अवकल समीकरण y″ + 2y = 0 में ज्यावक्रीय हल है, जिसमें निश्चित रूप से आंतरिक उच्चिष्ठता है। यह उच्च-आयामी स्थिति तक फैला हुआ है, जहां प्रायः ईजेनफलन समीकरणों के हल Δu + cu = 0 होते हैं जिसमें आंतरिक उच्चिष्ठता है। c का चिह्न प्रासंगिक है, जैसा कि एक आयामी स्थिति में भी देखा गया है; उदाहरण के लिए, y″ - 2y = 0 के हल चरघातांकी हैं और ऐसे फलनों की उच्चिष्ठता की प्रकृति ज्यावक्रीय फलनों से काफी भिन्न होती है।

यह भी देखें

• अधिकतम मापांक सिद्धांत
• हॉफ अधिकतम सिद्धांत

संदर्भ

शोध लेख

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