डिराक माप

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3-बिंदु समुच्चय के सभी संभावित उपसमुच्चयों को दर्शाने वाला आरेख {x,y,z}. डिराक माप δx आरेख के ऊपरी-बाएँ आधे हिस्से में सभी समुच्चयों के लिए 1 और निचले-दाएँ आधे हिस्से में सभी समुच्चयों के लिए 0 का आकार निर्दिष्ट करता है।

गणित में, डायराक माप केवल एक समुच्चय के आधार पर आकार निर्दिष्ट करता है कि इसमें एक निश्चित तत्व x उपस्थित है या नहीं। यह डिराक डेल्टा फलन, भौतिकी और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में महत्वपूर्ण उपकरण के विचार को औपचारिक रूप है।

परिभाषा

एक डायराक माप एक माप है (गणित) δx एक समुच्चय पर X (किसी भी सिग्मा बीजगणित के साथ|σ-के सब समुच्चय का बीजगणित X) दिए गए के लिए परिभाषिसमत xX और कोई भी मापने योग्य समुच्चय|(मापने योग्य) समुच्चय AX द्वारा

कहाँ 1A का सूचक कार्य है A.

डायराक माप एक संभाव्यता माप है, और संभाव्यता के संदर्भ में यह लगभग सुनिश्चित परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है x नमूना स्थान में X. हम यह भी कह सकते हैं कि माप एक एकल परमाणु (माप सिद्धांत) है x; हालाँकि, डायराक माप को एक परमाणु माप के रूप में मानना ​​​​सही नहीं है जब हम डायराक डेल्टा की अनुक्रमिक परिभाषा पर विचार करते हैं, डेल्टा अनुक्रम की सीमा के रूप में[dubious ]. डायराक उपाय संभाव्यता उपायों के उत्तल समुच्चय के चरम बिंदु हैं X.

नाम Dirac डेल्टा फ़ंक्शन से बैक-फॉर्मेशन है; एक वितरण (गणित) के रूप में माना जाता है, उदाहरण के लिए वास्तविक रेखा पर, विशेष प्रकार के वितरण के लिए उपाय किए जा सकते हैं। पहचान

जो, रूप में

डेल्टा फ़ंक्शन की परिभाषा का हिस्सा बनने के लिए अक्सर लिया जाता है, लेबेसेग एकीकरण के प्रमेय के रूप में होता है।

डायराक माप के गुण

होने देना δx किसी निश्चित बिंदु पर केंद्रित डायराक माप को निरूपित करता है x कुछ औसत दर्जे की जगह में (X, Σ).

  • δx एक प्रायिकता माप है, और इसलिए एक परिमित माप है।

लगता है कि (X, T) एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और वह Σ कम से कम उतना ही ठीक है जितना कि बोरेल सिग्मा बीजगणित | बोरेल σ-बीजगणित σ(T) पर X.

सामान्यीकरण

एक असतत माप डायराक माप के समान है, सिवाय इसके कि यह एक बिंदु के बजाय कई बिंदुओं पर केंद्रित है। अधिक औपचारिक रूप से, वास्तविक रेखा पर एक माप (गणित) को असतत माप कहा जाता है (लेबेसेग माप के संबंध में) यदि इसका समर्थन (माप सिद्धांत) अधिक से अधिक एक गणनीय समुच्चय है।

यह भी देखें

  • असतत उपाय
  • डिराक डेल्टा फलन

संदर्भ

  • Dieudonné, Jean (1976). "Examples of measures". Treatise on analysis, Part 2. Academic Press. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
  • Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definition, δ[[Category: Templates Vigyan Ready]]". Harmonic analysis and applications. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6. {{cite book}}: URL–wikilink conflict (help)