आव्यूह विभाजन

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के गणित अनुशासन में, एक मैट्रिक्स विभाजन एक अभिव्यक्ति है जो किसी दिए गए मैट्रिक्स (गणित) को मैट्रिक्स के योग या अंतर के रूप में दर्शाता है। कई पुनरावृत्त विधियां (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों की प्रणालियों के लिए) मैट्रिक्स समीकरणों के प्रत्यक्ष समाधान पर निर्भर करती हैं जिसमें त्रिकोणीय मैट्रिक्स की तुलना में अधिक सामान्य मैट्रिक्स शामिल होते हैं। मैट्रिक्स विभाजन के रूप में लिखे जाने पर इन मैट्रिक्स समीकरणों को अक्सर सीधे और कुशलता से हल किया जा सकता है। यह तकनीक 1960 में रिचर्ड एस वर्गा द्वारा तैयार की गई थी।

नियमित विभाजन

हम मैट्रिक्स (गणित)#रैखिक समीकरणों को हल करना चाहते हैं

$\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {k} ,$

(1)

जहाँ A एक दिया गया n × n उलटा मैट्रिक्स|गैर-एकवचन मैट्रिक्स है, और k n घटकों के साथ एक दिया गया कॉलम वेक्टर है। हम मैट्रिक्स ए को विभाजित करते हैं

$\mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C} ,$

(2)

जहाँ B और C n × n आव्यूह हैं। यदि, एक मनमाने ढंग से n × n मैट्रिक्स M के लिए, M में गैर-नकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, तो हम M ≥ 0 लिखते हैं। यदि M में केवल सकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, तो हम M > 0 लिखते हैं। इसी तरह, यदि मैट्रिक्स M₁ - एम₂ गैर-नकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, हम एम लिखते हैं₁ ≥ एम₂.

परिभाषा: ए = बी - सी ए का एक नियमित विभाजन है यदि बी⁻¹ ≥ 0 और C ≥ 0।

हम मानते हैं कि फॉर्म के मैट्रिक्स समीकरण

$\mathbf {B} \mathbf {x} =\mathbf {g} ,$

(3)

जहाँ g एक दिया गया स्तंभ सदिश है, सदिश x के लिए सीधे हल किया जा सकता है। अगर (2) ए के नियमित विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है, फिर पुनरावृत्त विधि

$\mathbf {B} \mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {C} \mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {k} ,\quad m=0,1,2,\ldots ,$

(4)

जहां एक्स⁽⁰⁾ एक मनमाना सदिश है, किया जा सकता है। समान रूप से, हम लिखते हैं (4) प्रपत्र में

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {k} ,\quad m=0,1,2,\ldots$

(5)

मैट्रिक्स डी = बी⁻¹C में अऋणात्मक प्रविष्टियाँ हैं यदि (2) ए के नियमित विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है। यह दिखाया जा सकता है कि अगर ए⁻¹ > 0, फिर $\rho (\mathbf {D} )$ <1, जहां $\rho (\mathbf {D} )$ डी के वर्णक्रमीय त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, और इस प्रकार डी एक अभिसारी मैट्रिक्स है। परिणामस्वरूप, पुनरावृत्ति विधि (5) आवश्यक रूप से जैकोबी विधि # अभिसरण है। यदि, इसके अलावा, विभाजन (2) चुना जाता है ताकि मैट्रिक्स बी एक विकर्ण मैट्रिक्स हो (विकर्ण प्रविष्टियों के साथ सभी गैर-शून्य, चूंकि बी उलटा मैट्रिक्स होना चाहिए), फिर बी को रैखिक समय में उलटा किया जा सकता है (समय जटिलता देखें)।

मैट्रिक्स पुनरावृत्ति विधि

कई पुनरावृत्ति विधियों को मैट्रिक्स विभाजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यदि मैट्रिक्स A की विकर्ण प्रविष्टियाँ सभी गैर शून्य हैं, और हम मैट्रिक्स A को मैट्रिक्स योग के रूप में व्यक्त करते हैं

$\mathbf {A} =\mathbf {D} -\mathbf {U} -\mathbf {L} ,$

(6)

जहाँ D, A का विकर्ण भाग है, और U और L क्रमशः सख्ती से ऊपरी और निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स n × n आव्यूह हैं, तो हमारे पास निम्नलिखित हैं।

जैकोबी पद्धति को विभाजन के रूप में मैट्रिक्स रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {D} ^{-1}(\mathbf {U} +\mathbf {L} )\mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {k} .$

(7)

गॉस-सीडेल विधि को विभाजन के रूप में मैट्रिक्स रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=(\mathbf {D} -\mathbf {L} )^{-1}\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(m)}+(\mathbf {D} -\mathbf {L} )^{-1}\mathbf {k} .$

(8)

लगातार अति-विश्राम की विधि को विभाजन के रूप में मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=(\mathbf {D} -\omega \mathbf {L} )^{-1}[(1-\omega )\mathbf {D} +\omega \mathbf {U} ]\mathbf {x} ^{(m)}+\omega (\mathbf {D} -\omega \mathbf {L} )^{-1}\mathbf {k} .$

(9)

उदाहरण

नियमित विभाजन

समीकरण में (1), होने देना

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}6&-2&-3\\-1&4&-2\\-3&-1&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}5\\-12\\10\end{pmatrix}}.$

(10)

आइए विभाजन लागू करें (7) जिसका उपयोग जैकोबी विधि में किया जाता है: हम A को इस तरह विभाजित करते हैं कि B में A के विकर्ण तत्वों के सभी शामिल हैं, और C में A के विकर्ण तत्वों के सभी शामिल हैं। , अस्वीकृत। (बेशक यह मैट्रिक्स को दो मैट्रिक्स में विभाजित करने का एकमात्र उपयोगी तरीका नहीं है।) हमारे पास है

${\begin{aligned}&\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}6&0&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}0&2&3\\1&0&2\\3&1&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

(11)

${\begin{aligned}&\mathbf {A^{-1}} ={\frac {1}{47}}{\begin{pmatrix}18&13&16\\11&21&15\\13&12&22\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B^{-1}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{6}}&0&0\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}&0\\[4pt]0&0&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathbf {D} =\mathbf {B^{-1}C} ={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B^{-1}k} ={\begin{pmatrix}{\frac {5}{6}}\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

चूंकि बी⁻¹ ≥ 0 और C ≥ 0, विभाजन (11) एक नियमित विभाजन है। से एक⁻¹ > 0, वर्णक्रमीय त्रिज्या $\rho (\mathbf {D} )$ <1. (डी के अनुमानित eigenvalues ​​​​हैं $\lambda _{i}\approx -0.4599820,-0.3397859,0.7997679.$) इसलिए, मैट्रिक्स डी अभिसारी है और विधि (5) आवश्यक रूप से समस्या के लिए अभिसरण करता है (10). ध्यान दें कि ए के विकर्ण तत्व शून्य से अधिक हैं, ए के ऑफ-विकर्ण तत्व सभी शून्य से कम हैं और ए सख्ती से तिरछे प्रभावशाली है। प्रक्रिया (5) समस्या पर लागू (10) फिर रूप लेता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\begin{pmatrix}{\frac {5}{6}}\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots$

(12)

समीकरण का सटीक हल (12) है

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}.$

(13)

समीकरण के लिए पहले कुछ पुनरावृति (12) से शुरू होकर नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं x⁽⁰⁾ = (0.0, 0.0, 0.0)^T. तालिका से कोई भी देख सकता है कि विधि स्पष्ट रूप से समाधान में परिवर्तित हो रही है (13), हालांकि धीरे-धीरे।

$x_{1}^{(m)}$	$x_{2}^{(m)}$	$x_{3}^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.83333	-3.0000	2.0000
0.83333	-1.7917	1.9000
1.1861	-1.8417	2.1417
1.2903	-1.6326	2.3433
1.4608	-1.5058	2.4477
1.5553	-1.4110	2.5753
1.6507	-1.3235	2.6510
1.7177	-1.2618	2.7257
1.7756	-1.2077	2.7783
1.8199	-1.1670	2.8238

जैकोबी विधि

जैसा कि ऊपर बताया गया है, जैकोबी विधि (7) विशिष्ट नियमित विभाजन के समान है (11) ऊपर दिखाया गया है।

गॉस-सीडेल विधि

चूँकि समस्या में मैट्रिक्स A की विकर्ण प्रविष्टियाँ (10) सभी अशून्य हैं, हम मैट्रिक्स A को विभाजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं (6), कहाँ

$\mathbf {D} ={\begin{pmatrix}6&0&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\3&1&0\end{pmatrix}}.$

(14)

हमारे पास तब है

${\begin{aligned}&\mathbf {(D-L)^{-1}} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}20&0&0\\5&30&0\\13&6&24\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\mathbf {(D-L)^{-1}U} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}0&40&60\\0&10&75\\0&26&51\end{pmatrix}},\quad \mathbf {(D-L)^{-1}k} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}100\\-335\\233\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

गॉस-सीडेल विधि (8) समस्या पर लागू (10) रूप लेता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}0&40&60\\0&10&75\\0&26&51\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}100\\-335\\233\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots$

(15)

समीकरण के लिए पहले कुछ पुनरावृति (15) से शुरू होकर नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं x⁽⁰⁾ = (0.0, 0.0, 0.0)^T. तालिका से कोई भी देख सकता है कि विधि स्पष्ट रूप से समाधान में परिवर्तित हो रही है (13), ऊपर वर्णित जैकोबी विधि से कुछ तेज।

$x_{1}^{(m)}$	$x_{2}^{(m)}$	$x_{3}^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.8333	-2.7917	1.9417
0.8736	-1.8107	2.1620
1.3108	-1.5913	2.4682
1.5370	-1.3817	2.6459
1.6957	-1.2531	2.7668
1.7990	-1.1668	2.8461
1.8675	-1.1101	2.8985
1.9126	-1.0726	2.9330
1.9423	-1.0479	2.9558
1.9619	-1.0316	2.9708

क्रमिक अति-विश्राम विधि

चलो ω = 1.1। विभाजन का उपयोग करना (14) समस्या में मैट्रिक्स A का (10) क्रमिक अति-विश्राम विधि के लिए, हमारे पास है

${\begin{aligned}&\mathbf {(D-\omega L)^{-1}} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0.55&3&0\\1.441&0.66&2.4\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\mathbf {(D-\omega L)^{-1}[(1-\omega )D+\omega U]} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}-1.2&4.4&6.6\\-0.33&0.01&8.415\\-0.8646&2.9062&5.0073\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\mathbf {\omega (D-\omega L)^{-1}k} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}11\\-36.575\\25.6135\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

लगातार अति-विश्राम विधि (9) समस्या पर लागू (10) रूप लेता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}-1.2&4.4&6.6\\-0.33&0.01&8.415\\-0.8646&2.9062&5.0073\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}11\\-36.575\\25.6135\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots$

(16)

समीकरण के लिए पहले कुछ पुनरावृति (16) से शुरू होकर नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं x⁽⁰⁾ = (0.0, 0.0, 0.0)^T. तालिका से कोई भी देख सकता है कि विधि स्पष्ट रूप से समाधान में परिवर्तित हो रही है (13), ऊपर वर्णित गॉस-सीडेल विधि से थोड़ा तेज।

$x_{1}^{(m)}$	$x_{2}^{(m)}$	$x_{3}^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.9167	-3.0479	2.1345
0.8814	-1.5788	2.2209
1.4711	-1.5161	2.6153
1.6521	-1.2557	2.7526
1.8050	-1.1641	2.8599
1.8823	-1.0930	2.9158
1.9314	-1.0559	2.9508
1.9593	-1.0327	2.9709
1.9761	-1.0185	2.9829
1.9862	-1.0113	2.9901

यह भी देखें

• ऑपरेटर विभाजन विषयों की सूची
• मैट्रिक्स अपघटन
• एम-मैट्रिक्स
• स्टिल्ट का मैट्रिक्स

संदर्भ

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3.
• Varga, Richard S. (1960). "Factorization and Normalized Iterative Methods". In Langer, Rudolph E. (ed.). Boundary Problems in Differential Equations. Madison: University of Wisconsin Press. pp. 121–142. LCCN 60-60003.
• Varga, Richard S. (1962), Matrix Iterative Analysis, New Jersey: Prentice-Hall, LCCN 62-21277.