आव्यूह विभाजन

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के गणितीय अध्ययन में, आव्यूह विभाजन एक ऐसी अभिव्यक्ति है जो किसी दिए गए आव्यूह को उनके योग या अंतर के रूप में प्रदर्शित करती है। कई पुनरावृत्त विधियां उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणो की प्रणालियां आव्यूह समीकरणों के प्रत्यक्ष समाधान पर निर्भर करती हैं जिसमें त्रिकोणीय आव्यूह की तुलना में अधिक सामान्य आव्यूह सम्मिलित होते हैं। आव्यूह विभाजन के रूप में लिखे जाने पर इन आव्यूह समीकरणों को प्रायः सीधे और कुशलता से हल किया जा सकता है। यह तकनीक 1960 में रिचर्ड एस वर्गा द्वारा तैयार की गई थी।

नियमित विभाजन

हम आव्यूह (गणित)#रैखिक समीकरणों को हल करना चाहते हैं

$\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {k} ,$

(1)

जहाँ A एक दिया गया n × n उलटा आव्यूह|गैर-एकवचन आव्यूह है, और k n घटकों के साथ एक दिया गया कॉलम वेक्टर है। हम आव्यूह ए को विभाजित करते हैं

$\mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C} ,$

(2)

जहाँ B और C n × n आव्यूह हैं। यदि, एक मनमाने ढंग से n × n आव्यूह M के लिए, M में गैर-नकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, तो हम M ≥ 0 लिखते हैं। यदि M में केवल सकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, तो हम M > 0 लिखते हैं। इसी तरह, यदि आव्यूह M₁ - एम₂ गैर-नकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, हम एम लिखते हैं₁ ≥ एम₂.

परिभाषा: ए = बी - सी ए का एक नियमित विभाजन है यदि बी⁻¹ ≥ 0 और C ≥ 0।

हम मानते हैं कि फॉर्म के आव्यूह समीकरण

$\mathbf {B} \mathbf {x} =\mathbf {g} ,$

(3)

जहाँ g एक दिया गया स्तंभ सदिश है, सदिश x के लिए सीधे हल किया जा सकता है। अगर (2) ए के नियमित विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है, फिर पुनरावृत्त विधि

$\mathbf {B} \mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {C} \mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {k} ,\quad m=0,1,2,\ldots ,$

(4)

जहां एक्स⁽⁰⁾ एक मनमाना सदिश है, किया जा सकता है। समान रूप से, हम लिखते हैं (4) प्रपत्र में

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {k} ,\quad m=0,1,2,\ldots$

(5)

आव्यूह डी = बी⁻¹C में अऋणात्मक प्रविष्टियाँ हैं यदि (2) ए के नियमित विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है। यह दिखाया जा सकता है कि अगर ए⁻¹ > 0, फिर $\rho (\mathbf {D} )$ <1, जहां $\rho (\mathbf {D} )$ डी के वर्णक्रमीय त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, और इस प्रकार डी एक अभिसारी आव्यूह है। परिणामस्वरूप, पुनरावृत्ति विधि (5) आवश्यक रूप से जैकोबी विधि # अभिसरण है। यदि, इसके अलावा, विभाजन (2) चुना जाता है ताकि आव्यूह बी एक विकर्ण आव्यूह हो (विकर्ण प्रविष्टियों के साथ सभी गैर-शून्य, चूंकि बी उलटा आव्यूह होना चाहिए), फिर बी को रैखिक समय में उलटा किया जा सकता है (समय जटिलता देखें)।

आव्यूह पुनरावृत्ति विधि

कई पुनरावृत्ति विधियों को आव्यूह विभाजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यदि आव्यूह A की विकर्ण प्रविष्टियाँ सभी गैर शून्य हैं, और हम आव्यूह A को आव्यूह योग के रूप में व्यक्त करते हैं

$\mathbf {A} =\mathbf {D} -\mathbf {U} -\mathbf {L} ,$

(6)

जहाँ D, A का विकर्ण भाग है, और U और L क्रमशः सख्ती से ऊपरी और निचले त्रिकोणीय आव्यूह n × n आव्यूह हैं, तो हमारे पास निम्नलिखित हैं।

जैकोबी पद्धति को विभाजन के रूप में आव्यूह रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {D} ^{-1}(\mathbf {U} +\mathbf {L} )\mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {k} .$

(7)

गॉस-सीडेल विधि को विभाजन के रूप में आव्यूह रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=(\mathbf {D} -\mathbf {L} )^{-1}\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(m)}+(\mathbf {D} -\mathbf {L} )^{-1}\mathbf {k} .$

(8)

लगातार अति-विश्राम की विधि को विभाजन के रूप में आव्यूह रूप में दर्शाया जा सकता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=(\mathbf {D} -\omega \mathbf {L} )^{-1}[(1-\omega )\mathbf {D} +\omega \mathbf {U} ]\mathbf {x} ^{(m)}+\omega (\mathbf {D} -\omega \mathbf {L} )^{-1}\mathbf {k} .$

(9)

उदाहरण

नियमित विभाजन

समीकरण में (1), होने देना

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}6&-2&-3\\-1&4&-2\\-3&-1&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}5\\-12\\10\end{pmatrix}}.$

(10)

आइए विभाजन लागू करें (7) जिसका उपयोग जैकोबी विधि में किया जाता है: हम A को इस तरह विभाजित करते हैं कि B में A के विकर्ण तत्वों के सभी सम्मिलित हैं, और C में A के विकर्ण तत्वों के सभी सम्मिलित हैं। , अस्वीकृत। (बेशक यह आव्यूह को दो आव्यूह में विभाजित करने का एकमात्र उपयोगी तरीका नहीं है।) हमारे पास है

${\begin{aligned}&\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}6&0&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}0&2&3\\1&0&2\\3&1&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

(11)

${\begin{aligned}&\mathbf {A^{-1}} ={\frac {1}{47}}{\begin{pmatrix}18&13&16\\11&21&15\\13&12&22\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B^{-1}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{6}}&0&0\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}&0\\[4pt]0&0&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathbf {D} =\mathbf {B^{-1}C} ={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B^{-1}k} ={\begin{pmatrix}{\frac {5}{6}}\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

चूंकि बी⁻¹ ≥ 0 और C ≥ 0, विभाजन (11) एक नियमित विभाजन है। से एक⁻¹ > 0, वर्णक्रमीय त्रिज्या $\rho (\mathbf {D} )$ <1. (डी के अनुमानित eigenvalues ​​​​हैं $\lambda _{i}\approx -0.4599820,-0.3397859,0.7997679.$) इसलिए, आव्यूह डी अभिसारी है और विधि (5) आवश्यक रूप से समस्या के लिए अभिसरण करता है (10). ध्यान दें कि ए के विकर्ण तत्व शून्य से अधिक हैं, ए के ऑफ-विकर्ण तत्व सभी शून्य से कम हैं और ए सख्ती से तिरछे प्रभावशाली है। प्रक्रिया (5) समस्या पर लागू (10) फिर रूप लेता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\begin{pmatrix}{\frac {5}{6}}\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots$

(12)

समीकरण का सटीक हल (12) है

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}.$

(13)

समीकरण के लिए पहले कुछ पुनरावृति (12) से शुरू होकर नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं x⁽⁰⁾ = (0.0, 0.0, 0.0)^T. तालिका से कोई भी देख सकता है कि विधि स्पष्ट रूप से समाधान में परिवर्तित हो रही है (13), हालांकि धीरे-धीरे।

$x_{1}^{(m)}$	$x_{2}^{(m)}$	$x_{3}^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.83333	-3.0000	2.0000
0.83333	-1.7917	1.9000
1.1861	-1.8417	2.1417
1.2903	-1.6326	2.3433
1.4608	-1.5058	2.4477
1.5553	-1.4110	2.5753
1.6507	-1.3235	2.6510
1.7177	-1.2618	2.7257
1.7756	-1.2077	2.7783
1.8199	-1.1670	2.8238

जैकोबी विधि

जैसा कि ऊपर बताया गया है, जैकोबी विधि (7) विशिष्ट नियमित विभाजन के समान है (11) ऊपर दिखाया गया है।

गॉस-सीडेल विधि

चूँकि समस्या में आव्यूह A की विकर्ण प्रविष्टियाँ (10) सभी अशून्य हैं, हम आव्यूह A को विभाजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं (6), कहाँ

$\mathbf {D} ={\begin{pmatrix}6&0&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\3&1&0\end{pmatrix}}.$

(14)

हमारे पास तब है

${\begin{aligned}&\mathbf {(D-L)^{-1}} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}20&0&0\\5&30&0\\13&6&24\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\mathbf {(D-L)^{-1}U} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}0&40&60\\0&10&75\\0&26&51\end{pmatrix}},\quad \mathbf {(D-L)^{-1}k} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}100\\-335\\233\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

गॉस-सीडेल विधि (8) समस्या पर लागू (10) रूप लेता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}0&40&60\\0&10&75\\0&26&51\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}100\\-335\\233\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots$

(15)

समीकरण के लिए पहले कुछ पुनरावृति (15) से शुरू होकर नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं x⁽⁰⁾ = (0.0, 0.0, 0.0)^T. तालिका से कोई भी देख सकता है कि विधि स्पष्ट रूप से समाधान में परिवर्तित हो रही है (13), ऊपर वर्णित जैकोबी विधि से कुछ तेज।

$x_{1}^{(m)}$	$x_{2}^{(m)}$	$x_{3}^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.8333	-2.7917	1.9417
0.8736	-1.8107	2.1620
1.3108	-1.5913	2.4682
1.5370	-1.3817	2.6459
1.6957	-1.2531	2.7668
1.7990	-1.1668	2.8461
1.8675	-1.1101	2.8985
1.9126	-1.0726	2.9330
1.9423	-1.0479	2.9558
1.9619	-1.0316	2.9708

क्रमिक अति-विश्राम विधि

चलो ω = 1.1। विभाजन का उपयोग करना (14) समस्या में आव्यूह A का (10) क्रमिक अति-विश्राम विधि के लिए, हमारे पास है

${\begin{aligned}&\mathbf {(D-\omega L)^{-1}} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0.55&3&0\\1.441&0.66&2.4\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\mathbf {(D-\omega L)^{-1}[(1-\omega )D+\omega U]} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}-1.2&4.4&6.6\\-0.33&0.01&8.415\\-0.8646&2.9062&5.0073\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\mathbf {\omega (D-\omega L)^{-1}k} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}11\\-36.575\\25.6135\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

लगातार अति-विश्राम विधि (9) समस्या पर लागू (10) रूप लेता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}-1.2&4.4&6.6\\-0.33&0.01&8.415\\-0.8646&2.9062&5.0073\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}11\\-36.575\\25.6135\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots$

(16)

समीकरण के लिए पहले कुछ पुनरावृति (16) से शुरू होकर नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं x⁽⁰⁾ = (0.0, 0.0, 0.0)^T. तालिका से कोई भी देख सकता है कि विधि स्पष्ट रूप से समाधान में परिवर्तित हो रही है (13), ऊपर वर्णित गॉस-सीडेल विधि से थोड़ा तेज।

$x_{1}^{(m)}$	$x_{2}^{(m)}$	$x_{3}^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.9167	-3.0479	2.1345
0.8814	-1.5788	2.2209
1.4711	-1.5161	2.6153
1.6521	-1.2557	2.7526
1.8050	-1.1641	2.8599
1.8823	-1.0930	2.9158
1.9314	-1.0559	2.9508
1.9593	-1.0327	2.9709
1.9761	-1.0185	2.9829
1.9862	-1.0113	2.9901

यह भी देखें

• ऑपरेटर विभाजन विषयों की सूची
• आव्यूह अपघटन
• एम-आव्यूह
• स्टिल्ट का आव्यूह

संदर्भ

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3.
• Varga, Richard S. (1960). "Factorization and Normalized Iterative Methods". In Langer, Rudolph E. (ed.). Boundary Problems in Differential Equations. Madison: University of Wisconsin Press. pp. 121–142. LCCN 60-60003.
• Varga, Richard S. (1962), Matrix Iterative Analysis, New Jersey: Prentice-Hall, LCCN 62-21277.